专练06 函数与导数填选压轴题—— 2026届上海市高三数学二轮复习

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题训练06 函数与导数填选压轴题 题型01：函数基本性质的综合 1. 设常数a≥0，若函数既不是奇函数，又不是偶函数，则a的取值范围是 　.（结果用区间表示） 【分析】由已知先求出f（x）分别为奇函数及偶函数时的a的取值，然后利用补集思想可求． 【解答】解：若f（x）为奇函数， 则f（﹣x）+f（x）＝+＝0， 整理得＝0， 所以1﹣a2＝0，即a＝1或a＝﹣1， 又a≥0， 故a＝1， 若若f（x）为偶函数， 则f（﹣x）＝f（x）， 所以＝， 整理得2a•5x＝2a， 所以a＝0， 故当f（x）不上奇函数，也不是偶函数时，a＞0且a≠1． 故答案为：（0，1）∪（1，+∞）． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性定义的应用，属于基础题． 2.记，已知f（x）、g（x）均是定义在实数集R上的函数，设h（x）＝max{f（x），g（x）}，有下列两个命题： ①若函数f（x）、g（x）都是偶函数，则h（x）也是偶函数； ②若函数f（x）、g（x）都是奇函数，则h（x）也是奇函数． 则关于两个命题判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 【分析】根据题意，通过已知定义及反例举例说明选项中的命题是否成立即可． 【解答】解：由题意得，①若函数f（x）、g（x）都是偶函数，则h（x）＝max{f（x），g（x）}也是偶函数，； ②函数f（x）＝x、g（x）＝﹣2x都是奇函数，则h（x）＝显然不是R上的奇函数． 故选：B． 3.已知函数g（x）的定义域为R，对任意实数m、n都有g（m+n）＝g（m）+g（n）+2022，且函数f（x）＝+g（x）的最大值为p，最小值为q，则p+q＝（　　） A．﹣2 B．2022 C．﹣2022 D．﹣4044 【分析】根据题意，可令m＝n＝0，从而求出g（0）＝﹣2022，然后令m＝﹣n可得出函数g（x）+2022是奇函数，并且y＝是奇函数，从而可得出f（x）+2022是奇函数，从而得出p+2022+q+2022＝0，从而可求出p+q的值． 【解答】解：∵g（x）的定义域为R，对任何实数m，n，都有g（m+n）＝g（m）+g（n）+2022， ∴令m＝n＝0，得g（0）＝g（0）+g（0）+2022，解得g（0）＝﹣2022， ∴令m＝﹣n得，g（0）＝g（﹣n）+g（n）+2022＝﹣2022，∴[g（﹣n）+2022]+[g（n）+2022]＝0， ∴g（x）+2022是R上的奇函数，且函数y＝是R上的奇函数， ∴f（x）+2022是R上的奇函数， 根据奇函数最大值和最小值互为相反数得，p+2022+q+2022＝0， ∴p+q＝﹣4044． 故选：D． 【点评】本题考查了奇函数的定义及判断，奇函数最大值和最小值的关系，考查了计算和推理能力，属于中档题． 题型02：零点与方程实数根问题 4.函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内 (　　)． A．没有零点 B．有且仅有一个零点 C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点 【答案】B 【详解】令，，则它们的图像如图 故选B 5.设定义域为的函数，则关于的方程有个不同实数解的充要条件是( ) A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解析】因为，所以由题设可知不成立，排除答案B；当时，如取，则无解，故应排除答案A；若，也不合题意，所以答案D；当且时，方程可化为符合题意，应选答案C。 点睛：解答本题所运用的数学思想方法不是正面进行求解，而是采用排除、筛选的方法，将题设提供的四个选择支中的四个答案逐一分析推断，排除和剔除错误的答案，选出正确的命题的答案，从而使得问题获解。 6.（2025上海市进才中学高三5月模拟）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先可得的周期为，方程的解，即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图， 方程的解，即为与的交点横坐标， 且当时， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 7. （2025七宝中学高三三模）已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①､②都正确 D. ①､②都错误 【答案】B 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系画出与的图象，结合函数图象即可判断①；再分别求出与的解，即可判断无解的条件，从而判断②，即可得解； 【详解】解：在同一平面直角坐标系画出与的图象如下所示： 由，解得，由函数图象可知当或时为偶函数，故①错误； 令，解得，令，解得，因为，，，所以当，时满足无解，故存在无穷多非空集合对，使得方程无解，故②正确； 故选：B 8. 已知函数，若实数互不相等，且，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】画出的图象，结合图象得的取值范围，再由，，用表示，结合函数导数可求出的取值范围. 【详解】解：令，解得，当时，，所以函数的图象如图， 当时，或，因为，所以，，， 因为，所以，因为，所以， 所以，设 ， 所以，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，， 单调递增，所以当时，， 由，所以取值范围为， 故答案为: . 9. 已知函数，若实数满足，，则的取值范围为___________ . 【答案】 【解析】画出的图像如图所示，可知为R上的单调递增函数，又，可得，故 ，结合，可得，有，构造，利用导数研究单调性，可得，即得解 【详解】画出的图像如图所示，可知为R上的单调递增函数， 由于，不妨设，可知故 不妨设 故在单调递减，在单调递增， 故可得的最小值为 故答案为： 10. （2025届上海市大同中学高三三模）已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据②将方程变形为，由①知为增函数，从而，变形构造函数可得，代入可得结果. 【详解】由②及题设条件，得. 由①，知为增函数，得，即 即 令，则. 又为增函数，所以，即，所以， 故. 故答案为：2. 题型03：函数的极值最值与范围问题 11.若函数 既有极大值也有极小值，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数既有极大值也有极小值转化为导函数对应的方程有两个不等正根即可解决问题. 【详解】因为，所以函数定义域为， ， 由题意，方程，即有两个不相等的正根，设为， 则，解得，即的取值范围为，故选：A. 12. 已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得导函数在区间有两个零点，根据二次函数的性质可得，由根与系数的关系可得以及，求出的表达式，将用表示，表示为关于的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果. 【详解】由题意得，令，得， 由题意知在上有两个根，，∴，得． 由根与系数的关系得，由求根公式得， ∵，∴，∵，∴．则， 令，则．设，则， 易知在上单调递增，∴， ∴当时，函数为减函数，∴，且， ∴，故选：D. 13.若函数存在两个极值点，，（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导，可得，是有两解，根据，所以，带入可得，由即可得解. 【详解】根据题意，是有两解， 所以，所以， ，， 由可得， ， 由可得，，则， 故选：D. 14.若函数存在两个极值点和，则取值范围为 A．(-∞，] B．(-∞，) C．(，+∞) D．[，+∞) 【答案】B 【分析】和是的两个极值点，则和是的两根，即，则，此时能得到一个关于参数的不等式,且由韦达定理有，，∴，将这些值带入到的表达式中，从而得到一个关于的函数，求新的函数的值域问题. 【详解】，由函数存在两个极值点和，得，∴. 且，，∴， ， 令，，∵，，所以在(2，+∞)上递减，，即，故选B. 【点睛】由函数极值点问题，可以得到则和是的两根，二次函数存在两个不等实根，此时存在一个范围，同时由韦达定理，能得到，，的相关值，代入到所求的中，重新得到一个关于的函数，求新函数的值域. 题型04：函数整数解问题 15.已知函数，，若关于x的不等式在区间内有且只有两个整数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化为，再根据函数在区间内为增函数，化为，即.令 ，利用导数研究函数的性质，得函数的图象，根据图象列式可求出结果. 【详解】显然， 由，得，得， 得， 令，，则 ， 所以函数区间内为增函数， 所以可化为，即，即， 所以关于x的不等式在区间内有且只有两个整数解， 令 ，则 ， 令，得，令，得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 因为关于x的不等式在区间内有且只有两个整数解， 结合图形可知，满足题意的整数解只能是和， 所以，即. 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，将化为，再构造函数 ，利用的图象求解是本题解题关键. 16.已知，若有且只有两个整数解使成立，则实数的取值范围为______ 【分析】计算可得，分、两种情况讨论，令，利用导数分析函数的单调性，数形结合可求得实数的取值范围. 【详解】因为， ①当时，由可得，令， 则，由，可得或（舍）， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 且，无解； ②当时，由可得， 令，则， 由，可得（舍）或， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 因为，因为，，如下图所示： 因为有且只有两个整数解使成立， 所以，，即. 综上所述，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式的整数解的个数，解题的关键在于利用参变量分离法以及数形结合思想可得出参数的取值范围. 17.已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是______ 【分析】将问题化为有且只有两个整数解，利用导数研究的性质，并画出与的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求k的范围. 【详解】由题设，定义域为，则可得， 令，则， 所以时，即递增，值域为； 时，即递减，值域为； 而恒过，函数图象如下： 要使有且只有两个整数解，则与必有两个交点， 若交点的横坐标为，则， 所以，即. 【点睛】关键点点睛：首先转化为有且只有两个整数解，导数研究函数性质，再应用数形结合法判断、交点横坐标范围，即可求参数范围. 题型05：解不等式与不等式恒成立问题 18设函数，若对于任意的都成立，则的取值范围为_______ 【分析】由定义域可知，可进行参变分离，转化为函数求最值问题解决，结合函数特征，使得的图像始终在的下方，通过求切线的斜率可以求得. 【详解】若对于任意的都成立，即，即. 令，所以， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以； 若对于任意的都成立，由函数及的图象易知， 若使对于恒成立，只需处在图象上方， 的最小值在处，两个图象相切处取得， 函数的导数为，时，，即. 综上，的取值范围为. 19.设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是_____ 【分析】根据不等式在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，用导数法求得最大值，转化为 ，再令，得到，求其最大值即可. 【详解】因为不等式在上恒成立，所以不等式在上恒成立， 令，则 在上恒成立，令， 所以，若，则 ， 在递增，当时， ，不等式不成立， 故，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，所以，所以， 所以，令，则，所以， 当时，当时，，所以当时，取得最小值， 所以的最小值是. 20.已知关于的不等式恒成立，则的最小值为______ 【分析】 令，则将问题转化为，求出函数的导数，根据函数的单调性可求出的最大值，问题转化为，时，，从而可求出其最小值. 【详解】关于的不等式恒成立，即， 令，则，， 当时，，则在上递增，所以无最大值，当时，令，解得，令，解得，所以在上递增，在上递减，所以，所以，得， 所以，即，所以当时，，令， 所以此时取最小值为，当时，，综上，的最小值为， 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为恒成立，构造函数，则只要，利用导数求函数的最大值，考查数学转化思想，属于难题. 21.已知函数，若时，恒有，则的最大值为_______ 【分析】对函数求导并带入已知不等式中，将不等式恒成立问题由构造新函数并借助导数利用分类讨论求最小值即可求出ab的不等式关系，进而表示，再令并构造，利用导数求得最大值即可. 【详解】因为函数，则， 由题可知，对，恒有成立， 令，则， 当时，函数在R上单调递增，且时，，不符合题意； 当时，， 当时，令，所以函数在上单调递增，且在上单调递减； 所以， 故， 令，则，且， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以，故， 综上所述，的最大值为. 22.当时，不等式有解，则实数m的范围为______ 【分析】先令，构造导数证得在上存在使得，即满足题意，故排除D；再利用一次函数的单调性证得当时，在上恒成立，即可排除BC，实则至此已经可以选择A选项，然而我们可以进一步证得当时，题设不等式也成立，由此选项A正确. 【详解】当时，题设不等式可化为有解， 令，则问题转化为有解， ， 令，则，所以在上单调递增， 又，，故在上存在唯一零点，且，两边取自然对数得， 所以当时，，即，故单调递减；当时，，即，故单调递增； 所以，即在上存在使得，即有解， 即满足题意，故排除D. 由上述证明可得，即在上恒成立， 令，则，故在上单调递增； 所以当时，，即，故， 即当时，在上恒成立，显然题设不等式无解，矛盾，故排除BC； 当时，，即，故， 又，故，即至少有一解； 综上：，即选项A正确. 题型06：命题结论辨析 23.（2025杨浦区高三5月质量检测） 已知函数与它的导函数的定义域均为，现有下述两个命题： ①“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件. ②“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； 则说法正确的选项是（ ） A. 命题①和②均为真命题 B. 命题①为真命题，命题②为假命题 C. 命题①为假命题，命题②为真命题 D. 命题①和②均为假命题 【答案】C 【解析】 【分析】可举例说明①中“为严格增函数”和“为严格增函数”之间的逻辑关系，即可判断其真假；结合复合函数的求导以及为奇函数可判断“为奇函数”和“为偶函数”之间的逻辑关系，即可判断②的真假，即得答案. 【详解】对于①，不妨取为R上严格增函数，其导函数在R上不是单调函数， 即“为严格增函数”推不出“为严格增函数”‘ 取，其导函数为R上严格增函数，但不是单调函数， 故“为严格增函数”推不出“为严格增函数”， 因此“为严格增函数”是“为严格增函数”的既不充分也不必要条件， 故①为假命题； 对于②，为奇函数，则， 故，即，即为偶函数； 当为偶函数时，不妨取，其导函数为偶函数， 但不是奇函数， 故“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件，②为真命题， 故选：C 24. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②对任意，成立；③当，，时，总有成立.有下列两个命题： 命题①：函数在定义域内是增函数； 命题②：对任意，都有成立. 则下列说法正确的是（ ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 【答案】A 【解析】 【分析】令，结合性质②③可得，即可判断①；由此有在上是增函数，进而得到，应用反证法：若存在，使成立，讨论、，结合递归思想判断的存在性，判断②. 【详解】令，则， 所以， 又对任意成立， 则，即， 所以， 即对任意，都有， 所以在是增函数，故①为真命题； 令，则， 而任意成立，所以， 又，故， 反证法：若存在，使成立， 对于，，而，此时不存在使成立； 对于，若存在使成立，则， 而，则，即， 由，依次类推，必有，且趋向于无穷大， 此时，而必然会出现大于1的情况，与矛盾， 所以在上也不存在使成立， 综上，对任意，都有成立，故命题②为真命题. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：对于②的真假判断，应用反证及递归思想推出情况下矛盾结论. 25.（2026届高三静安一模）已知函数.现有下述两个结论: ①若在区间内恰有一个零点，则的取值范围是； ②若，则方程的解为.则下列说法正确的是（ ） A.结论①和②均正确 B.结论①正确，结论②错误 C.结论①错误，结论②正确 D.结论①和②均错误 【答案】B 【解析】令，则 在区间内恰有一个解； 在区间内恰有一个交点； 令 当时， 所以①正确； 因为定义域为 显然不在定义域内，错误； 所以②错误； 故选：B. 26.已知函数，为的导函数，则下列结论正确的个数是（ ） ①当时，； ②函数在上只有一个零点； ③函数在上存在极小值点；④在上无实根． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 根据，，可判定①正确；利用导数求得函数的单调性，结合零点的存在定理，可判定②正确；根据导数和极值的概念，可判定③错误；构造，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定④正确． 【详解】 ①中，当时，∵，，∴，故①正确； ②中，由函数，则， 所以，所以在上单调递减， 因为，， 根据零点存在性定理，所以，使得， 所以在上只有一个零点，故②正确； ③中，因为在上只有一个零点， 当时，；时，， 即的单调递增区间为；单调递减区间为， 所以为在上的唯一个极大值点，故③错误； ④中，设，则，， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 又，所以，所以在上单调递增， 此时，不存在零点， 又，所以，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 所以在上恒成立，此时不存在零点， 故在上无实根，故④正确． 故选：C. 题型07：新定义问题 27. 设为非空集合，函数的定义域为，若存在使得对任意的均有，则称函数具有性质. 给出以下两个命题，则下列选项中正确的是（ ）. ① 若且恒成立，则函数具有性质； ② 若且，则“”是“函数具有性质的必要非充分条件. A. ①②都正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①②都错误 【答案】C 【解析】 【分析】据函数具有性质的定义判断. 【详解】对于①：若存在，对，均有，即恒成立， 则为的最小值，但函数定义域为的函数，值域为， 且满足恒成立，但无最小值，不存在，使得恒成立，故①错误； 对于②：若，不妨取，此时， 显然不可能是的子集， 所以不具有“性质”，即“”不是“函数具有性质的充分条件； 若函数具有性质，因为函数的定义域为， 所以，对，， 因为的值域为，所以的最大值为，最小值为， 则，所以， 所以“”是“函数具有性质的必要条件 综上，“”是“函数具有性质的必要非充分条件.②正确. 所以①错误②正确. 故选：C. 28. （2025上海市格致中学高三三模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集U的元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数，集合A、B都是U的子集．现有以下四个命题： ①若，则； ②； ③； ④； 注：表示M中所有元素x所对应的函数值之和．（其中M是定义域的子集） 上述命题中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，知对集合的指示函数求和的结果是属于集合的元素的个数，再结合指示函数的定义对各选项进行逐项分析． 【详解】由已知，集合集合S的指示函数， 则对集合的指示函数求和的结果是属于集合的元素的个数； 对于①，因为，所以若，则，此时， 若，但，此时，，此时， 若，且，此时，故始终有，①正确； 对于②，当时，由指示函数的意义知，次数，②错误； 对于③，表示属于中的元素个数， 表示中元素个数加中元素个数再减去中的元素个数，即中的元素个数， 故③正确； 对于④，当且仅当，且时，， 否则， 所以表示中既不在中又不在中的元素个数， 即中的元素个数， 表示中元素个数减去中元素个数再减去中元素个数， 相较左边多减了1次中的元素个数，故左右两式不相等，④错误； 综上，①③正确，②④错误，真命题个数为2． 故选：B 29.（2023届浦东新区高三数学三模） 已知定义在上的函数． 对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意（）都成立，则称为在上的一个“M点”． 有以下两个命题： ①若是在区间上最大值，则是在区间上的一个M点； ②若对任意，都是在区间上的一个M点，则在上严格增． 那么（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题 【答案】D 【解析】 【分析】举出反例，得到①②错误. 【详解】对于①，设，满足是在区间上的最大值，但不是在区间上的一个M点，①错误； 对于②，设，对于区间，令为有理数，满足对任意（）都成立，故为区间上的一个M点， 但在上不是严格增函数. 故选：D 【点睛】举出反例是一种特殊的证明方法，它在证明“某命题”不成立时，可达到事半功倍的效果. 30. （2023七宝中学二模）已知定义在R上的函数，对于给定集合A，若，当时都有，则称是“A封闭”函数.已知给定两个命题： ：若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数； ：若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数. 则下列判断正确的为（ ） A. 对，对 B. 不对，对 C. 对，不对 D. 不对，不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义可得都有，都有，再判定所给定区间里是否有成立即可判断作答. 【详解】对命题：对于集合使，则,而是“封闭”函数， 则，即都有， 对于集合使，则， 而， 所以， 即，故一定是“封闭”函数正确； 对命题，其逆否命题为，若是“封闭”函数，则不是“[a,b]封闭”函数， 只需判断出其逆否命题的正误即可，使，则， 若，则，由解得，因为，所以， 即使，则， 满足是“[a,b]封闭”函数， 所以命题的逆否命题为假命题，则原命题也为假命题，错误. 故选：C 【点睛】思路点睛：函数性质及命题真假判断，根据给定条件可得都有，都有，再利用递推关系及函数新定义判断正误即可. 31. （华师大第三附属中学2024-2025学年高三下第一次阶段测试）在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点O逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“R函数”.已知函数，中恰有一个为“R函数”，则满足条件的m的整数值的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由“相对”思想，将问题转化为直线与的图象至多一个交点，函数与的交点问题，转化为方程的根来求解；与的交点问题则转化为函数的零点问题，利用导数求解可得. 【详解】由函数定义可知，在平面直角坐标系中， 任意与轴垂直的直线与函数的图象至多一个交点. 由题意函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转，仍为函数图象， 相对可知，任意与轴垂直的直线绕原点顺时针旋转后，与图象至多一个交点， 即，直线与的图象至多一个交点， 故，方程至多一个实数根. 对于函数： ，要使方程至多一个实数根， 即，方程在至多一个实数根， 又不是方程的根， 当时，至多一个实数根，满足题意； 当时，对任意，方程的判别式不恒成立，不满足题意； 故若函数为“R函数”，则； 对于函数： ，方程至多一个实数根至多一个实数根， 故只需函数是单调函数， 由，设， 则，其中， ①当时， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 则， 即，且，； 故在必不单调； ②当时， 同理可得，在上单调递增，在上单调递减； ，且；， 故恒成立不可能， 所以要使函数是单调函数， 则只需恒成立，则只需， 解得. 即若中为“R函数”，则. 综上所述，满足条件的m的整数值为，共个. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于“相对”运动思想的应用，题目中“将函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转，仍为函数图象”，由“相对”思想，转化为“任意与轴垂直的直线绕原点O顺时针旋转后，与图象至多一个交点”，进而根据函数及后续运算特点转化为方程的实数根或函数的零点问题求解. 32. （杨浦高级中学2024-2025学年高三下月考）记函数，函数，若对任意的，总有成立，则称函数包裹函数 .判断如下两个命题真假： ①函数包裹函数的充要条件是； ②若对于任意对任意都成立，则函数包裹函数. 则下列选项正确的是（ ） A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①②全假 D. ①②全真 【答案】D 【解析】 【分析】①根据包裹函数的定义可以得到，由，可得，即①正确； ②利用反证法证明可得，即，则函数包裹函数，即②正确. 【详解】①因为函数包裹函数， 所以， 又因为，所以， 所以函数包裹函数的充要条件是，故①正确； ②假设，令， 则当时，，与题意中矛盾， 故假设不成立.所以，即， 所以函数包裹函数，故②正确. 故选：D. 题型08：函数导数与数列、向量综合 33. 已知等差数列首项为2，公差为2，前项和为，数列前项和为，且满足.若对于任意，成立，则的最小值为______. 【详解】因为数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，， 所以， 所以 ， 对于任意，成立，只需即可， 令，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取最大值， 所以，即，所以的最小值为， 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题训练06 函数与导数填选压轴题 题型01：函数基本性质的综合 1. 设常数a≥0，若函数既不是奇函数，又不是偶函数，则a的取值范围是 　.（结果用区间表示） 2.记，已知f（x）、g（x）均是定义在实数集R上的函数，设h（x）＝max{f（x），g（x）}，有下列两个命题： ①若函数f（x）、g（x）都是偶函数，则h（x）也是偶函数； ②若函数f（x）、g（x）都是奇函数，则h（x）也是奇函数． 则关于两个命题判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 3.已知函数g（x）的定义域为R，对任意实数m、n都有g（m+n）＝g（m）+g（n）+2022，且函数f（x）＝+g（x）的最大值为p，最小值为q，则p+q＝（　　） A．﹣2 B．2022 C．﹣2022 D．﹣4044 题型02：零点与方程实数根问题 4.函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内 (　　)． A．没有零点 B．有且仅有一个零点 C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点 5.设定义域为的函数，则关于的方程有个不同实数解的充要条件是( ) A．且 B．且 C．且 D．且 6.（2025上海市进才中学高三5月模拟）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 7. （2025七宝中学高三三模）已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①､②都正确 D. ①､②都错误 8. 已知函数，若实数互不相等，且，则的取值范围为______． 9. 已知函数，若实数满足，，则的取值范围为___________ . 10. （2025届上海市大同中学高三三模）已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 题型03：函数的极值最值与范围问题 11.若函数 既有极大值也有极小值，则（     ） A． B． C． D． 12. 已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13.若函数存在两个极值点，，（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14.若函数存在两个极值点和，则取值范围为 A．(-∞，] B．(-∞，) C．(，+∞) D．[，+∞) 题型04：函数整数解问题 15.已知函数，，若关于x的不等式在区间内有且只有两个整数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16.已知，若有且只有两个整数解使成立，则实数的取值范围为______ 17.已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是______ 题型05：解不等式与不等式恒成立问题 18设函数，若对于任意的都成立，则的取值范围为_______ 19.设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是_____ 20.已知关于的不等式恒成立，则的最小值为______ 21.已知函数，若时，恒有，则的最大值为_______ 22.当时，不等式有解，则实数m的范围为______ 题型06：命题结论辨析 23.（2025杨浦区高三5月质量检测） 已知函数与它的导函数的定义域均为，现有下述两个命题： ①“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件. ②“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； 则说法正确的选项是（ ） A. 命题①和②均为真命题 B. 命题①为真命题，命题②为假命题 C. 命题①为假命题，命题②为真命题 D. 命题①和②均为假命题 24. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②对任意，成立；③当，，时，总有成立.有下列两个命题： 命题①：函数在定义域内是增函数； 命题②：对任意，都有成立. 则下列说法正确的是（ ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 25.（2026届高三静安一模）已知函数.现有下述两个结论: ①若在区间内恰有一个零点，则的取值范围是； ②若，则方程的解为.则下列说法正确的是（ ） A.结论①和②均正确 B.结论①正确，结论②错误 C.结论①错误，结论②正确 D.结论①和②均错误 26.已知函数，为的导函数，则下列结论正确的个数是（ ） ①当时，； ②函数在上只有一个零点； ③函数在上存在极小值点；④在上无实根． A．1 B．2 C．3 D．4 题型07：新定义问题 27. 设为非空集合，函数的定义域为，若存在使得对任意的均有，则称函数具有性质. 给出以下两个命题，则下列选项中正确的是（ ）. ① 若且恒成立，则函数具有性质； ② 若且，则“”是“函数具有性质的必要非充分条件. A. ①②都正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①②都错误 28. （2025上海市格致中学高三三模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集U的元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数，集合A、B都是U的子集．现有以下四个命题： ①若，则； ②； ③； ④； 注：表示M中所有元素x所对应的函数值之和．（其中M是定义域的子集） 上述命题中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 29.（2023届浦东新区高三数学三模） 已知定义在上的函数． 对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意（）都成立，则称为在上的一个“M点”． 有以下两个命题： ①若是在区间上最大值，则是在区间上的一个M点； ②若对任意，都是在区间上的一个M点，则在上严格增． 那么（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题 30. （2023七宝中学二模）已知定义在R上的函数，对于给定集合A，若，当时都有，则称是“A封闭”函数.已知给定两个命题： ：若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数； ：若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数. 则下列判断正确的为（ ） A. 对，对 B. 不对，对 C. 对，不对 D. 不对，不对 31. （华师大第三附属中学2024-2025学年高三下第一次阶段测试）在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点O逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“R函数”.已知函数，中恰有一个为“R函数”，则满足条件的m的整数值的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 32. （杨浦高级中学2024-2025学年高三下月考）记函数，函数，若对任意的，总有成立，则称函数包裹函数 .判断如下两个命题真假： ①函数包裹函数的充要条件是； ②若对于任意对任意都成立，则函数包裹函数. 则下列选项正确的是（ ） A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①②全假 D. ①②全真 题型08：函数导数与数列、向量综合 33. 已知等差数列首项为2，公差为2，前项和为，数列前项和为，且满足.若对于任意，成立，则的最小值为______. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $