专练03 平面向量填选压轴题—— 2026届上海市高三数学二轮复习

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题训练03 平面向量填选压轴题 题型01：平面向量命题真假辨析 1.在中，“为直角三角形”是“对于任意，”的（    ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先转化向量不等式并化简，构造函数，利用一次函数的性质得出向量垂直关系，从而得出为直角三角形，满足必要性；再利用直角位置不固定得出充分性不成立． 【详解】，若，则， ，即， 对于任意恒成立，设，则需满足 时，；时，； 是一次函数，连续，即， ，即， 又， ， ，故，即，是直角三角形，满足必要性； 若为直角三角形，直角可能是或， 若或时，不满足对于任意恒成立，不满足充分性， “为直角三角形”是“对于任意，”的必要不充分条件，故B正确． 故选：B． 2.已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C ①根据及与的夹角为求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故①错误；②利用向量共线定理可知，点C在线段AB上，再结合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面积公式和基本不等式求出最大值为1，进而求出的最大值. 【解析】由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误； 设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以 ，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确. 故选：C 3．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A. ①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 【答案】C 【分析】根据给定条件，令，，设，利用向量模及数量积的坐标表示探求的关系，再借助平行线间距离分析判断得解. 【详解】由，，，不妨令，，设， ，得，而，， 则，整理得，由，得， 平行直线和间的距离为， 到直线和直线距离相等的点到这两条直线的距离为， 如图，阴影部分表示的区域为集合，因此无论是否属于，都有， 所以命题①②都正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决. 题型02：平面向量数量积的最值与范围 4.设为中边上的中线，且.若，则的最大值为_________ 【答案】## 【详解】① 为中点,为中点(由得到) 代入①式 得 又 代入得 由余弦定理得 由结合基本不等式得 所以 当且仅当取等 最大值为 故答案为： 5．（2025上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）已知点P在圆上，已知，，则的最小值为___________. 【答案】 【详解】由题意，取线段AB的中点，则，，两式分别平方得：①，②，①－②得：，因为圆心到距离为，所以最小值为，又，故最小值为：. 故答案为： 6．（25-26高三上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点，若，则向量在向量方向上的数量投影的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件，结合双曲线的定义、圆的定义，可得点P、Q的轨迹方程，由题意，即求在向量方向上的数量投影再加减半径即可，设，根据数量投影的公式，代入化简，分析计算，即可得答案. 【详解】因为，， 所以点P的轨迹为双曲线的右支，且， 所以，则点P的方程为， 因为，且， 所以点Q的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆， 所以Q的方程为， 要求向量在向量方向上的数量投影， 只需求在向量方向上的数量投影再加减半径即可， 设，， 所以在向量方向上的数量投影为， 令，则当时，， 当时，，则， 综上，即， 所以在向量方向上的数量投影的取值范围是. 故答案为： 7．在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由，，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】设， 则， 由为的中点，得， 在菱形中，，， 所以，， 所以， 故选：D 8．等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是________ 【分析】作垂直于于点，作垂直于于点，建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标计算出的表达式，由二次函数的单调性即可求得答案. 【详解】 如图，作垂直于于点，作垂直于于点， 又，，， 则，，，， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，又P为腰AD所在直线上任意一点， 则设，，则点P的坐标为， 所以，， 又关于的二次函数的对称轴为， 则在上单调递减， 所以当，即点P和点D重合时，取得最小值． 故的最小值是． 9.已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解题思路】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【解析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 题型03：平面向量模的最值与范围问题 10.已知向量满足.设，则的最小值为_____ 【详解】因为，所以7.又，所以，解得，则向量的夹角为.建立如图所示 的直角坐标系，设，因为，所以，即.设，则点在直线上运动.. 11.已知平面向量满足，则的最小值是______ 【详解】 建立平面直角坐标系，设，由，不妨设， 又，不妨设在直线上，又可得，即， 则，设，则，则，即，则在以为圆心，1为半径的圆上； 又，则的最小值等价于的最小值，即以为圆心，1为半径的圆上一点 到直线上一点距离的最小值，即圆心到直线的距离减去半径，即，则的最小值是. 12.已知点在以为圆心，3为半径的圆上，且，则的取值范围__________. 【答案】 【解题思路】根据题意可得是圆的直径，结合向量线性运算用表示，再结合向量不等式求解范围. 【解析】由，可得是圆的直径，因此是的中点，故. 因为 ，且， 所以. 因为，，则， 所以， 即，当且仅当共线时等号成立. 13.如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 【答案】D 【解题思路】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【解析】根据题意可得，所以， 又因为，，所以，， 设，则，所以，， 所以 令，在上单调递增，在上单调递减， 故最大值为40， 故选：D． 14.已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为________ 【解题思路】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【解析】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 题型04：平面向量夹角的最值与范围问题 15.已知平面向量，满足，且对任意实数，有，设与夹角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可设，则 由于对任意实数，有，故恒成立， 即对任意实数恒成立，故， 即 ， 所以向量对应的点位于如图所示的直线 外部的阴影区域内 （含边界直线），设 ，，则, 故， 不妨假设向量对应的点在上部分区域内， 则由图可以看到当对应的点位于B处，即在直线上， 且当时，最大，此时， 所以 ，即最小值为， 由图可以看到，当B点沿直线向外运动或在阴影部分中向远处运动时， 可以无限趋近于0，故， 因此的范围是， 当B点位于直线上或下方的区域内时，同理可求得的范围是， 故选：D 16.在锐角中，、、分别是的内角、、所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接并延长交于点，则为的中点， 因为，则，由重心的性质可得，则， 因为， 所以，，所以，， 所以，， 所以，，则为锐角， 由余弦定理可得， 所以，， 因为为锐角三角形，则，即，即， 所以，， 构造函数，其中， 任取、且，则 . 当时，，，则， 当时，，，则， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以，，故. 故选：C. 17.已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与夹角为，与所成夹角为， ， 所以，，① ，② 又，③ ②与③联立可得，④ ①④联立可得， 当且仅当时，取等号，，，则， 故与所成夹角的最大值是， 故选：A. 18.已知平面向量满足，则向量与夹角的最大值是 ． 【答案】 【分析】设，利用向量的数量积运算求得，再利用向量夹角余弦的表示，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以， 设，则当与同向时，取得最大值为， 当与反向时，取得最小值为，故， 又，则， 所以， 设与的夹角为，则， 由于在上单调递减，故要求的最大值，则求的最小值即可， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最小值为， 因为，所以此时，即向量与夹角的最大值为. 故答案为： 19.平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，则，设，，，根据均值不等式计算最值，再利用同角三角函数关系得到答案. 【详解】如图所示：设，，则，设，，， ， 当，即时等号成立，故， 当最小时，最大， 故与夹角的正弦值的最大值为. 故选：B 题型05：平面向量中参数的最值与范围问题 20.已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意B，O，C三点共线．因为为的外心，即有，所以为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解. 【解答过程】 因为， 则，所以，即B，O，C三点共线． 因为为的外心，即有， 所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角． 如图，过点作，垂足为． 因为在上的投影向量为 ，所以， 所以在上的投影向量为． 又因为，所以． 因为，所以， 故的取值范围为． 故选：A． 21.已知，是圆上的两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，，.，则，可求得.设，则，.结合不等式即可求解. 【解答过程】圆的圆心为，半径. ∵，是圆上的两点，∴，，. ∴，， ∴， . ∵，∴. 设，则，. ∴由向量数量积性质可得，即， 当且仅当与反向时；当且仅当与同向时. ∴的取值范围是. 故选：B. 22.已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由与为单位向量及分析可知的夹角为.令，则，点是以原点为圆心，为半径的圆上的动点，且.结合图形即可求解. 【解答过程】因为与为单位向量， ， ∴. 又，，即的夹角为. ∴点是以原点为圆心的单位圆上的动点，且. 令，则， 易知点是以原点为圆心，为半径的圆上的动点， ∴. 如图1，设直线，过点作直线于点，作直线于点. 则. 又， 可知如图2，当点在点处，点在线段上时，取得最小值 此时，最小值为. ∴. 故选：B. 题型06：平面向量与数列综合 23. 已知为平面四边形内一点，数列满足，当时，恒有，，相交于点，且，设数列的前项和为，则_________. 【答案】 【分析】根据已知恒等式可得，再将用表示，再根据，从而可将用表示，再根据平面向量共线定理得推论可求得数列的递推公式，再根据递推公式求出，即可得解. 【详解】因为，所以， 由， 得， 所以 ， 又， 所以， 整理得， 因为三点共线， 所以， 整理得， 因为， 所以， ， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据已知恒等式可得 ，再结合，将用表示，是解决本题得关键. 24.我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，，记范数为奇数的的个数为，则 .（用含的式子表示，） 【答案】 【分析】考虑当为偶数时，的个数为奇数，当为奇数时，的个数为偶数，根据和的展开式的加减得到的通项公式. 【详解】当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，即的个数为， 根据乘法原理和加法原理得到， ， ， 两式相减得到； 当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为， 根据乘法原理和加法原理得到， ， ， 两式相加得到. 综上所述：. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查了向量的新定义，乘法原理，加法原理，二项式定理，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用和的展开式求数列通项是解题的关键，需要灵活掌握. 25.如图，在中，D是AC边上一点，且，为直线AB上一点列，满足：，且，则数列的前n项和 ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算与平面向量基本定理可得，令，进而可得为等比数列，求得，再利用分组求和法得出答案． 【详解】由于D是AC边上一点，且， 则 ， 由于为直线AB上一点列，则． 因为 ， 则，故， 整理，即， 故， 令，则，即， 因此 ，，， 所以 是以1为首项，为公比的等比数列，则， 所以， 故 ． 故答案为：． 题型07：平面向量与函数综合 26. 已知非零向量满足 ,若函数 在R 上存在极值,则和夹角的取值范围为 【答案】 【解析】,设和夹角为,因为有极值,所以,即,即,所以． 27.对于平面向量和给定的向量，记，若对任意向量恒成立，则的坐标可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】．因为，所以．只有选项D的向量的模等于1．所以选D． 【点睛】根据写出，因为对任意向量恒成立，所以两式右边相等，可得，验证四个选项即可． 28．设向量，，定义一种向量积：．已知向量，，点在的图象上运动，点在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为点P在的图像上运动， 所以设点P的坐标为，设Q点的坐标为， 则， 即为点Q轨迹的参数方程， 化为普通方程可得， 即，当时， ， 再根据余弦函数可得， 所以函数在区间上的最大值是4，故选:D． 题型08：平面向量与圆锥曲线综合 29. 过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值． 【详解】由双曲线方程可知：， 可知双曲线方程的左、右焦点分别为，， 圆的圆心为（即），半径为； 圆的圆心为（即），半径为． 连接，，，，则， 可得 ， 当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据数量积的运算律可得，结合双曲线的定义整理得，结合几何性质分析求解. 30.已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由题意首先得出为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可. 【详解】如图所示： 不妨设， 满足，，， 又，即， 由椭圆的定义可知点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上运动， ， 所以该椭圆方程为， 而，即，即， 这表明了点在圆上面运动，其中点为圆心，为半径， 又，等号成立当且仅当三点共线， 故只需求的最大值即可， 因为点 在椭圆上面运动，所以不妨设， 所以， 所以当且三点共线时， 有最大值. 故选：A. 【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解. 31.在平面四边形中，，，，，则的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，设，求出点的轨迹方程，根据向量线性运算的坐标表示可得，结合圆的性质及点到直线的距离公式求得，进而求解. 【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 因为，，则，， 所以，，设， 则，，， 由，即， 则，即. 由可知点的轨迹为外接圆的一段劣弧， 且，则外接圆的半径为， 设外接圆的方程为， 则，解得或（舍去）， 即外接圆方程为，圆心为， 因为表示外接圆劣弧上一点到直线的距离， 而圆心到直线的距离为， 要使最大，则最大， 而，即， 此时，即的最大值为3. 故选：C.    【点睛】关键点点睛：本题关键在于，建立平面直角坐标系，求出点的轨迹方程，然后转化问题为求点到直线的距离最值问题. 32.已知平面向量，，，满足，，若对于任意实数x，都有成立，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】把三个向量平移到同起点，由向量运算及得，从而，又由得点在以为圆心半径为1的圆面上（包括边界），利用数量积的几何意义求得，再利用三角形相似求OD长度即可求出最值. 【详解】设，，，，，则如图所示， 因为，所以， 即，所以， 因为，，所以，， 由，可得点在以为圆心，半径为1的圆面上（包括边界）， 过圆周上一点作的垂线，垂足为，且与相切， 延长交于，则， 此时∽，根据相似知识可得， 所以， 所以的最大值为， 故选：D. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题训练03 平面向量填选压轴题 题型01：平面向量命题真假辨析 1.在中，“为直角三角形”是“对于任意，”的（    ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 3．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A. ①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 题型02：平面向量数量积的最值与范围 4.设为中边上的中线，且.若，则的最大值为_________ 5．（2025上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）已知点P在圆上，已知，，则的最小值为___________. 6．（25-26高三上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点，若，则向量在向量方向上的数量投影的取值范围是 . 7．在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是________ 9.已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 题型03：平面向量模的最值与范围问题 10.已知向量满足.设，则的最小值为_____ 11.已知平面向量满足，则的最小值是______ 12.已知点在以为圆心，3为半径的圆上，且，则的取值范围__________. 13.如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 14.已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为________ 题型04：平面向量夹角的最值与范围问题 15.已知平面向量，满足，且对任意实数，有，设与夹角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16.在锐角中，、、分别是的内角、、所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17.已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 18.已知平面向量满足，则向量与夹角的最大值是 ． 19.平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型05：平面向量中参数的最值与范围问题 20.已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21.已知，是圆上的两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22.已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型06：平面向量与数列综合 23. 已知为平面四边形内一点，数列满足，当时，恒有，，相交于点，且，设数列的前项和为，则_________. 24.我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，，记范数为奇数的的个数为，则 .（用含的式子表示，） 25.如图，在中，D是AC边上一点，且，为直线AB上一点列，满足：，且，则数列的前n项和 ． 题型07：平面向量与函数综合 26. 已知非零向量满足 ,若函数 在R 上存在极值,则和夹角的取值范围为 27.对于平面向量和给定的向量，记，若对任意向量恒成立，则的坐标可能是（ ） A． B． C． D． 28．设向量，，定义一种向量积：．已知向量，，点在的图象上运动，点在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是（ ） A． B． C． D． 题型08：平面向量与圆锥曲线综合 29. 过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 30.已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 31.在平面四边形中，，，，，则的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D． 32.已知平面向量，，，满足，，若对于任意实数x，都有成立，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $