专练05 圆锥曲线填选压轴题—— 2026届上海市高三数学二轮复习

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题训练05 圆锥曲线填选压轴题 题型一、圆锥曲线性质综合 1.已知双曲线的左顶点为A，右焦点为，离心率为．若动点在双曲线的右支上且不与右顶点重合，满足恒成立，则双曲线的渐近线的方程为_________． 2．（2023·上海·统考模拟预测）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，其大小关系为________．    3．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为______ 4．如图，在平面直角坐标系，中心在原点的椭圆与双曲线交于四点，且它们具有相同的焦点，点分别在上，则椭圆与双曲线离心率之积 . 题型二、求圆锥曲线离心率的值或范围 5.设双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为_______ 6. 已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为_______ 7.已知双曲线（）的左焦点为F，过F的直线交E的左支于点P，交E的渐近线于点M，N，且P，M恰为线段FN的三等分点，则双曲线E的离心率为______ 8.双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为_______ 9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为圆与的一个公共点，若，则当时，椭圆的离心率的取值范围为 . 题型三、最值与范围问题 10.长为11的线段AB的两端点都在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为______ 11.已知F1，F2分别为双曲线C：的左､右焦点，E为双曲线C的右顶点.过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·上海宝山·上海交大附中校考三模）已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为__________. 13.过抛物线C：y2=4x的焦点F分别作斜率为k1、k2的直线l1、l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，若|k1·k2|=2，则|AB|+|DE|的最小值为______ 14.已知点在椭圆C：上， 过点作直线交椭圆C于点的垂心为，若垂心在y轴上．则实数的取值范围是________________． 题型四：轨迹与方程 15．“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为9.若上第一象限内的点满足的面积为，则 . 16．如图所示的曲线称为双纽线，是到两定点，的距离之积为定常数的点的轨迹，其对称中心为坐标原点，则下列说法错误的有（   ） A． B．若曲线与圆心在坐标原点的圆相交，则交点必在某等轴双曲线上 C．在第一象限，曲线上的点的纵坐标的最大值为 D．过双曲线上一点，作圆的两条切线，切点分别为，，若直线与的交点在曲线上，则 17．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）曲线T：图象是类似椭圆的封闭曲线，T上动点P（P在第一象限）到直线距离的最大值为.当实数a变化时，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得的三条曲线与围成的图形称作花瓣曲线（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则下列结论正确的是_____    (1)开口向上的抛物线的方程为 (2) (3)直线截花瓣曲线第一象限部分的弦长最大值为 (4)阴影区域的面积不大于 19．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）曲线：，下列两个命题： 命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128； 命题乙：当k=2n，时，曲线围成的面积总大于4； 下面说法正确的是（    ） A．甲是真命题，乙是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲是假命题，乙是假命题 20．平面内到定点、轴、轴的距离之和等于4的点的轨迹是如图所示的曲线，它由4部分组成，每部分都是双曲线上的一段，设是该曲线上一点，则下列说法正确的是_______ (1) (2)当都是整数时，称为格点，则上有2个格点 (3)的最大值为 (4)在第一象限对应的双曲线的离心率为 21.箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚·阿涅西的深入研究而闻名于世．如图所示，过原点的动直线交定圆于点，交直线于点，过和分别作轴和轴的平行线交于点，则点的轨迹叫做箕舌线．记箕舌线函数为，设，下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．点的横坐标为 C．点的纵坐标为 D．的值域是 22. 心脏线，也称心形线，是一个圆上的固定一点在该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名.心脏线的平面直角坐标方程可以表示为，，则关于这条曲线的下列说法： ①曲线关于轴对称； ②当时，曲线上有4个整点（横纵坐标均为整数的点）； ③越大，曲线围成的封闭图形的面积越大； ④与圆始终有两个交点. 其中，所有正确结论的序号是___________. 题型五、命题结论真假辨析 23.已知曲线，对于命题：①垂直于轴的直线与曲线有且只有一个交点；②若 为曲线上任意两点，则有，下列判断正确的是（       ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 题型六、圆锥曲线的实际应用 24.一辆卡车要通过跨度为8米、拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，则卡车的限高为 米（精确到0.01米）. 25．（2024·上海交大附中·模拟）椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为，第二、三次听到回音的时间间隔为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型七、新定义问题 26．已知点在曲线上，⊙过原点，且与轴的另一个交点为，若线段，⊙和曲线上分别存在点、点和点，使得四边形（点，，，顺时针排列）是正方形，则称点为曲线的“完美点”．那么下列结论中正确的是（ ）． A．曲线上不存在”完美点” B．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于 C．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于 D．曲线上存在两个“完美点”，其横坐标均大于 27.古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率 . 28.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为 .（用含的代数式表示） 29.在平面直角坐标系中，两点，间的“曼哈顿距离”定义为，则平面内与两定点和的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成的面积为 . 题型八、圆锥曲线与向量、数列综合 30.抛物线上三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点到焦点的距离关系是( ) A．成等差数列，不成等比数列 B．成等比数列，不成等差数列 C．成等差数列，又成等比数列 D．不成等差数列，又不成等比数列 31.已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，则存在横坐标的点、、有（ ） A．0个 B．2个 C．有限个，但多于2个 D．无限多个 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题训练05 圆锥曲线填选压轴题 题型一、圆锥曲线性质综合 1.已知双曲线的左顶点为A，右焦点为，离心率为．若动点在双曲线的右支上且不与右顶点重合，满足恒成立，则双曲线的渐近线的方程为_________． 【答案】 【分析】取特殊位置轴，此时，，，将代入抛物线得，∴，，可得 ，分别讨论，，可得，进而可求得渐近线方程为． 【解析】 如图：∵恒成立，取特殊位置轴时，此时，∴， 在中，， 双曲线中，， 将代入双曲线方程得，整理可得：， 取点位于第一象限，∴， 则， ∴， 当时，，，此时不符合题意，故不成立， 当时，，，此时不符合题意，故不成立， 当时，， ∴，即，可得，∴， ∴，，∴双曲线的渐近线方程为． 【名师点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是去特殊位置轴时，可得计算其正切值可得，经过讨论求出离心率． 2．（2023·上海·统考模拟预测）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，其大小关系为________．    【答案】 【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由题意，可得椭圆①，②的值相同，椭圆①的值小于椭圆②的值， 又由，可得， 根据双曲线的开口越大离心率越大，根据图象，可得， 所以. 故答案为：. 3．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为______ 【分析】由得抛物线方程，在抛物线上求得坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线平行可得答案. 【详解】根据题意，抛物线上一点到其焦点的距离为5， 则点到抛物线的准线的距离也为5，即，解得， 所以抛物线的方程为，则，所以，即M的坐标为， 又双曲线的左顶点，一条渐近线为， 而，由双曲线的一条渐近线与直线平行，则有，解得. 4．如图，在平面直角坐标系，中心在原点的椭圆与双曲线交于四点，且它们具有相同的焦点，点分别在上，则椭圆与双曲线离心率之积 . 【答案】1 【解析】设出椭圆和双曲线方程，以及点，由点既在椭圆上也在双曲线上，化简得出，结合离心率公式即可得出. 【详解】设椭圆和双曲线方程分别为， 设点，由点既在椭圆上也在双曲线上，则有 ，解得，解得 则，即 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了求椭圆和双曲线的离心率，考查了运算能力， 属于中档题. 题型二、求圆锥曲线离心率的值或范围 5.设双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为_______ 【详解】如图，设为的中点，连接. 易知，所以，所以. 因为为的中点，所以. 设，因为，所以. 因为，所以. 所以. 因为是的中点，，所以. 在Rt中，； 在Rt中，. 所以，解得. 所以. 因为直线的斜率为， 所以，所以， ，所以离心率为. 6. 已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为_______ 【详解】设，线段AB的中点， 则，两式相减得， 所以①， 设，线段CD的中点，同理得②， 因为，所以，则三点共线， 所以，将①②代入得：，即， 所以，即， 所以， 7.已知双曲线（）的左焦点为F，过F的直线交E的左支于点P，交E的渐近线于点M，N，且P，M恰为线段FN的三等分点，则双曲线E的离心率为______ 【分析】根据题意可得为线段的中点，为线段的中点，设，从而可得出的坐标，再根据点在渐近线上，求出，再根据点在双曲线，得出的齐次式即可得解. 【详解】由题意，点在渐近线上，点在渐近线上， 设， 因为P，M恰为线段FN的三等分点， 所以为线段的中点，为线段的中点， 则，则，即， 又点在渐近线上， 所以，所以， 故， 因为点在双曲线， 所以，所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：设，由为线段的中点，为线段的中点，得出的坐标，再根据点在渐近线上，求出，是解决本题的关键. 8.双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为_______ 【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率. 【详解】设切点为，，连接，则，， 过点作⊥轴于点E，则，故， 因为，解得， 由双曲线定义得，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得，又， 所以，方程两边同时除以得， 解得，所以离心率. 9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为圆与的一个公共点，若，则当时，椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆、圆的性质分析可得，结合对勾函数求其范围，进而可得离心率的范围. 【详解】设椭圆的半焦距为， 则圆，表示以，半径为的圆， 若圆与椭圆有公共点，则，可得，解得， 因为，且， 可得，整理得， 又因为，即， 且，则，解得， 可得， 整理得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且， 可得，则， 可得； 综上所述：椭圆的离心率的取值范围为. 故答案为：.      【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 题型三、最值与范围问题 10.长为11的线段AB的两端点都在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为______ 【分析】用A、B两点的坐标表示出和，(F为双曲线右焦点）解出A、B两点的坐标，利用，求得m的最小值. 【详解】 由双曲线可知，a＝3，b＝4，c＝5，设AB中点M的横坐标为m，， 则，， ，当且仅当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时． 检验: 如图，当F、A、B共线且轴时，为双曲线的通径，则根据通径公式得,所以轴不满足题意. 综上，当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时． 11.已知F1，F2分别为双曲线C：的左､右焦点，E为双曲线C的右顶点.过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设上的切点分别为H､I､J， 则. 由，得， ∴，即. 设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则， 得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合. 同理可得的内心在直线上， 设直线的领斜角为，则， ， 当时，； 当时，由题知，， 因为A，B两点在双曲线的右支上， ∴，且，所以或， ∴且， ∴， 综上所述，. 故选：B. 12．（2023·上海宝山·上海交大附中校考三模）已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据与的位置关系分析可得. 【详解】   如图：与轴焦点为， 当点在圆外， 则表示的两条射线与圆相切与相切时恰有两个公共点， 联立得， 由， 得， 因，所以， 故， 当点在圆上，    如图，此时与有3个或1个交点不符合题意， 当点在圆内，    如图，此时与有2个交点符合题意， 此时，， 得 综上的取值范围为：. 故答案为：. 13.过抛物线C：y2=4x的焦点F分别作斜率为k1、k2的直线l1、l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，若|k1·k2|=2，则|AB|+|DE|的最小值为______ 【详解】抛物线C：y2=4x的焦点F为，直线l1的方程为， 则联立后得到，设， ，，则， 同理设可得：， 因为|k1·k2|=2，所以， 当且仅当，即或时，等号成立， 故选：B 14.已知点在椭圆C：上， 过点作直线交椭圆C于点的垂心为，若垂心在y轴上．则实数的取值范围是________________． 【答案】 【详解】（1）当直线斜率不存在时，设， 此时，则，∴， 又，联立解得或（舍去），∴. （2）当直线斜率存在时，设，，设直线方程为：， 直线QT的斜率为，∵AB⊥QT，∴，即， 又∵BT⊥AQ，∴，即，（*） 联立化为，则，， ，∴， ， 代入（*）可得． ∴，解得， 综上可知：实数m的取值范围为． 故答案为： 题型四：轨迹与方程 15．“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为9.若上第一象限内的点满足的面积为，则 . 【答案】6 【分析】确定点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点， 【详解】已知原点在上，则， 设为上任意一点， 则有，整理得． 因为，又， 所以，可得， 所以点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点， 联立方程，解得，，即， 所以，故答案为：6 16．如图所示的曲线称为双纽线，是到两定点，的距离之积为定常数的点的轨迹，其对称中心为坐标原点，则下列说法错误的有（   ） A． B．若曲线与圆心在坐标原点的圆相交，则交点必在某等轴双曲线上 C．在第一象限，曲线上的点的纵坐标的最大值为 D．过双曲线上一点，作圆的两条切线，切点分别为，，若直线与的交点在曲线上，则 【答案】C 【分析】A，根据在两定点，的距离之积得到；B，设曲线上的任意一点，根据得到方程，求出轨迹方程，以坐标原点为圆心的圆的方程为，联立计算出；C，在第一象限时，，令，变形得到，故当，取得最大值，最大值为，从而得到曲线上的点的纵坐标的最大值；D，设，则，直线为，求出直线的方程为，联立求出直线与的交点坐标为，代入曲线中，求出. 【详解】A选项，从图中可以看出在两定点，的距离之积为定常数， 其中，所以，A正确； B选项，设曲线上的任意一点，则， 化简得，即，， 设以坐标原点为圆心的圆的方程为，又，故， ，故， 所以，则交点必在某等轴双曲线上，B正确； C选项，在第一象限时，，， 令，则，故， 故当，即时，取得最大值，最大值为， 所以的最大值为，曲线上的点的纵坐标的最大值为，C错误； D选项，切点为的切线方程为，切点为的切线方程为， 设，则，直线为，在切线和上， 故，故直线的方程为，联立与得，解得，故，故直线与的交点坐标为， 又在曲线上，故， 即，又，故，因为，则，D正确 故选：C 17．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）曲线T：图象是类似椭圆的封闭曲线，T上动点P（P在第一象限）到直线距离的最大值为.当实数a变化时，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定曲线T所过的定点，过此定点作直线平行于直线，再按点在及左侧、右侧讨论求解作答. 【详解】曲线：图象如图，    因为时，恒成立，即曲线恒过定点， 过点作直线平行于直线， 当符合条件的点在直线及左侧时，， 当符合条件的点在直线的右侧时，令点到直线的距离为，显然， 此时，因此， 所以当实数a变化时，求的最小值为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 18．将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得的三条曲线与围成的图形称作花瓣曲线（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则下列结论正确的是_____    (1)开口向上的抛物线的方程为 (2) (3)直线截花瓣曲线第一象限部分的弦长最大值为 (4)阴影区域的面积不大于 【答案】(2)(3)(4) 【详解】对于(1)，若，则抛物线， 若抛物线绕其顶点逆时针旋转，可得抛物线方程为， 即，开口向上，故(1)错误； 对于(2)，开口向上的抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、所得仍为抛物线，方程分别为、、， 由，解得或，则，由对称性可得， 所以，故(2)正确； 对于(3)，设直线与抛物线相切于点， 由，消去得，由， 得，切点， 设直线与抛物线相切于点， 由，消去得，由， 得，切点， 直线的斜率为，即直线与直线平行或重合， 所以直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值为，故(3)正确； 对于(4)，抛物线，求导得， 则抛物线在点处的切线斜率为，抛物线在点处的切线方程为，即，该切线交轴于点，因此， 作且与相切，设切点为， 由切线的斜率为1可得，代入曲线可得， 所以切点为，切线方程为，与横轴的交点为，与交于点， 由面积比为相似比的平方可得小三角形的面积为1， ∴四边形面积为,所以四叶图的面积小于，故(4)正确.   故选(2)(3)(4). 19．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）曲线：，下列两个命题： 命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128； 命题乙：当k=2n，时，曲线围成的面积总大于4； 下面说法正确的是（    ） A．甲是真命题，乙是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲是假命题，乙是假命题 【答案】A 【分析】把代入，变形等式并确定图形在直线的下方（除点外）判断命题甲；当取正偶数时，分析曲线的性质，判断点与曲线的位置关系判断乙命题作答. 【详解】命题甲：当时，曲线：是端点为，在第一象限的曲线段， 由，得，， 而，当且仅当或时取等号， 即有，则曲线除两个端点外均在直线的下方， 因此曲线除端点外，在直线与坐标轴围成的区域内， 直线交轴分别于点，， 所以当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128，甲是真命题；    命题乙：当k=2n，时，曲线：，显然， 即曲线关于x轴对称，也关于y轴对称，且在平行直线和平行直线所围成矩形及内部， 曲线是封闭曲线，其面积是曲线与x轴的非负半轴、y轴的非负半轴所围面积的4倍， 显然，即点在曲线内，而以点为顶点的正方形面积为1， 曲线上的点，当x在0到1间任意取值时，y均大于1，当y在0到1间任意取值时，x均大于1， 因此，所以曲线围成的面积恒成立，乙是真命题. 故选：A 【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，(1)如果，则曲线C关于y轴对称；(2)如果，则曲线C关于x轴对称；(3)如果，则曲线C关于原点对称. 20．平面内到定点、轴、轴的距离之和等于4的点的轨迹是如图所示的曲线，它由4部分组成，每部分都是双曲线上的一段，设是该曲线上一点，则下列说法正确的是_______ (1) (2)当都是整数时，称为格点，则上有2个格点 (3)的最大值为 (4)在第一象限对应的双曲线的离心率为 【答案】(3)(4) 【详解】由题意， 则，整理得， 对于(1)，当时，有，两边平方，化简得， 当时，；当时，，由图像可知，故(1)错误； 对于(2)，有方程可知，都在曲线上，故(2)错误； 对于(3)，要使最大，则在第一象限，此时， 所以，设，则， 由，得或， 又，所以，故(3)正确； 对于(4)，在第一象限对应的曲线为，即， 所以，因为是由平移得到，又是轴为渐近线的双曲线，所以对应的标准双曲线的渐近线为，所以，故离心率，故(4)正确；故选：(3)(4)． 21.箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚·阿涅西的深入研究而闻名于世．如图所示，过原点的动直线交定圆于点，交直线于点，过和分别作轴和轴的平行线交于点，则点的轨迹叫做箕舌线．记箕舌线函数为，设，下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．点的横坐标为 C．点的纵坐标为 D．的值域是 【答案】C 【详解】连接，则，圆的标准方程为， 该圆的直径为， 设点，当点不与点重合时，直线的方程为， 联立，解得， 当点与点重合时，点的坐标也满足方程，所以，， 对任意的，，即函数的定义域为， ，故函数为偶函数，A错； 当点在第一象限时，，因为，此时，B错； 当点不与点重合时，， 因为，则， 当点与点重合时，点也与点重合，此时，点的纵坐标也满足， 综上所述，点的纵坐标为，C对； 对于D选项，，所以，，D错. 故选：C. 22. 心脏线，也称心形线，是一个圆上的固定一点在该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名.心脏线的平面直角坐标方程可以表示为，，则关于这条曲线的下列说法： ①曲线关于轴对称； ②当时，曲线上有4个整点（横纵坐标均为整数的点）； ③越大，曲线围成的封闭图形的面积越大； ④与圆始终有两个交点. 其中，所有正确结论的序号是___________. 【答案】 【详解】根据曲线方程，可画图像，根据曲线的方程结合图形可知，曲线关于轴对称，①错误； 当时，曲线方程可写为 时，或 令，上述方程可化为 结合上图得，的整数取值为0，-1，-2. 时，或； 时，上述曲线方程写为，解得，此时不为整数； 时，. 所以时，曲线上有4个整点 分别为②正确； 由图像可知曲线围成的封闭图形面积随的增大而增大，③正确； 由圆的方程可知，圆心坐标为，半径为，且圆经过原点 所以曲线与圆恒有两个交点，④正确. 故答案为：. 题型五、命题结论真假辨析 23.已知曲线，对于命题：①垂直于轴的直线与曲线有且只有一个交点；②若 为曲线上任意两点，则有，下列判断正确的是（       ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】A 【分析】化简曲线方程，画出图像判断①，利用函数单调减判断② 【详解】曲线, 当当 当画出图像如图，易知①正确；易知函数为减函数，则人任意两点斜率，②正确 故选：A 题型六、圆锥曲线的实际应用 24.一辆卡车要通过跨度为8米、拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，则卡车的限高为 米（精确到0.01米）. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的方程，根据题意求得限高. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 依题意抛物线过点，则， 所以抛物线的方程为， 车的截面为矩形， 设，则， 所以米， 即限高为米. 故答案为： 25．（2024·上海交大附中·模拟）椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为，第二、三次听到回音的时间间隔为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得. 【详解】依题意，令声音传播速度为，时刻，刚刚呐喊声音传播为0， 时刻听到第一次回声，声音的路程为，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点， 时刻，声音的路程为，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点， 时刻，声音的路程为，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点， 因此，， 即，则，即，整理得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键. 题型七、新定义问题 26．已知点在曲线上，⊙过原点，且与轴的另一个交点为，若线段，⊙和曲线上分别存在点、点和点，使得四边形（点，，，顺时针排列）是正方形，则称点为曲线的“完美点”．那么下列结论中正确的是（ ）． A．曲线上不存在”完美点” B．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于 C．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于 D．曲线上存在两个“完美点”，其横坐标均大于 【解析】如图，如果点为“完美点”则有，以为圆心，为半径作圆（如图中虚线圆）交轴于，（可重合），交抛物线于点，当且仅当时，在圆上总存在点，使得为的角平分线，即，利用余弦定理可求得此时，即四边形是正方形，即点为“完美点”，如图，结合图象可知，点一定是上方的交点，否则在抛物线上不存在使得，也一定是上方的点，否则，，，，不是顺时针，再考虑当点横坐标越来越大时，的变化情况： 设，当时，，此时圆与轴相离，此时点不是“完美点”，故只需要考虑，当增加时，越来越小，且趋近于，而当时，；故曲线上存在唯一一个“完美点”其横坐标大于．故选． 27.古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率 . 【答案】/ 【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，及双曲线上关于原点对称的两点，， 则，，可得四边形为平行四边形，    又及托勒密定理，可得四边形为矩形． 设，， 在中，， 则，， ，，， ，解得． 双曲线的离心率为． 故答案为：． 28.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为 .（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】因为，所以，， 所以，蒙日圆的方程为， 由已知条件可得，则为圆的一条直径， 由勾股定理可得， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 因此，面积的最大值为. 故答案为：. 29.在平面直角坐标系中，两点，间的“曼哈顿距离”定义为，则平面内与两定点和的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成的面积为 . 【答案】6 【详解】设，因为与两定点和的“曼哈顿距离”之和等于4，所以， ①当 且 时， ， ②当 时，；当 时，；当 时，； 作出图象如图所示，    所以 点轨迹是一个六边形，六边形面积是两个相等梯形面积和，. 故答案为：6. 题型八、圆锥曲线与向量、数列综合 30.抛物线上三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点到焦点的距离关系是( ) A．成等差数列，不成等比数列 B．成等比数列，不成等差数列 C．成等差数列，又成等比数列 D．不成等差数列，又不成等比数列 【答案】A 【分析】先设三点的坐标，根据纵坐标的平方成等差数列可得到其横坐标也成等差数列，然后表示出三点到焦点的距离，即可得到答案． 【详解】设这三点为，，， 因为纵坐标的平方成等差数列，即，，成等差数列，三点纵坐标分别代入抛物线方程， 可知三点横坐标亦成等差数列． 即， 因为，， 所以 故三点到焦点的对应距离构成的数列是等差数列． 因为，所以三点到焦点的对应距离构成的数列不是等比数列.故选：A. 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查等差数列和等比数列的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 31.已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，则存在横坐标的点、、有（ ） A．0个 B．2个 C．有限个，但多于2个 D．无限多个 【答案】A 【分析】首先判断出为的重心，根据重心坐标公式可得，结合基本不等式可得出，结合抛物线的定义化简得出，同理得出，进而得出结果. 【详解】设，先证， 由知，为的重心， 又，， ，， ，，， 同理，故选：A. 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出点为三角形的重心，属于中档题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $