精品解析：河北石家庄外国语教育集团2025—2026学年第二学期八年级期中学业水平测试数学学科

2025-2026学年度第二学期石家庄外国语教育集团 八年级期中学业水平测试数学学科 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 小磊复印一批文件，他每分钟可复印10张，分钟可以复印张．下列说法正确的是（ ） A. 10、都是常量 B. 10、都是变量 C. 10是常量，是变量 D. 10是变量，是常量 2. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 3. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各图像中， y 不是 x 的函数有（　 ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点坐标分别为，，点在轴上， 则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的前两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算），则租金y（元）与租赁天数之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（ ） A. B. C. D. 9. 小明匀速去离家1200米的图书馆，借书后匀速返回，共用时30分钟．已知返回的速度快于去的速度，则他离家的距离米随时间分钟的函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，，将线段水平向左平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 有一个最多能称的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下图，那么，在弹簧秤的长度为时，弹簧秤的称重为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母（①～③），其中①号螺母的两条边恰好在边，上，③号螺母的两条边恰好在边，上．嘉嘉和淇淇仔细观察后，得出如下结论． 结论I：菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 结论Ⅱ：换种摆法，该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母． 针对结论I和Ⅱ，判断正确的是（ ） A. I和Ⅱ都对 B. I和Ⅱ都不对 C. I对Ⅱ不对 D. I不对Ⅱ对 二、填空题（本题含4个小题，共12分） 13. 整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的值．则关于的方程的解为______． … ﹣1 0 2 … … ﹣6 ﹣4 0 … 14. 经过查找资料得知目前可以铺满的凸五边形共有15种，如图1为其中一种五边形的密铺图．图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为________． 15. 如图，根据程序框图计算函数y的值．若输入x的值为7，则输出y的值为－2；若输入x的值为－8，则输出y的值为______． 16. 我们知道平行四边形具有不稳定性，即：当平行四边形的四条边确定时，得到的平行四边形是不唯一的．如图，中，． （1）的面积的最大值为_________． （2）当面积变为最大面积的一半时，则等于_________°． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，反映的是甲、乙两人离A地的距离（千米）随甲出发的时间（小时）变化的函数图象．已知、两地相距45千米．请根据图象填空： （1）甲出发_____小时后乙才出发，乙比甲早_____小时到达B地； （2）甲的速度为_____千米/小时，乙的速度为_____千米/小时； （3）甲出发_____小时后被乙追上； （4）求乙离地的距离（千米）与甲出发的时间（小时）之间的函数关系式． 18. 如图，平行四边形中，点，分别在边，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，平分，求的长． 19. 等腰三角形的周长是，设腰为，底边长为． （1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在如图所示的平面直角坐标系内作出函数图象． 20. 为了解七年级学生体能状况，某学校体育老师随机抽查了一部分学生20秒内蹲起的次数，根据收集的数据绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图． 频数分布表 蹲起次数分组 频数 百分比 2 6 a 18 10 b 根据以上信息解答下列问题： （1）本次调查的人数有___________人，表中___________，___________； （2）补全频数分布直方图； （3）若将结果绘制成扇形统计图，求次数在“”部分所对应的扇形圆心角的度数． 21. 如图，在中，，平分交于点．点为的中点，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，时，求的长； （3）若四边形为菱形，直接写出的度数． 22. 如图，某花园护栏是直径为90厘米的半圆形条钢组装而成，且每增加一个半圆形条钢，护栏长度增加厘米；设半圆形条钢的个数为（为正整数），护栏总长度为厘米． （1）小明发现当半圆形条钢的个数为5时，护栏总长度为410厘米． ①求的值； ②求与之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，当护栏总长度为570厘米时，求需要半圆形条钢多少个？ （3）若小明家有65个该型号条钢，为了建造总长度不低于45.7米的护栏，求的最小值． 23. 如图，在梯形，，，分别为，的中点，过点作垂线分别交及延长线于点，，设， （1）如图，连接， ①直接写出的长（用含的代数式表示）； ②若四边形为正方形，求的值； （2）如图，过点作垂线分别交，所在直线于点，，已知，若四边形为正方形，求的长； （3）如图，，嘉嘉发现可以借助（）中的方法画出正方形，使其可以由梯形剪拼得到，请你借助尺规帮助嘉嘉完成作图并直接写出满足条件的的长； （4）对于（）中的梯形，琪琪说：我可以将四边形裁成四块图形，无重叠、无缝隙地重新拼接成一个正方形．请你在图中画出琪琪的裁法． 24. 定义在平面直角坐标系中，对于任意的三个点，，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且，，三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点，，的覆盖矩形．在点，，的所有覆盖矩形中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点，，的最佳覆盖矩形． 示例 如图1，矩形，矩形都是点，，的覆盖矩形，矩形是点，，的最佳覆盖矩形． 探究 如图2，已知，，动点． （1）若，，则点，，的最佳覆盖矩形的周长为_____，面积为_____； （2）若，点，，的最佳覆盖矩形的面积为30，求的值； （3）若动点经过，且每增加1时减小2，设点，，的最佳覆盖矩形的面积为． ①直接写出与之间的函数关系式； ②当时，直接写出关于的函数关系式； ③当点，，的最佳覆盖矩形为正方形时，直接写出点的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期石家庄外国语教育集团 八年级期中学业水平测试数学学科 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 小磊复印一批文件，他每分钟可复印10张，分钟可以复印张．下列说法正确的是（ ） A. 10、都是常量 B. 10、都是变量 C. 10是常量，是变量 D. 10是变量，是常量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了常量和变量的定义，根据常量是固定不变的量，变量是变化的量即可得出答案． 【详解】解：由题意得：10是常量，是变量， 故选：C． 2. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：C． 3. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 4. 如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，再由平行四边形对角线互相平分得，接着在中利用勾股定理求得，最后由即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中 ， ∴． 5. 下列各图像中， y 不是 x 的函数有（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的概念，观察图像，逐项进行判断即可． 【详解】解：ABC.给出一个都对应唯一值，y是x的函数，故ABC不符合题意 D.一个x值对应两个值，y不是x的函数，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念：如果给的一个值，都有唯一确定的值与其对应，那么y是x的函数，是解题关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点坐标分别为，，点在轴上， 则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质求出，根据勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：，， ， ， 四边形是菱形， ，， ， 点的坐标为． 7. 某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的前两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算），则租金y（元）与租赁天数之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，理解题意、弄清量之间的关系成为解题的关键． 分别计算出前2天的费用和后面天的费用，二者求和即可解答． 【详解】解：由题意得，． 故选：D． 8. 下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据梯形只有一组对边平行的定义，利用两直线平行同旁内角互补的性质，计算出与残缺图形已知角互补的两个拼接角，匹配对应角度的选项即可． 【详解】解：∵梯形的定义为只有一组对边平行的四边形，且平行线的性质为：两直线平行，同旁内角互补， ∴要使残缺图形与选项图形拼接成梯形，拼接后需形成一组平行对边，对应拼接的同旁内角需互补， ∵与角互补的角为， 与角互补的角为， ∴选项C中的图形有可能与上面残缺的图形拼成一个梯形． 9. 小明匀速去离家1200米的图书馆，借书后匀速返回，共用时30分钟．已知返回的速度快于去的速度，则他离家的距离米随时间分钟的函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图象，理解函数图象每个时间段图象的变化意义是解题关键．根据离家的距离先增大，中间停留一段时间，再慢慢减小，其中返回时由于速度更快变化的更明显，据此求解即可． 【详解】解：∵小明匀速去离家1200米的图书馆，借书后匀速返回，共用时30分钟， ∴离家的距离先增大，中间停留一段时间，再慢慢减小，故排除B、D选项； ∵返回的速度快于去的速度， ∴返回时变化的更明显， 故选：A． 10. 如图，在平行四边形中，，，将线段水平向左平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，平移的性质，由平行四边形的性质得到，由菱形的性质可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解；∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵将线段水平向左平移个单位长度得到线段， ∴， 故选：A． 11. 有一个最多能称的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下图，那么，在弹簧秤的长度为时，弹簧秤的称重为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据图像确定弹簧长度与物体重量满足一次函数关系，设出函数解析式，代入图像上的点和求出解析式，再将代入解析式，计算出对应的值，从而得到弹簧秤的称重． 【详解】解：设弹簧长度（单位：）与物体重量（单位：）的函数解析式为（）． 将、代入解析式，得 ， 解得，， 函数解析式为． 当时，得 ， 解得． 12. 如图，在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母（①～③），其中①号螺母的两条边恰好在边，上，③号螺母的两条边恰好在边，上．嘉嘉和淇淇仔细观察后，得出如下结论． 结论I：菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 结论Ⅱ：换种摆法，该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母． 针对结论I和Ⅱ，判断正确的是（ ） A. I和Ⅱ都对 B. I和Ⅱ都不对 C. I对Ⅱ不对 D. I不对Ⅱ对 【答案】A 【解析】 【分析】先求出是等边三角形， 得，再分别证四边形、是平行四边形，得，即可得Ⅰ正确；通过作图可得Ⅱ正确． 【详解】解：如下图， 根据题意，得正六边形的每一个外角是，每一个内角是， ， ， ， 是等边三角形， ， 在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母， ， ， 在菱形中， ， ， 延长交于点J， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 可以排列如图所示， 故该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母， 故选：A． 二、填空题（本题含4个小题，共12分） 13. 整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的值．则关于的方程的解为______． … ﹣1 0 2 … … ﹣6 ﹣4 0 … 【答案】x=0 【解析】 【分析】观察表格，发现：当时，，所以方程的解为． 【详解】解：观察表格，发现： 当时，， 的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了表格法，正确理解自变量与函数的对应关系是解题的关键． 14. 经过查找资料得知目前可以铺满的凸五边形共有15种，如图1为其中一种五边形的密铺图．图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和定理即可得出，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：正五边形内角和为：， ∴， 故答案为： 15. 如图，根据程序框图计算函数y的值．若输入x的值为7，则输出y的值为－2；若输入x的值为－8，则输出y的值为______． 【答案】19 【解析】 16. 我们知道平行四边形具有不稳定性，即：当平行四边形的四条边确定时，得到的平行四边形是不唯一的．如图，中，． （1）的面积的最大值为_________． （2）当面积变为最大面积的一半时，则等于_________°． 【答案】 ①. 40 ②. 30或150##150或30 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角： （1）如图所示，过点A作于E，由平行四边形面积计算公式可得，则当最大时，的面积的最大，再由，即可得到答案； （2）根据（1）所求可得，进而解直角三角形得到，再分当点E在上时，当点E在延长线上时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点A作于E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当最大时，的面积的最大， ∵， ∴的面积的最大值为， 故答案为：； （2）由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在上时，，当点E在延长线上时，． 故答案为：30或150． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，反映的是甲、乙两人离A地的距离（千米）随甲出发的时间（小时）变化的函数图象．已知、两地相距45千米．请根据图象填空： （1）甲出发_____小时后乙才出发，乙比甲早_____小时到达B地； （2）甲的速度为_____千米/小时，乙的速度为_____千米/小时； （3）甲出发_____小时后被乙追上； （4）求乙离地的距离（千米）与甲出发的时间（小时）之间的函数关系式． 【答案】（1）2，2 （2）9，45 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）从图象获取信息作答即可； （2）利用速度等于路程除以时间进行求解即可； （3）根据乙追上甲时，两人的路程相等，列出方程进行求解即可； （4）设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，甲出发2小时后，乙才出发，乙比甲早小时到达B地； 【小问2详解】 解：（千米/小时）；（千米/小时）； 故甲的速度为9千米/小时，乙的速度为45千米/小时； 【小问3详解】 解：由题意，，解得； 故甲出发小时后被乙追上； 【小问4详解】 解：设函数解析式为， 把代入，得，解得， ∴． 18. 如图，平行四边形中，点，分别在边，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，平分，求的长． 【答案】（1） 证明：平行四边形， ，， 又， ， 即， ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形是矩形． （2）6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练以上知识点是解题的关键． （1）根据已知条件先证明四边形为平行四边形，再根据即可得证； （2）由平分，可求得，在中，，则，根据含30度角的直角三角形的性质，求得，由已知进而即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分， ， ， ， ， ， 在中， ，，， ， ， ， ． 19. 等腰三角形的周长是，设腰为，底边长为． （1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在如图所示的平面直角坐标系内作出函数图象． 【答案】（1）， （2） 函数图象如图： 【解析】 【分析】（1）根据已知列函数解析式，再根据三角形三边的关系确定的取值范围即可； （2）根据（1）中的解析式，画出一次函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：等腰三角形的腰长为，底边长为，周长为， ， ， ∵，即， ∴， 则的取值范围是：； 【小问2详解】 解：列表： x 4 5 y 4 2 20. 为了解七年级学生体能状况，某学校体育老师随机抽查了一部分学生20秒内蹲起的次数，根据收集的数据绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图． 频数分布表 蹲起次数分组 频数 百分比 2 6 a 18 10 b 根据以上信息解答下列问题： （1）本次调查的人数有___________人，表中___________，___________； （2）补全频数分布直方图； （3）若将结果绘制成扇形统计图，求次数在“”部分所对应的扇形圆心角的度数． 【答案】（1）； （2） 补全频数分布直方图如下： （3）． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，频数分布直方图，扇形统计图等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先根据频数所占百分比总人数求出总人数，再根据总人数百分比频数得到的值，频数总人数所占百分比得到的值； （2）根据（1）中求出的数据补全频数分布直方图即可； （3）根据次数在“”部分所占百分比为，然后即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数为：（人）， （人）， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ∴次数在“”部分所对应的扇形圆心角的度数为． 21. 如图，在中，，平分交于点．点为的中点，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，时，求的长； （3）若四边形为菱形，直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：，平分交于点， ， 点是的中点， 又点为的中点， 是的中位线， ， 又， 四边形是平行四边形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一定理可知点是的中点，又因为点为的中点，可知是的中位线，所以，又因为，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证结论成立； （2）根据勾股定理可以求出，根据三角形中位线定理可知，根据平行四边形的性质可知，根据线段之间的关系可以求出的长度； （3）根据四边形为菱形，可知，从而可知，根据三角形内角和定理可以求出． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ，平分交于点， ， ， ， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ； 【小问3详解】 解：若四边形为菱形， 则， 又， ， ， ， ． 22. 如图，某花园护栏是直径为90厘米的半圆形条钢组装而成，且每增加一个半圆形条钢，护栏长度增加厘米；设半圆形条钢的个数为（为正整数），护栏总长度为厘米． （1）小明发现当半圆形条钢的个数为5时，护栏总长度为410厘米． ①求的值； ②求与之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，当护栏总长度为570厘米时，求需要半圆形条钢多少个？ （3）若小明家有65个该型号条钢，为了建造总长度不低于45.7米的护栏，求的最小值． 【答案】（1）①；②； （2）7个 （3）70 【解析】 【分析】（1）①根据每增加一个半圆形条钢，护栏长度增加厘米，建立等式求解即可； ②将代入求解函数关系式即可； （2）将代入求解x的值即可； （3）先进行单位换算，再根据建造总长度不低于45.7米建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵某花园护栏是直径为90厘米的半圆形条钢组装而成， 且每增加一个半圆形条钢，护栏长度增加厘米， ∴当半圆形条钢的个数为5时，护栏总长度为410厘米． 则有，解得； ②将代入可知，，即； 【小问2详解】 解：当护栏总长度为570厘米时， 则有，解得， 即需要半圆形条钢7个； 【小问3详解】 解：∵小明家有65个该型号条钢，且建造总长度不低于45.7米， ∴，解得， ∴的最小值为70． 23. 如图，在梯形，，，分别为，的中点，过点作垂线分别交及延长线于点，，设， （1）如图，连接， ①直接写出的长（用含的代数式表示）； ②若四边形为正方形，求的值； （2）如图，过点作垂线分别交，所在直线于点，，已知，若四边形为正方形，求的长； （3）如图，，嘉嘉发现可以借助（）中的方法画出正方形，使其可以由梯形剪拼得到，请你借助尺规帮助嘉嘉完成作图并直接写出满足条件的的长； （4）对于（）中的梯形，琪琪说：我可以将四边形裁成四块图形，无重叠、无缝隙地重新拼接成一个正方形．请你在图中画出琪琪的裁法． 【答案】（1）①② （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（）以坐标法解题，先建坐标系，利用等腰直角三角形和中点坐标公式表示梯形各点坐标，再根据正方形邻边相等列方程，求出的表达式和的值； （）通过构造垂线、利用中点性质与全等三角形，先推得，结合正方形的性质得到梯形高为；再由得，算出，最后用勾股定理求出； （）先作垂线构造正方形，由梯形中位线得边长为，再结合角的等腰直角三角形性质，用勾股定理算出； （）先通过计算验证梯形面积与正方形面积相等，再按步骤作两条垂线，沿、、裁剪，得到、、梯形、五边形，共四块，即可无重叠拼接为正方形；其中：，，为的中点. 【小问1详解】 解：①建立平面直角坐标系，设，在轴，为轴，  由，， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， ∵是中点，由中点坐标公式得， 又，，故， ∵， ∴， ∵是中点， ∴的坐标为：，即， ∵和纵坐标相同， ∴； ②解：∵四边形四个角均为直角，为矩形，正方形需要邻边相等： 竖直边，水平边， 由，得， 解得：， ∴水平边， ∵需要，即， 得：， 故的值为； 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作于点，则， ∵是中点，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵.， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作图：过点作垂线分别交，所在直线于点，，连接即得正方形， 则， 同理，∵，， ∴正方形边长， ∵，， ∴， ∴， 【小问4详解】 解：利用（）中，正方形的边长， 梯形面积为， 裁法：沿、、裁剪，得到、、梯形、五边形，共四块，即可无重叠拼接为正方形． 其中：，，为的中点. 24. 定义在平面直角坐标系中，对于任意的三个点，，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且，，三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点，，的覆盖矩形．在点，，的所有覆盖矩形中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点，，的最佳覆盖矩形． 示例 如图1，矩形，矩形都是点，，的覆盖矩形，矩形是点，，的最佳覆盖矩形． 探究 如图2，已知，，动点． （1）若，，则点，，的最佳覆盖矩形的周长为_____，面积为_____； （2）若，点，，的最佳覆盖矩形的面积为30，求的值； （3）若动点经过，且每增加1时减小2，设点，，的最佳覆盖矩形的面积为． ①直接写出与之间的函数关系式； ②当时，直接写出关于的函数关系式； ③当点，，的最佳覆盖矩形为正方形时，直接写出点的坐标； 【答案】（1）18； 18； （2）6或 （3）①；②；③或 【解析】 【分析】（1）利用坐标极差法，求出三点横、纵坐标的最值，作差得到矩形长、宽，代入周长、面积公式计算； （2）先确定横坐标极差，结合面积公式逆向求出纵向宽度，分类讨论动点纵坐标的最值情况，列方程求解； （3）① 利用待定系数法，结合定点坐标与变量变化规律，求一次函数解析式； ② 根据的取值范围确定水平边长和与水平边垂直的边长，分段列出面积函数关系式； ③ 根据正方形边长相等的性质，分区间讨论边长表达式，列方程求解并舍去不合理解． 【小问1详解】 解：，， 最佳覆盖矩形的长为，宽为， 周长为 ，面积为； 【小问2详解】 解：，， 最佳覆盖矩形的长为， 矩形的面积为， 矩形的宽为， 矩形的宽由纵坐标的最大值与最小值的差决定，纵坐标分别是，，， 当为最大值时，宽为， ， 解得， 当为最小值时，宽为， ， 解得， 的值为或； 【小问3详解】 解：①设 把代入， 每增加1时减小2， ， ； ②，， 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， ， 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， ， 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， ， ③当最佳覆盖矩形为正方形时，长等于宽， 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， 令，解得，与条件矛盾，不符合题意； 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， 令，解得，即； 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为，不符合题意； 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， 令，解得，即； 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， 令，解得，与条件矛盾，不符合题意． 【点睛】本题利用横、纵坐标最值法确定最佳覆盖矩形的长与宽，结合矩形周长、面积公式计算；含参数动点问题需采用分类讨论法，依据动点坐标取值范围判断最值； 利用特殊图形的边长等量关系列方程，求解后需检验取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $