精品解析：浙江乐清市荆山公学2025-2026学年下学期高三数学开学考试卷

2025-2026学年度下学期高三数学开学考试卷 考试范围：高考内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得，进而可求模长. 【详解】因为，即， 可得，所以. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数函数的单调性求解不等式得集合，再由并集定义计算即得. 【详解】由可得，解得 ，即， 因，则. 故选：D. 3. 若且 ，则“”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由 及等差数列的性质知， 若为等差数列，则，必要性成立； 数列：1，5，3，7满足，但不是等差数列，充分性不成立. 则“”是“为等差数列”的必要不充分条件. 4. 已知向量在方向上的投影向量等于，则 （ ） A. 2 B. －1 C. 1 D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的概念列式计算即可. 【详解】由题意： ，即 . 5. 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设此铁塔高，在直角 中，可得，再在中，利用正弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】设此铁塔高，根据题意，可得， 在直角 中，可得， 在中，由，可得， 根据正弦定理，可得，解得． 故选：A. 6. 鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑 中， 平面，，， 分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求点到直线的距离计算即可. 【详解】以为原点，以，，过点且平行于的直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 因为， 分别是棱，的中点，所以，. 因为点是线段的中点，所以. 所以，， 所以点到直线的距离为 . 故选：D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆C的上顶点，直线与椭圆相交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助椭圆的定义与余弦定理可得与、有关齐次式，再利用离心率定义计算即可得. 【详解】，，设，则， 又由，则，可得，则， 又由，在中，由余弦定理， 有，则，故. 8. 已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得且，再由为减函数可得，从而可判断A和D的正误，对于B，利用导数可得时不成立，对于C，利用零点存在定理可判断当时不成立. 【详解】因为且，故， 而，故，所以，故， 设，则， 所以为上的减函数， 而即为，故，故D成立. 由可得即， 故， 所以，所以即，故A错误. 对于B，取，由D的分析可得. 若，则即， 设，， 而均为上的减函数，故为上的减函数， 故， 所以在上为减函数， 所以，故， 所以不成立，故B错误. 对于C，取，则，即， 仍取D分析中的函数，考虑方程的解， 设，因为为 上的减函数， 所以为上的减函数，而, 故，故此时不成立，故C错误. 二、多选题 9. 设，分别为随机事件的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据全概率公式、条件概率公式等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A，由全概率公式得，，故A正确； 对于B，，所以，所以，相互独立， 那么，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，表示在发生的条件下发生的概率，表示在发生的条件下发生的概率， 两者之和不一定为1，例如：设为“掷骰子点数为偶数”，为“掷骰子点数为奇数”， 为“掷骰子点数大于2”，则，，和为，D错误. 10. 已知的内角，，的对边分别为，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，且，则的最小值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理和大角对大边判断A，利用平面向量数量积的定义判断B，结合题意并利用正弦定理与余弦定理判断C，变形得到，令，得到，由基本不等式求出最小值判断D即可. 【详解】对于A，若，由大角对大边得， 由正弦定理得， 故，故A正确； 对于B，由向量数量积的定义得， 则，即为锐角，但不确定 是否是锐角， 可得不一定是锐角三角形，故B错误， 对于C，因为， 所以，得到， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得，则为钝角三角形，故C正确， 对于D，由题意得， 则，可得， 即，故， 可得， 而为锐角三角形，故， 所以，令， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD 11. 过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于两点， 的内切圆分别切直线于点，内切圆的圆心为，半径为，则（ ） A. 切点与右焦点重合 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用切线长定理及双曲线的定义可判定A、B，利用内切圆的性质及双曲线的定义可判定C，利用三角恒等变换计算可判定D. 【详解】对于A，由切线长定理可知：， 则，， 故①， 又②， ①②得， 得， 即， 故点与点重合， 正确； 对于B，，B错误； 对于C，根据三角形内切圆的性质可得， 即， 故C正确； 对于D，令，则结合A、B选项可得：， ∴．故D正确． 故选:ACD 【点睛】本题关键是利用三角形内切圆的性质及双曲线的定义计算判定前三项，对于D项需要用二倍角公式切化弦，方法不容易想到. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知前n项和为的等比数列中，且，记，则数列的前20项的和为________. 【答案】208 【解析】 【分析】由已知条件求出数列的公比，再由数列的通项求出数列的通项，结合等差数列的求和公式求解即可. 【详解】设数列的公比为q，由，有，可得 ， 又由，有，可得 ，可得. 有，可得数列的前20项的和为. 13. 设；.若是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据充分条件，判断两个解集之间的包含关系，进而求出参数范围. 【详解】由可得， 由可得， 当时，解得，符合题意； 当时，解得， 若是的充分条件，可知， 所以，即 ，成立， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，若对任意实数，，，都有，则 的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先化简函数表达式，分情况讨论函数的值域，利用条件列式求解参数的取值范围. 【详解】化简， 由，故，从而， 当时，，的值域为， 此时，，满足，符合条件； 当时，，故，的值域为， 的最小值趋近于，的最大值趋近于， 要满足对任意，，成立，需满足，即. 当 时，， 故，的值域为， 的最小值趋近于 ，的最大值趋近于1， 要满足对任意，，成立，需满足 ，即 . 综上：. 故答案为：. 四、解答题 15. 记数列的前n项和为，已知 ． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系，可求数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法可求，利用等比数列的前n项和公式可求得，可求t的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以， 当 时，，所以，即， 则是首项为1，公比为3的等比数列， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 因为，， 所以t的取值范围为． 16. 在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数. （1）求的分布列和数学期望； （2）若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值； （3）在排练过程中，记录了机器人完成某个特定动作的练习次数与所需时间（秒）的数据，如下表： 练习次数 2 4 5 6 8 完成时间 8 7 6 5 4 且关于的线性回归方程为，预测当练习次数为10时，完成时间约为多少秒. 【答案】（1）分布列为： 2 3 4 期望为 （2） （3）2.5秒 【解析】 【分析】（1）由题设随机变量服从超几何分布，并求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列或超几何分布的期望求法求期望； （2）应用全概率公式求概率即可； （3）首先求出样本中心，代入回归方程求参数，再由该方程估计练习次数为10时完成时间. 【小问1详解】 由题意知随机变量服从超几何分布，其中，， ， 且的所有可能取值为2，3，4，，，， 故的分布列为： 2 3 4 法一：所以的数学期望. 法二：根据超几何分布的期望公式知. 【小问2详解】 记“下达的动作指令表述清晰”为事件， 记“下达的动作指令表述模糊”为事件， 记“机器人成功完成指令”为事件. 由已知得，，，，. 因为， 所以. 【小问3详解】 ，. 因为经过点（5，6），所以，回归方程为. 当时，，故预测当练习次数为10时，完成时间约为2.5秒. 17. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，点P是线段的中点. （1）证明： 平面； （2）证明：平面； （3）若，求CP与平面 所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取棱的中点为Q，构造平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）取棱AD的中点为O，先判定，结合勾股定理逆定理及线面垂直的判定定理证明即可； （3）建立空间直角坐标系，利用线面夹角的向量公式计算即可. 【小问1详解】 如图，取棱的中点为Q，连接PQ，BQ， 且. 又 且且 四边形BCPQ为平行四边形， . 平面平面平面. 【小问2详解】 如图，取棱AD的中点为O. . . . 四边形BCDO为平行四边形， . ， 直四棱柱为侧棱，底面ABCD，， 平面平面. 【小问3详解】 由，可得， 如图，过A点在底面ABCD中作AD的垂线为x轴，以点A为坐标原点， AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则有， ，可得， 设平面 的一个法向量为， 由， 有，取， 可得平面 的一个法向量为. 有， 可得，所以CP与平面 所成的角的正弦值为. 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M过点，且与直线相切． （1）求动圆圆心M的轨迹C的方程； （2）过点作斜率分别为，的直线AB，AD，与C分别交于点B，D，当直线BD恒过定点时，证明：． 【答案】（1） （2） 证明：由题意可知直线的斜率存在且不为零，设为 ， 则直线的方程为，同时设， 联立，消去可得，， ，又， 所以， 代入韦达定理后化简可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）由两点间距离公式结合题意列方程化简可得； （2）设直线的斜率为 ，由点斜式写出直线的方程为，直曲联立，得到韦达定理；再根据斜率的定义用两点坐标标出斜率，，把韦达定理代入后化简可得. 【小问1详解】 设，由题意可知， 两边平方后化简可得， 所以动圆圆心M的轨迹C的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：（1）求轨迹方程时可设动点坐标为，常用利用两点间距离公式化简可得；（2）求斜率之和为定值可先用韦达定理表示出斜率之和，再代入斜率的定义式化简. 19. 已知函数（是自然对数的底数）. （1）当时，求函数的单调区间及曲线在处的切线方程； （2）当时： （i）证明：在上有两个极值点； （ii）设极小值点是，证明：. 【答案】（1）单调递增区间为,无单调递减区间；切线方程为 （2）（i） ， 令 ，则 ， 再令 ，则， 由 ， 故在 上单调递减，在 上单调递增. 因为 ， ， ， 当时， ，所以存在 使得 . 于是在 上单调递减，在 上单调递增. 又因为 ， ， 所以在 内存在唯一零点， 即在 内有唯一极值点且为极小值点. 又因为 ，当时， ， 于是在内存在唯一零点， 即在内有唯一极值点且为极大值点. 综上， 在  上有一个极大值点  和一个极小值点 ，且 . （ii）由（i）知， ，所以 . . 【解析】 【分析】（1）利用不含参函数的单调区间以及切线方程的求法可得答案； （2）（i）求导，利用单调性以及零点存在定理证明导函数在上有2个变号的零点即可；（ii）放缩成等比数列，利用等比数列的前 项和公式求和即可. 【小问1详解】 当时，可得， . 当时 ；当 时 ，则 在上恒成立， 故的单调递增区间为无单调递减区间. 因 ， 曲线 在处的切线方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期高三数学开学考试卷 考试范围：高考内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若且 ，则“”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知向量在方向上的投影向量等于，则（ ） A. 2 B. －1 C. 1 D. －2 5. 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑 中， 平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆C的上顶点，直线与椭圆相交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设，分别为随机事件的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. D. 10. 已知的内角，，的对边分别为，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，且，则的最小值为8 11. 过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于两点， 的内切圆分别切直线于点，内切圆的圆心为，半径为，则（ ） A. 切点与右焦点重合 B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知前n项和为的等比数列中，且，记，则数列的前20项的和为________. 13. 设；.若是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 14. 已知函数，若对任意实数，，，都有，则的取值范围为______. 四、解答题 15. 记数列的前n项和为，已知 ． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围． 16. 在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数. （1）求的分布列和数学期望； （2）若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值； （3）在排练过程中，记录了机器人完成某个特定动作的练习次数与所需时间（秒）的数据，如下表： 练习次数 2 4 5 6 8 完成时间 8 7 6 5 4 且关于的线性回归方程为，预测当练习次数为10时，完成时间约为多少秒. 17. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，点P是线段的中点. （1）证明： 平面； （2）证明：平面； （3）若，求CP与平面 所成的角的正弦值. 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M过点，且与直线相切． （1）求动圆圆心M的轨迹C的方程； （2）过点作斜率分别为，的直线AB，AD，与C分别交于点B，D，当直线BD恒过定点时，证明：． 19. 已知函数（是自然对数的底数）. （1）当时，求函数的单调区间及曲线在处的切线方程； （2）当时： （i）证明：在上有两个极值点； （ii）设极小值点是，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $