精品解析：浙江乐清市荆山公学等校2025-2026学年下学期高三模拟卷数学

浙江乐清市荆山公学2025-2026学年下学期高三模拟卷 数 学 考试范围：高考内容；考试时间：120分钟； 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“函数在内单调递增”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要 4. 若，，成等比数列，则公比为（ ） A. B. C. D. 5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是 A. B. C. D. 6. 已知一圆柱内接于半径为1的球，当该圆柱的体积最大时，其高为（ ） A. B. C. D. 7. 已知与分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的函数的导函数为，，对于任意的实数均有成立，且的图像关于点（，1）对称，则不等式的解集为（ ） A. （1，+∞） B. （1，+∞） C. （∞，1） D. （∞，1） 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题正确的是（ ） A. ， B. 若，且，则的最小值是9 C. ，则 D. 是的充要条件 10. 已知函数，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 若在区间上恰有一个极值点，则的取值范围是 D. 若在区间内没有零点，则的取值范围是 11. 已知四棱锥中，平面，四棱锥的外接球的球心为．记四棱锥的体积分别为，三棱锥的体积分别为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 若二面角的平面角大小为，则的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数列中，，，若，则正整数____________． 13. 如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则__________. 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表： 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计 优秀 200 150 350 合格 100 50 150 总计 300 200 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？ （2）若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 在四面体中，底面、、 分别是的中点，点 在线段上，且． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小． 17. 某公路自行车比赛赛道的平面示意图为如图的五边形根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务通道不考虑宽度，，，，，为赛道，，，， 注：为千米．   （1）若，求服务通道的长； （2）在（1）的条件下，求折线赛道的最大值即最大结果保留根号 18. 已知椭圆：上一点处的切线为，两焦点，在上的射影分别为，我们常常把过切点且与切线垂直的直线叫做法线，它平分，因此从一个焦点射出的光线经过切点反射后会经过另一个焦点（如图），记，，当点不在轴上时，记，，的面积分别为，，若． （1）求证：； （2）试探究 是否为定值，如果为定值，求此定值；如果不为定值，请说明理由； （3）当点不在轴上时，是否存在常数，使得恒成立？并给出证明或解释． （4）若椭圆的离心率为，且当时，四边形的面积，求椭圆的方程． 19. 已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江乐清市荆山公学2025-2026学年下学期高三模拟卷 数 学 考试范围：高考内容；考试时间：120分钟； 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，求得，再结合并集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 则，即， 此时， 所以. 故选：D. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的概念，即可求解. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 3. “”是“函数在内单调递增”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次函数的单调性求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】函数的单调递增区间为， 由函数在内单调递增，得0，解得， 所以“”是“函数在内单调递增”的充分而不必要条件． 故选：A． 4. 若，，成等比数列，则公比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项性质得，再代入计算即可得答案. 【详解】因为，，成等比数列， 所以，即，整理得， 由于，所以， 此时，，， 故公比为 所以公比为. 故选：C 5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为要恰好3次就结束测试，说明最后一次就是不稳定产品，然后前两次中有一个是不稳定产品，所有的情况即是． 故选：C. 6. 已知一圆柱内接于半径为1的球，当该圆柱的体积最大时，其高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合立体图形，由勾股定理得到，利用均值不等式求最值，等号成立时圆柱体积最大，求出此时的高即可. 【详解】设球半径为，圆柱的底面半径为，圆柱的高为， 如图，则有，即， 整理得，当且仅当，即时，等号成立， 此时圆柱体积取得最大值， 所以圆柱的体积最大时，即. 故选：C. 7. 已知与分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，设，则，，，根据，则，利用勾股定理求得，并得到椭圆参数的齐次式，即可求离心率. 【详解】连接，设，则，，， 由，则，故， 所以，可得，则， 所以，，又， 所以，可得，即（负值舍）. 故选：C 8. 定义在R上的函数的导函数为，，对于任意的实数均有成立，且的图像关于点（，1）对称，则不等式的解集为（ ） A. （1，+∞） B. （1，+∞） C. （∞，1） D. （∞，1） 【答案】A 【解析】 【分析】根据的图像关于点（，1）对称，得到是奇函数，构造函数，由得到在上递增，然后将转化为求解. 【详解】因为的图像关于点（，1）对称， 所以是奇函数， 因为对任意的实数均有成立， 所以对任意的实数均有成立， 令， 则 ， 所以 在上递增， 因为， 又， 所以， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题正确的是（ ） A. ， B. 若，且，则的最小值是9 C. ，则 D. 是的充要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，当时，可判断真假；对于B，利用基本不等式可判断真假；对于C，利用作差法判断；对于D，当时，可判断真假 【详解】对于A，当时，不等式成立，所以A正确， 对于B，因为，且，所以， 所以，解得或（舍去），所以，当且仅当时取到等号，所以B正确. 对于C，，因为，所以，所以，所以C正确， 对于D，当时，成立，此时，推不出，所以D错误 故选：ABC. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 若在区间上恰有一个极值点，则的取值范围是 D. 若在区间内没有零点，则的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】将化简为，逐项分析其性质判断. 【详解】对于A：， A正确； 对于B：当时，， 因为在单调递增，是增函数， 所以在区间单调递增，B正确； 对于C：由得的极值点为， 因为在区间恰有一个极值点，所以，解得，C错误； 对于D：在区间无零点，即在无解， 由得， 当时，由解得，又，所以的取值范围是，D错误； 故选：AB. 11. 已知四棱锥中，平面，四棱锥的外接球的球心为．记四棱锥的体积分别为，三棱锥的体积分别为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 若二面角的平面角大小为，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质判定推理判断A；利用锥体的体积推理判断BC；利用二面角的意义，列出锥体的体积关系，再利用基本不等式求出最大值判断D. 【详解】对于A，由四棱锥有外接球，得四边形有外接圆，由， 得，由平面，平面，得，而， 平面，则平面，又平面，因此，A正确； 对于B，由平面，得球心到平面的距离等于，因此，B正确； 对于C，均在以线段为直径的圆上，但面积无任何关系， 不能确定，C错误； 对于D，由，得是二面角的平面角，即， 则令，， ， 当且仅当，即时取等号，因此的最大值为，D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数列中，，，若，则正整数____________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意，令，判断数列是等差数列，从而求得通项公式，进而代入求解即可． 【详解】由，，令，则， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，即， 又为正整数，所以，即，解得或（舍去）． 故答案为：10． 13. 如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用平面向量的四则运算，得到，可得，，再化简，即可求解. 【详解】 ， ， 故答案为： 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值. 【详解】 设圆心到直线距离为，则， 所以点P到AB的距离为或，且 所以 令（负值舍去） 当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为， 故答案为： 【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表： 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计 优秀 200 150 350 合格 100 50 150 总计 300 200 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？ （2）若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不能 （2） 的分布列如下表 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）由2×2列联表直接求解即可 （2）首先求出名教师中经验丰富和经验不丰富教师的人数，然后根据超几何分布求出对应的概率并列出分布列，最后根据期望公式求出期望. 【小问1详解】 零假设：认为这次考核结果与经验丰富无关， 由题意， 所以根据小概率值的独立性检验，推断成立， 即不能认为这次考核结果与经验丰富与否有关. 【小问2详解】 由题意，名教师中经验丰富的教师人数为人，经验不丰富的教师人数为人， 则可取的值有， ，， ，，， 的分布列如下表 0 1 2 3 4 所以. 16. 在四面体中，底面、、 分别是的中点，点 在线段上，且． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1）证明：取 的中点为 ，在线段上取点 ， 使得，连接、、. 因为，所以， 所以，且. 因为 和 分别为和 的中点， 所以，且 因此且， 所以四边形是平行四边形，因此． 又因为平面平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例及中位线性质可得且，利用平行四边形得出线线平行，即可证明线面平行； （2）作辅助线，利用线面垂直得出线线垂直，证明即为二面角的平面角，再解直角三角形即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以． 因为底面，所以三棱锥的高为， 又因为 故. 连接． 因为分别是的中点， 所以，又因为平面 所以平面 过点 作，垂足为点 ，连接 因为平面，且平面， 所以，又因为，且， 所以平面. 又因为平面，所以，又， 所以即为二面角的平面角, 因为平面，且平面，所以． 故为直角三角形． 在Rt中，，所以 所以平面与平面的夹角大小为. 17. 某公路自行车比赛赛道的平面示意图为如图的五边形根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务通道不考虑宽度，，，，，为赛道，，，， 注：为千米．   （1）若，求服务通道的长； （2）在（1）的条件下，求折线赛道的最大值即最大结果保留根号 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解； （2）利用余弦定理结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，整理得， 解得， 所以服务通道的长为； 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 由知，又， 所以 ，所以 ， 因为，所以， 则，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以折线赛道的最大值为． 18. 已知椭圆：上一点处的切线为，两焦点，在上的射影分别为，我们常常把过切点且与切线垂直的直线叫做法线，它平分，因此从一个焦点射出的光线经过切点反射后会经过另一个焦点（如图），记，，当点不在轴上时，记，，的面积分别为，，若． （1）求证：； （2）试探究 是否为定值，如果为定值，求此定值；如果不为定值，请说明理由； （3）当点不在轴上时，是否存在常数，使得恒成立？并给出证明或解释． （4）若椭圆的离心率为，且当时，四边形的面积，求椭圆的方程． 【答案】（1） 记，，，则，． 在中，． 又，两式相减，得，． ． （2）为定值 （3）存在， 由，则，同理， 则．由（1）知，，则． （4）． 【解析】 【分析】（1）通过椭圆定义，结合余弦定理和三角形面积公式即可得结果； （2）易求，，结合（1）即可求结果； （3）直接根据焦点三角形的面积公式即可得结果； （4）由可求出，结合椭圆离心率即可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得  故，，则， 由（1）知，，则．． 当为椭圆左右顶点时，也满足上式． 故，为定值． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 ，， 则， 则，由，知，故． 椭圆的方程为． 19. 已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【答案】（I）； （II）令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； （III） 【解析】 【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程； （II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解； （III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值. 【详解】（I），则， 又，则切线方程为； （II）略 （III）由（II）知，此时， 所以， 令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故， 所以实数b的取值范围. 【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $