精品解析：河北保定市部分校2025-2026学年高一年级下学期4月自测数学试题

高一年级4月自测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以的虚部为2. 2. 已知向量，若，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，解得. 3. 在中，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设外接圆的半径为，则，则外接圆的面积为. 4. 如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据斜二测画法可知，，又，所以，所以 5. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合棱台的体积公式，准确计算，即可求解. 【详解】由棱台的体积公式，可得. 故选：B. 6. 已知向量是平面内的一组基底，，若三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设， 因为三点共线，所以存在实数， 使得，即， 因为为基底向量，所以解得. 7. 已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量公式和数量积的运算即可求出结果. 【详解】由，得， 即，所以， 又，所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 8. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ） 参考数据：. A. 米 B. 米 C. 300米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知， 则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 又，两式相加， 得，即， 解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥 B. 棱柱至少有五个面 C. 棱台的侧棱延长后必交于一点 D. 以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 【答案】BC 【解析】 【分析】根据棱锥、棱柱、棱台、圆台的概念以及性质，即可判断得出答案. 【详解】对于A项，根据棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，可知A项错误； 对于B项，棱柱中面最少的为三棱柱，有五个面.故B正确； 对于C项，由于棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的多面体为棱台.结合棱锥的性质，可知棱台的侧棱延长后必交于一点.故C正确； 对于D项，以直角梯形的垂直于底面的腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台，当腰与底面不垂直时，得到的旋转体不是圆台.故D错误. 故选：BC. 10. 记的内角的对边分别为，已知，若有且只有一个，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】在中，已知角和边，利用正弦定理求出关于的表达式，再结合三角形内角和定理与正弦函数的值域，逐一分析不同值对应的角的解的个数，从而判断三角形解的情况. 【详解】对于A：由正弦定理，得，所以，当时，， 又，所以，或，当时，，不合题意， 此时有且只有一个，A正确； 对于B：当时，，又，所以，或， 当时，，不合题意，此时有且只有一个，B正确； 对于C：当时，，又，所以，或， 此时有两个，C错误； 对于D：当，，此时不存在，D错误. 11. 若是复数，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算即可判断A；举例说明，结合复数的乘方计算即可判断BCD. 【详解】A：设，由， 得，故A正确； B：当时，满足，但，故B错误； C：当时，满足， 但，故C错误； D：当时，满足，但，故D错误． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数相等的条件求得，根据求模公式求解即可 【详解】因为，所以，所以 故答案为： 13. 已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由，得. 当时，有，解得，此时向量的夹角为， 所以实数的取值范围为. 14. 如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 【答案】 【解析】 【详解】依题意，正三棱锥侧面沿剪开，将展开置于同一平面内，连接， 则线段就是绳的最短长度，此时，由， 得，解得，所以该三棱锥的侧棱长为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设复数. （1）若是实数，求m的值； （2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算化简，根据实数条件得到虚部为零，求得的值； （2）利用复数的除法运算化简，利用纯虚数的条件求得的值，进而得解. 【小问1详解】 由题知 若是实数，则，解得； 【小问2详解】 由题知 若是纯虚数，则，解得，所以. 16. 在中，角、、的对边分别为、、，且. （1）求的大小； （2）已知，证明：是等腰三角形. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由正弦定理得出，结合余弦定理可得出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 由及正弦定理得， 由（1）知，所以，即， 所以是等腰三角形. 17. 如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体. （1）当时，求该艺术品的体积； （2）当为何值时，该艺术品的表面积最大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出圆柱的半径，然后求出体积. （2）利用圆柱的侧面积公式列出侧面积表达式，然后根据二次函数的性质求出最大值. 【小问1详解】 当时，设圆柱的半径为，则，解得， 此时该艺术品的体积为. 【小问2详解】 设圆柱的半径为，则，解得， 要使该艺术品的表面积最大，则圆柱的侧面积取得最大值即可， ， 当时，取得最大值， 故当时，该艺术品的表面积最大. 18. 如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）设，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）从三等分点条件出发，利用“插点”的办法，在向量中加入即可； （2）易得，根据题干条件将等式右边写成有关表达式，根据平面向量基本定理得出关于的等量关系即可求解. 【小问1详解】 依题意，， ∴， ∴ 【小问2详解】 由已知， 因是线段上动点，则令， ， 又，不共线，根据平面向量基本定理，则有， ， 在上递增， 所以，，，， 故的取值范围是． 19. 已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. （1）求； （2）求的取值范围； （3）若，求边上的中线的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简即可得解； （2）根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简，再结合三角函数的性质即可得解； （3）易得，两边同时平方将用表示，再利用正弦定理求出，再根据三角函数的性质即可得解. 【小问1详解】 由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 ， 因为是锐角三角形，且， 所以，所以， 所以， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 由余弦定理得，，即， 由边上的中线为，得， 两边平方得， 由正弦定理可知，， 所以， 所以 ， 由（2）知， 所以， 即，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级4月自测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2 2. 已知向量，若，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 4 3. 在中，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 21 6. 已知向量是平面内的一组基底，，若三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ） 参考数据：. A. 米 B. 米 C. 300米 D. 米 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥 B. 棱柱至少有五个面 C. 棱台的侧棱延长后必交于一点 D. 以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 10. 记的内角的对边分别为，已知，若有且只有一个，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 11. 若是复数，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________. 14. 如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设复数. （1）若是实数，求m的值； （2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数. 16. 在中，角、、的对边分别为、、，且. （1）求的大小； （2）已知，证明：是等腰三角形. 17. 如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体. （1）当时，求该艺术品的体积； （2）当为何值时，该艺术品的表面积最大？ 18. 如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）设，求的取值范围． 19. 已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. （1）求； （2）求的取值范围； （3）若，求边上的中线的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $