精品解析：江苏盐城市五校联盟2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题

高二数学 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （　 ） A. 40 B. 56 C. 168 D. 336 【答案】B 【解析】 【分析】运用组合数的公式进行求解即可. 【详解】， 故选：B 2. 从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用排列计数问题列式得解. 【详解】依题意，不同选法种数是. 故选：C 3. 从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（ ） A. 84 B. 120 C. 504 D. 720 【答案】A 【解析】 【分析】从9个数字中选择3个不同的数，只需选出，无需排序. 【详解】从9个数字中选择3个不同的数，无需再排序，故. 故选：A. 4. 设，则（ ） A. 16 B. 31 C. 32 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】先代入特值求出系数和，再求出，二者作差即为所求. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减得. 5. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设向量在基底下坐标为，用该基底表示出向量，再由在基底下坐标为，表示出向量，建立等式求出即可. 【详解】设向量在基底下坐标为， 则. 已知在基底下坐标为， 即. 所以， 即， 则：， 所以向量在基底下的坐标是， 故选：B. 6. 的展开式中的系数是（ ） A. 90 B. 100 C. -40 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二项式定理写出右边因式展开式的通项，利用多项式乘法，可得答案. 【详解】由的展开式的通项为， 则的展开式中的系数是. 故选：D. 7. 某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ） A. 48 B. 54 C. 60 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况. 【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人， 共有 种方法； 由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选， 所以由 种方法； 按照分步乘法原理，共有 种方法； 故选：C. 8. 如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（ ） A. 先增大再减小 B. 减小 C. 增大 D. 先减小再增大 【答案】D 【解析】 【分析】先建系，分别求出平面与平面的法向量，再根据二面角余弦公式结合余弦函数单调性判断即可. 【详解】以AC中点O为坐标原点，OB，OC分别为x，y轴，建立空间直角坐标系． 设所有棱长均为2， 则，，， ，设平面BDE法向量， 则， 令，则， 故． 又平面的法向量， 故平面与底面所成锐二面角的平面角的余弦值， 又，故在上单调递增，上单调递减， 即随着x增大先增大后减小，且在单调递减，所以随着x增大先减小后增大． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 与为相交直线或异面直线 D. 在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量之间的关系逐项判断线线、线面、面面关系即可. 【详解】因为平面的一个法向量为，直线的方向向量为，则，即，则或，故A不正确； 又平面的一个法向量为，所以，即 ，所以，故B正确； 由直线的方向向量为，所以不存在实数使得，故与为相交直线或异面直线，故C正确； 在向量上的投影向量为，故D不正确. 故选：BC. 10. 现有3个编号为1，2，3的盒子和3个编号为1，2，3的小球，要求把3个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 没有空盒子的方法共有6种 B. 所有的放法共有21种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有9种 D. 没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子的方法有2种 【答案】AD 【解析】 【分析】根据排列组合知识，结合每个选项的具体情况，即可求得答案. 【详解】对于A，没有空盒子即相当于3个编号为1，2，3的小球分别放入3个编号为1，2，3的盒子中的全排列， 故方法共有种，A正确； 对于B，所有的放法，即每个球都有3种放法，故共有（种）放法，B错误； 对于C，恰有1个盒子不放球，即有2个球放入一个盒子中，另一个球放入另一个盒子中， 那么先3个盒子选一个作为空盒，在把3个球选出2个绑在一起，在排列， 共有（种）放法，C错误； 对于D，没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子，则只有以下2种情况： 即1号球放入2号盒子，2号球放入3号盒子，3号球放入1号盒子； 1号球放入3号盒子，3号球放入2号盒子，2号球放入1号盒子，D正确， 故选：AD 11. 如图，在正三棱柱中，，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 若，，，不共面，则四面体的体积的最大值为 C. 直线与平面所成的最大角为 D. 若，则点的轨迹的长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，当点为中点时，利用向量证明即可；对于B选项，当点位于点（或棱上）时，体积最大，为；对于C选项，当点位于点时，此时线面角为，大于；对于D选项，先判断出点的轨迹为四段圆弧，然后求出长度即可. 【详解】对于A选项，当点为中点时， 所以，故A正确； 对于C选项，当点位于点时，为直线与平面所成角，故C错误； 对于B选项，当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远， 此时四面体的体积最大，以点为例，此时 ，故B正确； 对于D选项，若，如图， 在棱上取点，使，在棱上取点使， 在棱上取中点，则，， 则点的轨迹由圆弧，，，构成，且其所在圆的半径依次为， ，，，圆心角依次为，，，， 圆弧，，，的长分别为，，，，故点的轨迹的长为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则实数______． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据向量的共线，可得向量坐标之间的比例关系，列式计算，即得答案. 【详解】由题意知向量，，， 故， 故答案为：-1 13. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】的展开式的通项为，取，计算得到答案. 【详解】的展开式的通项为， 则的系数为： 故答案为： 14. 如图，在平行六面体中，，，E为的中点，则点E到直线的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据空间向量的运算求出以及，即可求得，进而求出，根据点E到直线的距离为，即可求得答案. 【详解】设，， ， ，则， 又， 则， ， 则，而， ，， 又E是的中点，故， 则点E到直线的距离为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1）3 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【小问1详解】 因为，， 所以， . 【小问2详解】 ， ， ， 所以与的夹角为； 【小问3详解】 ， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 16. 某学校有4名男教师和3名女教师一起去培训，他们的座位在同一排且连在一起.求： （1）4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种? （2）3名女教师互不相邻的坐法有多少种? 【答案】（1）576 （2）1440 【解析】 【分析】（1）由捆绑法及分步乘法计数原理即可求解； （2）由插空法及分步乘法计数原理，即可求解． 【小问1详解】 根据题意，先将4名男教师排在一起，有种坐法， 将排好的男教师视为一个整体，与3名女教师进行排列，共有种坐法， 由分步乘法计数原理，共有种坐法. 【小问2详解】 根据题意，先将4名男教师排好，有种坐法， 再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入3名女教师，有种坐法， 由分步乘法计数原理，共有种坐法. 17. 如图，在正四面体中，，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设． （1）用表示； （2）求； （3）求的长． 【答案】（1） （2）-9 （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量加法的三角形法则，可将用基底表示； （2）借助第一问的结论，根据向量的数量积运算法则求得； （3）用基底表示，根据，并结合正四面体的性质，可以求得的长. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，由（1）知， 所以 . 【小问3详解】 . 18. 如图，在三棱锥中，平面，且为的中点. （1）求二面角的余弦值； （2）若，在线段上各取一点，设，若平面平面，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角公式可求答案； （2）根据求出的长，求解两个平面的法向量，利用法向量垂直可求答案. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为，所以，所以两两垂直， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，因为为的中点，所以， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得； 易知平面的一个法向量为， 二面角的大小为，易知为锐角， ，所以二面角的余弦值为. 【小问2详解】 由，则， ，解得，即. 因为，所以,且， , , 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，即. , 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，即， 因为平面平面，所以，解得 19. 已知． （1）当时，若的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数； （2）设． ①求的系数（用表示）： ②求（用表示）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）借助组合数的计算公式计算即可得，结合二项式的展开式的通项公式计算即可得解； （2）①结合二项式的展开式的通项公式与组合数的性质计算即可得解；②借助导数计算可得与错位相减法求和即可得解. 【小问1详解】 由题，所以，所以，所以， 由，即展开式中的系数为； 【小问2详解】 由题意得，， ① ； ②，对等式两边同时求导， 得， 即， 令，得， 即， 则， 则， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （　 ） A. 40 B. 56 C. 168 D. 336 2. 从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 3. 从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（ ） A. 84 B. 120 C. 504 D. 720 4. 设，则（ ） A. 16 B. 31 C. 32 D. 64 5. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数是（ ） A. 90 B. 100 C. -40 D. 7. 某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ） A. 48 B. 54 C. 60 D. 72 8. 如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（ ） A. 先增大再减小 B. 减小 C. 增大 D. 先减小再增大 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 与为相交直线或异面直线 D. 在向量上的投影向量为 10. 现有3个编号为1，2，3的盒子和3个编号为1，2，3的小球，要求把3个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 没有空盒子的方法共有6种 B. 所有的放法共有21种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有9种 D. 没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子的方法有2种 11. 如图，在正三棱柱中，，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 若，，，不共面，则四面体的体积的最大值为 C. 直线与平面所成的最大角为 D. 若，则点的轨迹的长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则实数______． 13. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 14. 如图，在平行六面体中，，，E为的中点，则点E到直线的距离为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数的值. 16. 某学校有4名男教师和3名女教师一起去培训，他们的座位在同一排且连在一起.求： （1）4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种? （2）3名女教师互不相邻的坐法有多少种? 17. 如图，在正四面体中，，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设． （1）用表示； （2）求； （3）求的长． 18. 如图，在三棱锥中，平面，且为的中点. （1）求二面角的余弦值； （2）若，在线段上各取一点，设，若平面平面，求的值. 19. 已知． （1）当时，若的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数； （2）设． ①求的系数（用表示）： ②求（用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $