专练04：数列填选压轴题（题型专练）-2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】（上海专用）

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题训练04 数列填选压轴题 题型01：等差数列与等比数列综合 1．设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确的命题是（    ） ①可能为等差数列； ②可能为等比数列； ③均能写成的两项之差； ④对任意，总存在，使得． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【详解】对于①，取，则，显然存在，使，所以①正确， 对于②，若数列为等比数列，设公比为，显然不满足要求， 考虑的情况，依题意有，， 即①，②， 两式相除，得到， 若，则取为奇数，那么，所以， 所以， 当足够大时，显然不成立； 若，则， 因为， 所以当足够大时，可以使，故也不成立.从而知②错误， 对于选项③，取，则，所以， 当时，，故③正确， 对于选项④，取数列， 显然不存在，使得，故④错误， 故选：A. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第②选项，根据条件得到，从而得到，再对进行讨论，从而解决问题. 2．数列的前项和为，，且对任意的都有，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（    ） ①存在实数，使得为等差数列； ②存在实数，使得为等比数列； ③若存在，使得，则实数唯一. A．② B．① C．①③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：因为， 所以，则， 所以数列、为等差数列，且公差为2， 由，得，， 所以 ， ①当时，，所以，所以为等差数列，①对； ②若存在实数，使得为等比数列，则，即， 因为方程组无解，所以不可能为等比数列，②错； ③当为偶数时，，当为奇数时，， 若存在，使得，所以，且， 当为偶数时，，解得； 当为奇数时，，解得， 所以不唯一，③错． 故选：B． 题型02：数列相关命题结论辨析 3.（2026届高三黄埔区一模）若数列同时满足如下条件:(i)是无穷数列；(ii)是严格增数列；(iii)存在正数，使得对任意的，都有的前项的和，则称具有性质.关于如下结论:①存在等差数列具有性质；②存在等比数列具有性质.其中正确的说法是( ). A.①和②均正确 B.①和②均错误 C.①正确，②错误 D.①错误，②正确 【答案】D 【解析】对①；是无穷数列，是严格增数列； 若为等差数列，不妨设，,当不符；故①错误； 对①；是无穷数列，是严格增数列； 若等比数列，不妨设，, 当,；故②错误； 故选：D. 4. （2025上海市金山中学高三三模）对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 【详解】数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 对于命题①. 存在常数，对任意的，有 故 即数列具有性质.命题①为真命题. 对于命题②. 存在常数，对任意的，有 故数列具有性质.命题②为真命题. 故选： 5.（2026届嘉定区高三一模）数列的前项和为,且对任意正整数,总存在正整数,使得.则下列命题中正确的是（ ）. A.对任意正整数，总存在正整数，使得 B.数列一定是等差数列 G存在公比为正整数的等比数列满足条件 D.对任意正整数,总存在正整数,使得 【答案】D 【解析】取时，A不满足，B不满足； 若是等比数列，则. 下面记,则 即. 若,则,则,显然不成立; 若，则 当趋于无穷大时，矛盾,其他范围同理.所以错. 对于,注意到,对任意 而 ,故D对. 故选D; 题型03：数列的最值与范围问题 6.（2026届高三崇明区一模）设.数列满足下列条件:,且对任意的,都存在使得,其中互不相等,则数列的前20项和的最大值是_____. 【答案】72 【解析】数列满足下列条件：，则数列为非递减数列， 设数列中分别有个， 对任意的，都存在使得，其中互不相等， 对于数列中，由于，所以，对于数列中，同理可得， 对于数列中，由于， 所以，对于数列中，由于， 所以， 对于数列中，由于， 所以， 若数列的前20项和要最大，则， 所以数列的前20项和为.故答案为： 7.（2026届高三崇明区一模）设.数列满足下列条件:,且对任意的,都存在使得,其中互不相等,则数列的前20项和的最大值是_____. 【答案】72 【解析】数列满足下列条件：，则数列为非递减数列， 设数列中分别有个， 对任意的，都存在使得，其中互不相等， 对于数列中，由于，所以，对于数列中，同理可得， 对于数列中，由于， 所以，对于数列中，由于， 所以， 对于数列中，由于， 所以， 若数列的前20项和要最大，则， 所以数列的前20项和为.故答案为： 题型04：数列的个数、项数问题 8.（2026届高三长宁区一模）将正整数按一定次序排列得到数列,若数列中的任意一项都满足:,则数列的个数为（ ）. A.36; B.55; C.89; D.144. 【解析】 满足的排列数满足斐波那契地推关系，其中 所以 故选：C. 9. （24-25建平中学高一下期中）已知数列的前项和为，，且满足，则所有可能的取值个数为________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据推出，然后通过累加法得到的表达式，再结合求出的表达式，最后分析其可能的取值个数. 【详解】已知，两边同时平方可得. 通过累加法得到的表达式: 当时： 将以上个式子累加可得： 因为，且，所以. 当时，. 又因为，所以，代入上式可得： 由求根公式可得. 因为为实数，所以，即. 分析的可能取值个数: 因为，所以的值由决定. 又因为，所以. 当时，；当时，. 以此类推，的值有多种可能. 而的取值取决于的取值. 通过分析可知，的取值为，共14个. 故答案为：14. 10.（2026届高三金山区一模）已知正整数,满足,且,则有序数对有（ ）个. A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【解析】因为是柯西不等式成立条件， 即.故是等比数列且为整数满足时， 有四种情况. 题型06：新定义问题 11．已知两个各项均不为零的无穷数列和，若对于数列中的任意一项，总在数列中存在一项，使得，则称数列是数列的“数列”.对于以下两个命题，说法正确的是（    ）. ①对于任意等比数列，总存在等比数列是其“数列”； ②存在公差不为零的等差数列，使其“数列”是等差数列. A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 3．B 【分析】结合等比数列和等差数列的定义及通项公式，利用数列的定义求解. 【详解】设等比数列的通项公式为， 则是等比数列，故①是真命题； 设等差数列的通项公式为， 则不是等差数列，故②是假命题. 故选：B 12．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知是一个公差不为的等差数列，其前项和为.若存在正整数(其中)使得，则称具有性质，称有序数对是的一组“数对”，记由的全体“数对”所组成的集合为.关于命题①“若具有性质且，则”与命题②存在具有性质的及互不相同的正整数(其中且，使得且，下列说法正确的是（   ）. A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【详解】解析：， ，带入，得，解得， ， 当，得， 化简得，又 若，则，，所以或（舍去）， 若，则，，所以（舍去）或（舍去）， 若，则，，所以（舍去）或（舍去）， 若，则， 因为，， 所以，故无整数解，所以①是真命题； 设，，所以②是真命题； 故选：A. 13.如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（   ） A．62 B．63 C．64 D．65 【答案】B 【解题思路】由题意可知数列的相邻两项之差严格递增，要使得正整数最大，则需要让相邻两项差值尽可能小，即相邻两项差值构成公差为1的等差数列，由此得到构造的增长最缓慢的“速增数列”的递推关系，利用累加法可求得其通项公式，令，解出代入验证即可得出答案. 【解答过程】由题干条件，即， 也即数列的相邻两项之差严格递增，要使得正整数最大，则数列增长尽可能缓慢， 需要让相邻两项差值尽可能小，即相邻两项差值构成公差为1的等差数列， 因为，则， ，，所以， 采用累加法， 令，即，解得， 当时，，符合题意； 当时，，无法构造“速增数列”满足题意， 故选：B. 14.设是无穷数列，若存在正整数使得对任意，均有，则称是间隔递减数列，其中称为数列的间隔数．给出下列三个结论： ①若，则是间隔递减数列； ②若，则是间隔递减数列； ③若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】对于①，因为，则数列为单调递减数列，即对任意恒成立， 此时，，满足题中条件，①对； 对于②，若，假设数列是间隔递减数列， 则存在，使得，即， 若为奇数，则有，可得， 因为，显然当为奇数时，合乎题意； 当为偶数时，，不等式不成立，故为奇数； 若为偶数，则有，可得， 当为奇数时，不成立， 故假设不成立，即数列不是间隔递减数列，②错； 对于③，若， 因为， 则，所以，数列是间隔递减数列， 假设存在正整数，使得，即， 可得， 由于，当且仅当且时，等号成立， 当时，，这与为正整数矛盾， 故，所以，，解得， 所以，若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是，③对. 故选：B. 15.对于给定的数列，如果存在实数p、q，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，数列满足，，则给出下列四个结论： ①等差数列是“线性数列”； ②等比数列是“线性数列”； ③若是等差数列，则是“线性数列”； ④若是等比数列，则是“线性数列”. 其中正确的结论是 . 【答案】①②④ 【详解】对于①，数列为等差数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，①正确； 对于②，数列为等比数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，②正确； 对于③，是等差数列，设， 则，若是“线性数列”， 则， 则应有， 故不是“线性数列”，③错误； 对于④，是等比数列，设首项为，公比为， 若时，，则，满足“线性数列”的定义； 若时，由，得， ， 累加的， 则， 经验证当时，满足，则， 若是“线性数列”，则存在实数，使得成立， 则， ， ， 则，则， 则是“线性数列”，④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 16．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（    ） A．若为等差数列，则为内和数列 B．若为等比数列，则为内和数列 C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 【答案】C 【详解】对于选项AB：例题，可知即为等差数列也为等比数列， 则，但不存在，使得， 所以不为内和数列，故AB错误； 对于选项C：因为， 对任意，，可知存在， 使得， 则，即， 且内和数列为递增数列，可知， 所以其伴随数列为递增数列，故C正确； 对于选项D：例如， 显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列， 但不是递增数列，故D错误； 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，把定义转化为已经学过的内容，简化理解和运算. 17.（2026届高三静安一模）若数列满足,则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】若数列满足，则称数列为"对数底数列"，而正项数列是“对数2底数列”,所以, 所以， 所以， 以上式子相乘得,所以, 所以,得, 即,得,因为,所以; 同理，，所以；，所以；， 所以， 故. 18.已知有穷数列各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称数列为数列的“序数列”.例如数列，，满足，则其序数列为1，3，2.若有穷数列满足，（n为正整数），且数列的序数列单调递减，数列的序数列单调递增，则___________. 【答案】 【详解】解：的序数列单调递减，数列单调递增， ，， 而，，， ，① 的序数列单调递增，数列单调递减， 同理可得，，② 由①②可得， ∴ . 故答案为：. 19.已知函数，则下列结论正确的有___________. ①， ②，恒成立 ③关于的方程有三个不同的实根，则 ④关于的方程的所有根之和为 【答案】①③ 【详解】由，故A对. 由A可知，要使，恒成立，只需要满足，成立即可.即，即成立，令，则，得，当时，有最大值，故B不正确. 作出的图像， 由图可知，要使方程有三个不同的实根，则，即，故C对. 由可知，函数在上的图像可以由上的图像向右平移一个单位长度，再将所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到，由于的对称轴为，故的两根之和为，同理，的两根之和为的两根之和为，故所有根之和为，故D错. 故选：①③ 20.已知数列和正项数列，其中，且满足，数列的前n项和为，记，满足．对于某个给定或的值，则下列结论中：①；②；③若，则数列单调递增；④若，则数列从第二项起单调递增．其中正确命题的序号为______． 【答案】①②③ 【详解】由，可知，则，又 则，解之得.则①判断正确； 由，可得，则，则 又由，可知，则 则由，则或（舍） 则或（舍）. 则②判断正确； 由，可知，则 若，则， 又，则，则，则 由，可得，则 又，则数列单调递增. 则③判断正确； 由，可得 由，， 则当时，， 即数列的第三项小于第二项. 则数列从第二项起单调递增的说法判断错误. 故答案为：①②③ 题型07：数列的存在性 21．（24-25高三上·北京海淀·期中）已知数列满足，则（    ） A．当时，存在使得 B．当时，存在使得 C．当时，存在正整数，当时， D．当时，存在正整数，当时， 【答案】D 【详解】对于A选项,当时，. 令，. 对于二次函数，其对称轴为，最大值为. 因为，由递推关系可知，所以不存在使得，A选项错误. 对于B选项，当时，. 令，. 因为的值域为，且，所以由递推关系可知，不存在使得，B选项错误. 对于C选项，当时，. 令，. 设. 令，，对称轴为，在上递增，在上递减. 当时，的值不是恒大于的，所以不存在正整数，当时，，C选项错误. 对于D选项，当时，. 设. 因为，在上递增，在上递减. 当足够大时，会趋近于某个值（），此时会趋近于. 所以存在正整数，当时，，D选项正确. 故选：D. 22.数列满足，，给出下列四个结论： ①不存在，使得，，成等差数列； ②存在，使得，，成等比数列； ③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④存在正整数，且，使得. 其中所有正确结论的是（    ） A．①② B．①④ C．③④ D．②③ 【答案】C 【详解】对于①，，，， 显然，成等差数列，故①错误； 对于②，若存在，使得，，成等比数列， 则，又，得， 即，解得， 由，， 得，且为整数， 所以，这与相邻两项为整数矛盾，故②错误； 对于③，因为，， 所以，所以，则成等差数列， 故存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列， 故③正确； 对于④，由题意知数列中的项：， 可得，故④正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题关键点是对的理解与运用. 题型08：数列与函数、三角函数综合 23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，各项均不相等的数列满足，，数列和的前项和分别为和，给出下列两个命题： ①若，则； ②存在等差数列，使得成立．关于上述两个命题， 以上说法正确的是______．（填写序号） 【答案】①② 【详解】解： ， 当 时，， ， ，， ，， 由于当时，， 单调递增， 故可得， ， ， ，所以①正确； 由知 ，所以， 要使得 成立，只需 即可， 所以只需，即， 又 ，不妨取， ，满足， ，所以存在这样等差数列，所以②正确． 故答案为：①②. 24．（2022·上海交大附中高三开学考试）在数列中，，为的前项和，关于的方程有唯一解，若不等式，对任意的恒成立，则实数的取值范围为______ 【答案】 【分析】设，分析可得，求得，，对分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】设函数，该函数的定义域为， 因为， 则函数为偶函数，因为方程有唯一解，则， 所以，且，故数列是以为公差和首项的等差数列， 故，，由题意可得. 若为奇数，则，因为，当且仅当时，等号成立， 所以，，可得； 若为偶数，则，令，则，， 当时，,， 且数列中的偶数项从开始单调递增，因为，此时. 综上所述，. 故答案为：. 25．已知函数，数列满足，. 给出下列四个结论： ①若，则有3个不同的可能取值； ②若，则； ③对于任意，存在正整数，使得； ④对于任意大于2的正整数，存在，使得； 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【详解】①，所以，若， 当时，，解得． 当时，则，解得，当时，则，解得； 当时，，解得，当时，则，解得，当时，则，解得（舍去）； 综上可得：可以取3个不同的值：5，，．因此①正确． ②若，则，，，可得．数列是周期为3的数列，故②正确． ③当时，，，， 所以不存在正整数，，故③正确． ④先考虑数列的周期性， 对于，则，， ，，，要使是周期数列， 则有，解得， 从而存在，使得数列是周期数列，周期为， 从而要使周期为，只需，即即可，故④正确． 故答案为：①②④. 题型09：数列与向量、圆锥曲线综合 26．抛物线的焦点恰好也是椭圆的一个焦点，，分别是椭圆的上、下焦点，是椭圆上的任一点，是的内心，PI交轴于，且，点是抛物线在第一象限上的点，且抛物线在该点处的切线与轴的交点为，若，则 . 【答案】 【分析】作出辅助线，由正弦定理得到，根据椭圆定义得到，从而求出焦点坐标为，得到抛物线方程，根据导数几何意义得到在点的切线为：，求出，结合，利用等比数列的通项公式求出答案. 【详解】由椭圆的焦点在轴上得. 如图，连接，因为是的内心，所以平分.在中， 由正弦定理得，在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又，所以，又，所以， 同理可得，所以. 由椭圆定义可知，， 所以，，即椭圆的焦点坐标为， 所以抛物线方程为，即，则， 故抛物线在处的切线方程为， 又，可得，即. 令，则，又，所以， 所以是首项为2，公比为的等比数列，所以. 故答案为： 【点睛】当已知切点坐标为时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用求出切线方程； 当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解. 27．（2022·上海市松江二中高三开学考试）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点､，并按这样的规律继续下去，给出下列两个结论：①存在正整数的面积为2022；②对于任意正整数为锐角三角形.则（       ） A．①错误，②错误 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①正确，②正确 【答案】C 【分析】 由题设可得，△中最大边为且，即可判断结论的正误. 【详解】 由题设知：且， 而，所以不存在使△的面积为2022，①错误； 又△中最大边为，且， 所以，故对于任意正整数为锐角三角形，②正确. 故选：C 28. （2022徐汇区二模）已知一簇双曲线：，设双曲线的左､右焦点分别为､，是双曲线右支上一动点，的内切圆与轴切于点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】分析得到为右顶点，从而，利用等差数列求和公式进行计算. 【详解】如图，由双曲线定义可知：， 而根据切线长定理得：，，， 所以， 即，解得：，即为右顶点， ，故， 所以 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题训练04 数列填选压轴题 题型01：等差数列与等比数列综合 1．设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确的命题是（    ） ①可能为等差数列； ②可能为等比数列； ③均能写成的两项之差； ④对任意，总存在，使得． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．数列的前项和为，，且对任意的都有，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（    ） ①存在实数，使得为等差数列； ②存在实数，使得为等比数列； ③若存在，使得，则实数唯一. A．② B．① C．①③ D．①②③ 题型02：数列相关命题结论辨析 3.（2026届高三黄埔区一模）若数列同时满足如下条件:(i)是无穷数列；(ii)是严格增数列；(iii)存在正数，使得对任意的，都有的前项的和，则称具有性质.关于如下结论:①存在等差数列具有性质；②存在等比数列具有性质.其中正确的说法是( ). A.①和②均正确 B.①和②均错误 C.①正确，②错误 D.①错误，②正确 4. （2025上海市金山中学高三三模）对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 5.（2026届嘉定区高三一模）数列的前项和为,且对任意正整数,总存在正整数,使得.则下列命题中正确的是（ ）. A.对任意正整数，总存在正整数，使得 B.数列一定是等差数列 G存在公比为正整数的等比数列满足条件 D.对任意正整数,总存在正整数,使得 题型03：数列的最值与范围问题 6.（2026届高三崇明区一模）设.数列满足下列条件:,且对任意的,都存在使得,其中互不相等,则数列的前20项和的最大值是_____. 7.（2026届高三崇明区一模）设.数列满足下列条件:,且对任意的,都存在使得,其中互不相等,则数列的前20项和的最大值是_____. 题型04：数列的个数、项数问题 8.（2026届高三长宁区一模）将正整数按一定次序排列得到数列,若数列中的任意一项都满足:,则数列的个数为（ ）. A.36; B.55; C.89; D.144. 9. （24-25建平中学高一下期中）已知数列的前项和为，，且满足，则所有可能的取值个数为________. 10.（2026届高三金山区一模）已知正整数,满足,且,则有序数对有（ ）个. A.5 B.4 C.3 D.2 题型06：新定义问题 11．已知两个各项均不为零的无穷数列和，若对于数列中的任意一项，总在数列中存在一项，使得，则称数列是数列的“数列”.对于以下两个命题，说法正确的是（    ）. ①对于任意等比数列，总存在等比数列是其“数列”； ②存在公差不为零的等差数列，使其“数列”是等差数列. A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 12．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知是一个公差不为的等差数列，其前项和为.若存在正整数(其中)使得，则称具有性质，称有序数对是的一组“数对”，记由的全体“数对”所组成的集合为.关于命题①“若具有性质且，则”与命题②存在具有性质的及互不相同的正整数(其中且，使得且，下列说法正确的是（   ）. A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 13.如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（   ） A．62 B．63 C．64 D．65 14.设是无穷数列，若存在正整数使得对任意，均有，则称是间隔递减数列，其中称为数列的间隔数．给出下列三个结论： ①若，则是间隔递减数列； ②若，则是间隔递减数列； ③若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 15.对于给定的数列，如果存在实数p、q，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，数列满足，，则给出下列四个结论： ①等差数列是“线性数列”； ②等比数列是“线性数列”； ③若是等差数列，则是“线性数列”； ④若是等比数列，则是“线性数列”. 其中正确的结论是 . 16．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（    ） A．若为等差数列，则为内和数列 B．若为等比数列，则为内和数列 C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 17.（2026届高三静安一模）若数列满足,则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当时，（ ） A. B. C. D. 18.已知有穷数列各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称数列为数列的“序数列”.例如数列，，满足，则其序数列为1，3，2.若有穷数列满足，（n为正整数），且数列的序数列单调递减，数列的序数列单调递增，则___________. 19.已知函数，则下列结论正确的有___________. ①， ②，恒成立 ③关于的方程有三个不同的实根，则 ④关于的方程的所有根之和为 20.已知数列和正项数列，其中，且满足，数列的前n项和为，记，满足．对于某个给定或的值，则下列结论中：①；②；③若，则数列单调递增；④若，则数列从第二项起单调递增．其中正确命题的序号为______． 题型07：数列的存在性 21．（24-25高三上·北京海淀·期中）已知数列满足，则（    ） A．当时，存在使得 B．当时，存在使得 C．当时，存在正整数，当时， D．当时，存在正整数，当时， 22.数列满足，，给出下列四个结论： ①不存在，使得，，成等差数列； ②存在，使得，，成等比数列； ③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④存在正整数，且，使得. 其中所有正确结论的是（    ） A．①② B．①④ C．③④ D．②③ 题型08：数列与函数、三角函数综合 23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，各项均不相等的数列满足，，数列和的前项和分别为和，给出下列两个命题： ①若，则； ②存在等差数列，使得成立．关于上述两个命题， 以上说法正确的是______．（填写序号） 24．（2022·上海交大附中高三开学考试）在数列中，，为的前项和，关于的方程有唯一解，若不等式，对任意的恒成立，则实数的取值范围为______ 25．已知函数，数列满足，. 给出下列四个结论： ①若，则有3个不同的可能取值； ②若，则； ③对于任意，存在正整数，使得； ④对于任意大于2的正整数，存在，使得； 其中所有正确结论的序号是 . 题型09：数列与向量、圆锥曲线综合 26．抛物线的焦点恰好也是椭圆的一个焦点，，分别是椭圆的上、下焦点，是椭圆上的任一点，是的内心，PI交轴于，且，点是抛物线在第一象限上的点，且抛物线在该点处的切线与轴的交点为，若，则 . 27．（2022·上海市松江二中高三开学考试）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点､，并按这样的规律继续下去，给出下列两个结论：①存在正整数的面积为2022；②对于任意正整数为锐角三角形.则（       ） A．①错误，②错误 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①正确，②正确 28. （2022徐汇区二模）已知一簇双曲线：，设双曲线的左､右焦点分别为､，是双曲线右支上一动点，的内切圆与轴切于点，则___________. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $