精品解析：河北保定市第一中学等校2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5-7节，必修第二册第六-七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逆用两角差的正弦展开公式求解即可. 【详解】. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算及共轭复数的概念即可求解. 【详解】，所以共轭复数为. 故选：B. 3. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. 30° B. 45° C. 150° D. 30°或150° 【答案】A 【解析】 【分析】运用正弦定理，结合三角形大边对大角的性质进行求解即可. 【详解】因为，，，所以由正弦定理可得，所以或150°．因为，所以，所以． 故选：A 4. 在四边形中，若，且，则该四边形一定是（ ） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性关系及加减的几何意义判断四边形的形状即可. 【详解】由，此时四边形 为平行四边形， 因为，所以 ，即对角线长相等， 故四边形为矩形  故选：C． 5. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点，，，点是上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可. 【详解】. 6. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合条件作图可得为等边三角形，再根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为，所以是的中点，则是圆的直径，， 又，所以是等边三角形，，. 设，则，作于，则， 所以，即为向量在向量上的投影向量， . 7. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用以及倍角公式求出，进而根据可得，再代入计算即可. 【详解】，，， , 解得或，又， 则，， 故选：B. 8. 如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解夹角余弦值. 【详解】以为原点，建立平面直角坐标系如图： 依题意可知：，，，，， 则，， 所以， ，， . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的虚部为 B. 为纯虚数 C. D. 和是方程的两个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】先应用复数乘除法运算得出，结合共轭复数计算判断A，B，C，再根据方程求解计算得出复数即可判断D. 【详解】由题可得：，故，所以，故A正确，B错误； ，故C正确； 因为，，所以，，故D正确， 故选:ACD. 10. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若是的重心，则 C. 设为所在平面内一点，且满足，则的面积与的面积的比值为5 D. 若点在所在平面内，，且，则的面积是面积的 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：结合题意确定与的夹角，进而判断三角形形状；对B：利用向量的线性运算，将用和表示，验证等式是否成立；对C：利用向量的中点转化，建立面积之间的比例关系；对D：通过向量转化，结合三角形面积与底高的关系，推导与的面积比. 【详解】对A，由可知的外角为钝角，所以为锐角， 故不能判断三角形为钝角三角形，故A错误； 对B，由是的重心，可知，故B正确； 对C，取中点，得，代入条件, 得： 即共线，且. 和同底，高的比等于，因此面积比为，C正确； 对D，如图所示，设为中点，， 所以，即， 由，可得，即，，三点共线， 所以，故D正确. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是该函数的一个单调递增区间 B. 函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 C. 若，则的最小值为 D. 若，函数在上有且仅有三个零点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】，A选项，由正弦函数单调区间可判断选项正误；B选项，得到平移后的函数解析式，后由正弦函数对称轴可判断选项；由，要使最小，则可取为相邻的两个最值点，据此可判断选项正误；D选项，设，由，，结合在上有且仅有三个零点可得关于的不等式，即可判断选项正误. 【详解】. A选项，，，因在上单调递增，则是该函数的一个单调递增区间，故A正确； B选项，函数的图象向右平移个单位长度后的函数解析式为，其对称轴满足，，不包含y轴，故B错误； C选项，若，要使最小，可取为相邻的两个最值点，此时为最小正周期的一半，即，故C错误； D选项，设，则，，因函数在上有且仅有三个零点，则，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦二倍角公式即可求解. 【详解】, 故答案为： 13. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 14. 一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行向量的几何性质，结合向量数量积的运算性质，即可求解. 【详解】如图，，， ，所以，则， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有，即， 所以， 所以此时小货船航行速度大小为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件? （1）在虚轴上； （2）位于第四象限. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据复数与复平面内点的对应关系建立关于的方程并求解； （2）根据复平面内第四象限的点的实部大于0，虚部小于0，需列出不等式组并求解. 【小问1详解】 因为复数在复平面内对应点在虚轴上， 则有，解得或，所以或时， 复平面内表示复数的点在虚轴上. 【小问2详解】 复平面内，复数对应的点为， 依题意， 即，解得或， 所以当或时，复数对应的点位于第四象限. 16. 已知非零向量，满足，且，. （1）求的值； （2）证明：； （3）设与的夹角为，求及的值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3），. 【解析】 【分析】（1）由条件，结合数量积的运算律求； （2）由条件根据数量积运算律求，再计算，由此证明结论； （3）根据模的性质和数量积运算律求，根据向量夹角公式求. 【小问1详解】 因为， 所以，故， 又， 所以， 【小问2详解】 因为， 所以，又， 所以， 所以， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以， 因为， 又，，， 所以. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数为，若不等式在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由图象得出函数的最小正周期，可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围可求得的值，由此可得出函数的解析式； （2）利用三角函数图象变换求得，由已知可得，利用余弦函数的基本性质求出函数在区间上的最大值，进而可得出实数的取值范围. 【详解】（1）的周期为，所以， 又因为函数的图象过点，则有，且函数在附近单调递减， 所以，所以， 又因为，所以，所以； （2）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍，得函数的图象， 再将的图象向右平移个单位长度， 得， 不等式在恒成立，即， 因为，所以， 所以当，即时，取最大值，最大值为，即. 综上可得，实数s的取值范围实数. 【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 18. 若，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求，； （3）若的面积为，设为的中点，且，的平分线交于，求线段的长度. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合辅助角公式整理，求解角； （2）利用三角形面积公式得到的值，再结合余弦定理建立方程求解和； （3）利用向量中线公式和向量数量积公式得到关于、的等式， 再利用求解. 【小问1详解】 由题意知中，，由正弦定理边角关系得： ， ， ，，， ，， 又，，所以，即. 【小问2详解】 由，，得. 由余弦定理得， 则，所以， 解得. 【小问3详解】 在中，为中线，， ，. ，，， ， ， ， . 19. 在平面直角坐标系中，我们可以用有序实数对表示向量，类似的，我们也可以把有序复数对（，）视为一个向量，记作，称为复向量.对于复向量，，（、、、、），类比平面向量的运算法则我们有如下复向量的运算法则：①；②；③；④. （1）平面向量满足运算律，判断复向量是否满足该运算律，并说明理由； （2）已知i为虚数单位，设复向量，，求和； （3）若复向量与满足，则称复向量与平行，据此判断复向量与，能否平行？若能，求出实数m的值，若不能，请说明理由. 【答案】（1），理由如下： 因为量，，所以，， 所以 ； （2）； （3）不存在实数使得与平行.理由如下： 因为 整理得，所以 因为， ，， 所以， 若复向量与，平行， 则可得， 两边平方， 所以， 整理得， 因为， 所以方程无实数解，所以不存在实数使得与平行. 【解析】 【分析】（1）根据复向量新定义的运算法则计算可得结论； （2）根据复向量新定义的运算法则计算即可求解； （3）根据复向量新定义的运算法则计算可得，，判断的解情况即可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5-7节，必修第二册第六-七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. 30° B. 45° C. 150° D. 30°或150° 4. 在四边形中，若，且，则该四边形一定是（ ） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 等腰梯形 5. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点，，，点是上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的虚部为 B. 为纯虚数 C. D. 和是方程的两个根 10. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若是的重心，则 C. 设为所在平面内一点，且满足，则的面积与的面积的比值为5 D. 若点在所在平面内，，且，则的面积是面积的 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是该函数的一个单调递增区间 B. 函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 C. 若，则的最小值为 D. 若，函数在上有且仅有三个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值______． 13. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 14. 一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件? （1）在虚轴上； （2）位于第四象限. 16. 已知非零向量，满足，且，. （1）求的值； （2）证明：； （3）设与的夹角为，求及的值. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数为，若不等式在恒成立，求实数的取值范围. 18. 若，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求，； （3）若的面积为，设为的中点，且，的平分线交于，求线段的长度. 19. 在平面直角坐标系中，我们可以用有序实数对表示向量，类似的，我们也可以把有序复数对（，）视为一个向量，记作，称为复向量.对于复向量，，（、、、、），类比平面向量的运算法则我们有如下复向量的运算法则：①；②；③；④. （1）平面向量满足运算律，判断复向量是否满足该运算律，并说明理由； （2）已知i为虚数单位，设复向量，，求和； （3）若复向量与满足，则称复向量与平行，据此判断复向量与，能否平行？若能，求出实数m的值，若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $