专练01：三角函数填选压轴题（题型专练）- 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】（上海专用）

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题训练01 解三角形与三角函数填选压轴题 题型01：解三角形的最值与范围问题 1．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，D为的中点，则的最小值为________ 2．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________ 3．在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是________ 4.已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为____ 5.在中，，点在边上，且，若，则长度的最大值为______ 题型02：三角函数性质综合 6.下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是 A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│ C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│ 7. （2025华东师大三附中高三三模）已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（ ） A B. 1 C. D. 2 8. 关于函数有下述四个结论： ①是偶函数； ②在区间上单调； ③函数的最大值为M，最小值为m，则； ④若，则函数在上有4个零点． 其中所有正确结论的编号是（    ） A． ①④ B．①③ C．②④ D．①②③ 9. 关于函数，其中有下述四个结论： ①是偶函数；                    ②在区间上是严格增函数； ③在有3个零点；        ④的最小正周期为． 其中所有正确结论的编号是（    ）． A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 10. （2024·高三·上海宝山·开学考试）已知，给出下述四个结论: ①是偶函数;  ②在上为减函数; ③在上为增函数; ④的最大值为. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④ 题型03：求的值或范围问题 11.已知函数在区间上恰有3个极值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是 ． 13. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，再将的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，且在区间上恰有两个极值点、两个零点，则的取值范围为 . 14．已知函数区间内没有零点，则的取值范围是 . 15.若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16.已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是________． 17.函数在上没有零点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型04：三角函数的多零点或交点问题 18. （2024学年宜川中学高三模拟）函数的零点个数为______ 19．函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_________ 20. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 题型05：双变量问题 21．已知点，是函数上的两个不同点，且，则对于下列四个不等式：①；②；③；④. 其中正确不等式的个数是（ ） A． B． C． D． 22. （2025上海市育才中学高三三模）已知函数．若存在，使得，则的最大值为______． 23.将函数的图像向上平移1个单位，得到的图像，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24. 设函数，若存在，且，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型06：解三角形实际应用 25. （2024青浦区高三三次学业监测）如图，某小区内有一块矩形区域，其中米，米，点、分别为、的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为、，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段上，另外两个顶点在线段上，则该游乐区面积的最大值为______平方米．（结果保留整数） 26.（2025复旦大学附属中学高三期末）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝ 2，B为半圆上一点，以AB为一边作等边三角形ABC，则当线段OC的长取最大值时，∠AOC＝________. 27．（24-25高三上·上海浦东新·期末）某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是 ．（精确到0.001） 28．（24-25高三上·上海金山·期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 29．（24-25高三上·上海金山·期末）已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 30．（2024·上海静安·一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 . 31．（2024·上海静安·一模）记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为 . 32．（2024·上海嘉定·一模）某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面，圆弧形桥面所在圆的半径为4米，圆心在上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设，根据空间限制及桥面坡度的限制，的范围为，则当桥面修建总费用最低时的值为 . 题型07：三角函数命题结论辨析 33. 若，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 34. （2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知的三个内角分别为A，B，C，则下列判断正确的是（    ） 命题p：对任何锐角A，都存在，使得； 命题q：对任何锐角A，都存在，使得． A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p是假命题，q是假命题 35. 设函数，其中、、、为已知实常数，，有下列四个命题：（1）若，则对任意实数恒成立；（2）若，则函数为奇函数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当时，若，则（）；则上述命题中，正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36. 设函数，其中为已知实常数，，则下列命题中错误的是（ ） A．若，则对任意实数恒成立； B．若，则函数为奇函数； C．若，则函数为偶函数； D．当时，若，则 （）． 题型08：三角函数与向量、数列综合 37．（2023华二普陀模拟预测）在中，有，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 38.设函数的零点为，若成等比数列，则_______. 39.设角数列的通项为，其中为常数且．若存在整数，使的前项中存在满足，则的最大值为__________． 40.设数列是首项为0的递增数列，函数满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是________． 41.（2026届高三青浦区一模）对于实数,定义集合,集合的元素个数为,给出下列说法: ①存在，使得；②存在，使得； ③存在，使得；④存在，使得. 其中正确的说法有（ ）个. A.1 B.2 C.3 D.4 42. （2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考）将关于x的方程（t为实常数，）在区间上的解从小到大依次记为，设数列的前n项和为，若，则t的取值范围是______． 43. 已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是________. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题训练01 解三角形与三角函数填选压轴题 题型01：解三角形的最值与范围问题 1．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，D为的中点，则的最小值为________ 【分析】根据题意，由余弦定理得，，再利用，得到，继而得到，接着利用基本不等式求解即可． 【详解】设，因为D为的中点，，所以， 由三角形的三边关系，可知且，解得． 在中，由余弦定理得；　① 在中，由余弦定理得．　② 因为，所以， 所以，解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立，此时，满足条件， 所以的最小值为． 2．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________ 【解析】先根据条件可得，然后把化为，结合角的范围可得的取值范围. 【详解】由和余弦定理得，又，∴． 因为三角形为锐角三角形，则，即，解得． ， ∵，即，所以， 则，因此，的取值范围是． 3．在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是________ 【分析】根据题意，，由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，求得，取的中点，连接，得到，设的外接圆的半径为，求得，设，得到，化简得到，结合，利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 整理得到，即， 由于余弦定理，得， 又因为，可得， 如图所示，取的中点，连接，可得，所以， 设的外接圆的半径为，可得， 由正弦定理可得， 所以且， 设，则 则 ， 因为，可得，所以， 可得，所以， 所以的取值范围是. 4.已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为____ 【解析】在中，在中， 故，， 因为，故， 又角的平分线交于点，则，故. 故. 以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，， 故，，设，则， 即，故， 化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）. 故当纵坐标最大，即时面积取最大值为. 5.在中，，点在边上，且，若，则长度的最大值为______ 【解析】如图， 以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 设，因为，则 ， 所以，即， 所以点轨迹是一个圆，圆心，半径， ，，， 求长度的最大值即为求长度的最大值,     在中，由正弦定理， 则，当时，即与圆相切时，， 则长度的最大值为4，长度的最大值为5. 题型02：三角函数性质综合 6.下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是 A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│ C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│ 【答案】A 【解析】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A． 7. （2025华东师大三附中高三三模）已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（ ） A B. 1 C. D. 2 【答案】B 【分析】作出函数的图象， 根据的位于不同的位置，即可分情况求解. 【详解】如图所示，的图象，此时，函数的最小正周期为 ， 点, 当点在点时，点在曲线上， ， 当点在曲线上从接近时，减小，所以逐渐增大； 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，减小，逐渐减小， 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，增大, 逐渐增大， 当点点时， 当点在曲线上从接近时，增大,逐渐见减小， 当点在点时，, 综上可得的最小值是1 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据点的位置变化，分别求解的值. 8. 关于函数有下述四个结论： ①是偶函数； ②在区间上单调； ③函数的最大值为M，最小值为m，则； ④若，则函数在上有4个零点． 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③ 【答案】A 【解析】由，可知为偶函数，①对. 由，得关于对称； 由，得的周期为；当时， 其中且；作出在上的图象，并根据的对称性及周期性作出的大致图象. 由图可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上不单调，②错； 的最大值，最小值，故，③错； 若，则在上有4个零点，④对， 故选：A. 9. 关于函数，其中有下述四个结论： ①是偶函数；                    ②在区间上是严格增函数； ③在有3个零点；        ④的最小正周期为． 其中所有正确结论的编号是（    ）． A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】A 【解析】的定义域为， ，所以是偶函数，①正确. 当时，是严格增函数，②正确. 当时，， 所以在有无数个零点，则③错误. ， 所以不是的最小正周期，④错误. 综上所述，正确的为①②. 故选：A 10. （2024·高三·上海宝山·开学考试）已知，给出下述四个结论: ①是偶函数;  ②在上为减函数; ③在上为增函数; ④的最大值为. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④ 【答案】D 【解析】对于①，易得的定义域为，关于原点对称， 因为，所以是偶函数，故正确； 对于②和③，因为， ， 且，所以在不是减函数，在也不是增函数，故②，③错误； 对于④，当时，， 因为，所以， 所以，所以； 当时，， 因为， 所以，所以； 当时，； 当时，， 因为， 所以，所以， 所以，综上所述，当时，的最大值为，由于为偶函数，所以当时，的最大值也为，故的最大值为，故④正确； 故选：D 题型03：求的值或范围问题 11.已知函数在区间上恰有3个极值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数在区间上恰有3个极值点转化为在上有三个极值点的问题，再数形结合即可得解. 【详解】，，， 令，则，， 作出的图象， 要使函数在区间上有三个极值点，则， 解得，则的取值范围为. 故选：B. 12．已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由 的范围, 可得 的范围, 由题意可得 的范围, 进而求出 的范围. 【解析】因为 , 所以 , 要使函数有 5 个零点, 则 , 解得 的范围为 . 故答案为: . 13. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，再将的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，且在区间上恰有两个极值点、两个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先根据函数平移、放缩变换，得到解析式，再根据在区间上恰有两个极值点、两个零点，结合余弦函数图象进行求解即可. 【详解】由题意，得 所以． 令，则． 设，则在上恰有两个极值点和两个零点， 如图，， 解得． 故答案为：. 14．已知函数区间内没有零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据周期性可得，以为整体，结合题意可得其取值范围，再结合正弦函数零点运算求解. 【详解】设函数的最小正周期为， 根据函数周期性可知：，即， 且，则，可得， 因为，则， 且， 因为函数在区间内没有零点，可知在区间内没有零点， 可得或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 15.若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知有两解，以整体，结合余弦函数图象分析求解. 【详解】令，可得， 函数在上有且仅有2个零点，即有两解， 因为，且，则，可知的区间长度为， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 16.已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】． 由题可知，，所以， 当时，， 因为函数在上有最大值，无最小值， 所以存在，使得 整理得，（）. 因为，所以，解得. 故答案为：. 17.函数在上没有零点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 因为在上没有零点，所以，解出的范围，再结合题意得出或，代入即可求出答案. 【详解】 因为函数，在上没有零点，所以 ，所以， 即， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以，因为，所以或， 当时，； 当时，， 又因为，所以的取值范围是：. 故选：C. 题型04：三角函数的多零点或交点问题 18. （2024学年宜川中学高三模拟）函数的零点个数为______ 【答案】3 【解析】 【分析】根据的零点转化为与的图象的交点，由图即可得出答案. 【详解】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数， 时，函数取最大值， 时函数的值为， 又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点. 所以的零点个数为个. 故答案为：. 19．函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_________ 【答案】 【分析】先去掉绝对值符号，得出函数的解析式，再做出的图像，由图像可得两个图像要有两个不同的交点时的范围. 【详解】由已知得，在坐标系中做出图像如下：由图像可知最高点值为，最低点值为，要使在部分的图像与有两个不同的交点，则需要， 故答案为：. . 【点睛】本题主要考查分段函数的概念，正弦函数图象，先去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，结合图象确定参数的取值范围是解决此类题目的关键，属于中档题. 20. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据子集个数可得集合元素个数，再由正弦函数性质即可确定n的取值. 【详解】由题意易知，，均是集合中的元素， 又集合恰有8个子集，故集合只有三个元素， 有，则结合诱导公式易知， 可取的值是4或5. 故选：B 题型05：双变量问题 21．已知点，是函数上的两个不同点，且，则对于下列四个不等式：①；②；③；④. 其中正确不等式的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率判断①正确，取计算得到②④错误；根据和的几何意义判断③正确得到答案. 【详解】如图所示：，根据图像知，①正确； 取计算得到，，故②④错误； 表示中点的纵坐标；表示中点的横坐标对应函数值. 根据函数为凸函数知正确，即③正确.故选： 【点睛】本题考查了三角函数不等式的判断，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用. 22. （2025上海市育才中学高三三模）已知函数．若存在，使得，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将函数的解析式利用辅助角公式进行化简，根据题意可得是函数取得最大值的的值或取得最小值的的值，再分情况讨论即可. 【详解】因为， 则由题意可得或， 则①令，，解得，， 又，要求的最大值，只需令，则，令，则， 所以的最大值为． ②令，，解得，， 又，要求的最大值，只需令，则，令，， 所以的最大值为， 综上， 的最大值为． 故答案为：. 23.将函数的图像向上平移1个单位，得到的图像，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由的最大值和可知，的最小值即为的最小值周期，然后可得. 【解析】由题知，， 因为，所以， 因为的最大值为1，所以， 所以的最小值即的最小值周期， 所以. 24. 设函数，若存在，且，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据，求出，结合以及题设可列出不等式，即可求得答案. 【详解】由于，当时，， 又，， 而在原点左侧第一个使得的x的值为，即， 由于存在，且，使得， 故需满足， 即的取值范围是， 故选：B 题型06：解三角形实际应用 25. （2024青浦区高三三次学业监测）如图，某小区内有一块矩形区域，其中米，米，点、分别为、的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为、，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段上，另外两个顶点在线段上，则该游乐区面积的最大值为______平方米．（结果保留整数） 【答案】137 【解析】 【分析】根据已知条件知，当三角形的两边分别与圆弧相切时，三角形的面积最大，设切点为，，由三角形全等得到，将三角形面积的表达式用表示，从而转化为三角函数，利用换元法转化为基本不等式求最值即可求解. 【详解】设游乐区所在的三角形为，在线段上，在线段上，如图所示， 当分别于圆弧相切时，取得最大值， 由对称性，只讨论， 设与圆弧相切于点，连接， 设，因≌，≌， 则，， 因为，所以，， ，， 所以 ， 因为，所以， 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以平方米， 即该游乐区面积的最大值为137平方米． 故答案为：137. 26.（2025复旦大学附属中学高三期末）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝ 2，B为半圆上一点，以AB为一边作等边三角形ABC，则当线段OC的长取最大值时，∠AOC＝________. 【答案】60°## 【解析】 【分析】由题中给出的原理，得出的最大值，以及取最大值时的条件，再结合余弦定理可得出答案. 【详解】因为OB·AC＋OA·BCOC·AB，且△ABC为等边三角形，OB＝1，OA＝2， 所以OB＋OAOC，所以，所以OC的最大值为3， 取等号时，∠OBC＋∠OAC＝180°，所以cos∠OBC＋cos∠OAC＝0， 不妨设AB＝x，所以＋＝0，解得， 所以cos∠AOC＝，所以∠AOC＝60°． 故答案为： 27．（24-25高三上·上海浦东新·期末）某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是 ．（精确到0.001） 【答案】1.172 【分析】以为原点建立坐标系，求出圆半径，并设出点的坐标，借助辅助角公式及正弦函数的性质求出最小值. 【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，连接， 令圆的半径为，则，解得，设， 因此， 当且仅当时取等号， 所以步行道、长度之和的最小值是. 故答案为： 28．（24-25高三上·上海金山·期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 【答案】 【分析】令，，在中应用余弦定理及基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得答案. 【详解】令，，且， 在中，， 当且仅当米时，取最小值，此时最大. 故答案为： 29．（24-25高三上·上海金山·期末）已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据扇形弧长与圆锥底面周长关系列方程求底面半径，结合圆锥的结构特征求该圆锥的母线与底面所成角余弦值，即可确定大小. 【详解】令底面半径为，则，可得，且圆锥母线为， 所以该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为，故其大小为. 故答案为： 30．（2024·上海静安·一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 . 【答案】 【分析】根据正切函数的定义得到方程，解出即可. 【详解】分别过点作的垂线，垂足分别为， 则根据正切函数的定义得，， 则，解得. 故答案为：. 31．（2024·上海静安·一模）记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为 . 【答案】 【分析】由偶函数的性质可得出，令，，利用三角恒等变换结合正弦型函数的有界性可求得该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值. 【详解】因为二次函数为偶函数， 则该函数的对称轴为直线，可得， 令，， 则， 因此，该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为. 故答案为：. 32．（2024·上海嘉定·一模）某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面，圆弧形桥面所在圆的半径为4米，圆心在上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设，根据空间限制及桥面坡度的限制，的范围为，则当桥面修建总费用最低时的值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，结合弧长公式求出桥面修建总费用的函数关系，再利用导数探讨函数最小值问题. 【详解】连接，依题意，，则， ，的长度为， 则桥面修建总费用，， 而，求导得， 由，得，则，由，得， 当，即时，； 当，即时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当且仅当时，取得最小值，即桥面修建总费用最低. 故答案为： 题型07：三角函数命题结论辨析 33. 若，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选项A，利用辅助角公式，得到，取，即可判断出选项A的正误； 选项B，利用余弦的和差角公式，得到，再根据条件即可得出选项B的正误； 选项C和D，通过取特殊角即可判断出选项C和D的正误. 【详解】对于选项A，因为，又，所以当时， ，故选项A错误； 对于选项B，因为， 又，所以，得到， 即，故选项B正确； 对于选项C，当时，，，故选项C错误； 对于选项D，当时，，故选项D错误， 故选：B. 34. （2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知的三个内角分别为A，B，C，则下列判断正确的是（    ） 命题p：对任何锐角A，都存在，使得； 命题q：对任何锐角A，都存在，使得． A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p是假命题，q是假命题 【答案】A 【分析】利用和差角的余弦公式变形推理判断p，利用和角的正切结合已知推理判断q作答. 【详解】命题p，， 在中， ，则， 令，则有，即， 于是，又，因此，而正弦函数在上递增， 则，即，亦即， 所以对任何锐角A，都存在，使得，p是真命题； 命题q，， 在斜中，， 于是，将代入得：，即有，则对任何锐角A，都存在，q是真命题， 所以选项A正确，BCD错误. 故选：A 【点睛】思路点睛：三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证. 35. 设函数，其中、、、为已知实常数，，有下列四个命题：（1）若，则对任意实数恒成立；（2）若，则函数为奇函数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当时，若，则（）；则上述命题中，正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用两角和的余弦公式化简表达式. 对于命题（1），将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出（1）选项的真假； 对于命题（2）选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为奇函数，由此判断出（2）选项的真假； 对于命题（3）选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为偶函数，由此判断出（3）选项的真假； 对于命题（4）选项，根据、，求得的零点的表达式，进而判断出（4）选项的真假. 【详解】 不妨设 ．为已知实常数. 若，则得 ；若，则得． 于是当时，对任意实数恒成立，即命题（1）是真命题； 当时，，它为奇函数，即命题（2）是真命题； 当时，，它为偶函数，即命题（3）是真命题； 当时，令，则 ， 上述方程中，若，则，这与矛盾，所以． 将该方程的两边同除以得 ，令 （）， 则 ，解得 （）． 不妨取 ， （且）， 则，即 （），所以命题（4）是假命题． 故选：C 【点睛】本题考查两角和差公式，三角函数零点，三角函数性质，重点考查读题，理解题和推理变形的能力，属于中档题型. 36. 设函数，其中为已知实常数，，则下列命题中错误的是（ ） A．若，则对任意实数恒成立； B．若，则函数为奇函数； C．若，则函数为偶函数； D．当时，若，则 （）． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式化简表达式. 对于A选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出A选项为真命题. 对于B选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为奇函数，由此判断出B选项为真命题. 对于C选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为偶函数，由此判断出C选项为真命题. 对于D选项，根据、，求得的零点的表达式，由此求得 （），进而判断出D选项为假命题. 【详解】 . 不妨设 ．为已知实常数. 若，则得 ；若，则得． 于是当时，对任意实数恒成立，即命题A是真命题； 当时，，它为奇函数，即命题B是真命题； 当时，，它为偶函数，即命题C是真命题； 当时，令，则 ， 上述方程中，若，则，这与矛盾，所以． 将该方程的两边同除以得 ，令 （）， 则 ，解得 （）． 不妨取 ， （且）， 则，即 （），所以命题D是假命题． 故选：D 【点睛】本小题主要考查两角和的余弦公式，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数零点有关问题的求解，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题. 题型08：三角函数与向量、数列综合 37．（2023华二普陀模拟预测）在中，有，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 又，， 所以 又，，， 所以， 即， ， 当且仅当即时取等号， 显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，此时， 所以，即的最大值是． 故选：D． 38.设函数的零点为，若成等比数列，则_______. 【答案】 【分析】将函数的零点转化为的交点横坐标，结合函数图像，列方程求出零点，进而可得的值. 【详解】令，得 则函数的零点 即为的交点横坐标，如图： 由图可知， 解得 故答案为：. 39.设角数列的通项为，其中为常数且．若存在整数，使的前项中存在满足，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】由确定之间的关系，结合的范围求的最大值. 【详解】因为，不妨设， 所以或， 所以或， 所以或 因为，，所以， 所以， 因为，所以 所以，又， 所以 所以，又 若，为偶数时， 要使最大，则最小，又，所以， 所以当时取最大值，最大值为 若，为奇数时， 要使最大，则最小，又，所以， 所以当时取最大值，最大值为， 同理可得 若，为偶数时，则的最大值为 若，为奇数时，则的最大值为 又， 所以的最大值为， 故答案为：. 40.设数列是首项为0的递增数列，函数满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得，再利用“累加”法和等差数列的前n项和公式，即可求解． 【详解】 由题意，因为，当时，， 又因为对任意的实数，总有两个不同的根，所以， 所以， 又， 对任意的实数，总有两个不同的根，所以， 又， 对任意的实数，总有两个不同的根，所以， 由此可得， 所以， 所以． 故答案为． 41.（2026届高三青浦区一模）对于实数,定义集合,集合的元素个数为,给出下列说法: ①存在，使得；②存在，使得； ③存在，使得；④存在，使得. 其中正确的说法有（ ）个. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】当时， 此时 当时， 此时 当时， 此时 当时， 此时 故选：C 42. （2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考）将关于x的方程（t为实常数，）在区间上的解从小到大依次记为，设数列的前n项和为，若，则t的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据三角函数的周期性得出满足的关系，然后再根据的对称性可得结果. 【详解】由得，则方程的解即为函数图象与直线交点的横坐标，    因为函数的周期为， 所以是以x1为首项，为公差的等差数列， 是以x2为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 令得， 因为，所以， 由函数图象的对称性知，x1与对应的点关于函数图象的某条对称轴对称， 因为， 所以当，即时，可知x1与对应的点关于直线对称，此时满足成立； 当，即时，可知x1与对应的点关于直线对称，此时由得， 所以； 当，即时，可知x1与对应的点关于直线对称，此时不满足； 综上，或. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：涉及同一函数的不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直线与函数图象交点横坐标问题，结合函数图象性质求解. 43. 已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据给定条件，结合三角恒等变换化简得，由正切函数性质可得随增大而增大，再由的临界值点得，代入利用二倍角的余弦求解即得. 【详解】设等差数列的公差为，，依题意，， 于是，整理得， 即，因此， 即有，则随增大而增大，而 当，时，到达时是临界值点，此时， 代入得，即，整理得， 而，解得，则，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换化简所列式子，借助函数单调性分析的临界值点是解决本问题的关键. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $