5.3.1 函数的单调性 第2课时教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《5.3.1 函数的单调性（第2课时）》教学设计 1、 课标及课标分析 通过探究三次函数的单调性与导函数的关系，掌握利用导数研究复杂函数单调性的一般方法，培养分类讨论和逻辑推理能力；能利用单调性的性质推导函数增减快慢与导数的关系，提升逻辑论证能力. 熟练掌握三次函数的求导方法，能结合二次函数的性质判断导数的符号，准确求出函数的单调区间；能利用单调性求解参数取值范围、比较大小、解不等式，提高数学运算的准确性和综合性. 借助函数图像，理解导数的符号与函数单调性的对应关系，体会导数的绝对值与函数增减快慢的几何意义，增强利用图形分析和解决函数问题的能力. 2、 教材分析 “函数的单调性（第2课时）”是一元函数的导数及应用的重要内容，是在学生掌握导数与函数单调性基本关系后的深化与拓展，在导数应用知识体系中起到承上启下的作用.本节课以三次函数为核心研究对象，结合二次函数的性质探讨导数在研究复杂函数单调性中的应用，同时延伸出函数增减快慢与导数的关系，还涉及利用单调性求参数范围、比较大小、解不等式等实际应用，为后续学习函数的极值与最值奠定方法基础.本节课的内容不仅能让学生深化对导数与函数单调性内在联系的理解，更能培养学生利用导数解决函数问题的综合能力，提升数学逻辑推理和运算核心素养. 3、 学情分析 学生在学习本节课之前，已经掌握了导数的基本运算、导数与函数单调性的基本关系（ 函数递增， 函数递减），并能利用导数研究简单初等函数的单调性，具备了一定的导数运算能力和数形结合思想.然而，本节课以三次函数为研究重点，其导函数为二次函数，需要结合二次函数的零点、开口方向、判别式分析导数的符号，对学生的分类讨论能力要求较高；同时函数增减快慢与导数的关系较为抽象，利用单调性解决求参数、比较大小、解不等式等综合问题，需要学生具备知识迁移和综合应用能力，学生可能在分类讨论不全面、导数符号判断失误、综合问题解题思路不清晰等方面遇到困难.学生已有的导数和函数单调性基础为学习本节课提供了支撑，教师应通过引导探究、典例分析、归纳总结，帮助学生突破难点，提升综合解题能力. 4、 教学目标/核心素养目标 1.逻辑推理素养：通过探究三次函数的单调性与导函数（二次函数）的关系，掌握利用导数研究复杂函数单调性的一般方法，培养分类讨论和逻辑推理能力；能利用单调性的性质推导函数增减快慢与导数的关系，提升逻辑论证能力. 5.数学运算素养：熟练掌握三次函数的求导方法，能结合二次函数的性质判断导数的符号，准确求出函数的单调区间；能利用单调性求解参数取值范围、比较大小、解不等式，提高数学运算的准确性和综合性. 6.直观想象素养：借助函数图像，理解导数的符号与函数单调性的对应关系，体会导数的绝对值与函数增减快慢的几何意义，增强利用图形分析和解决函数问题的能力. 7.数学建模素养：将比较大小、解不等式等问题转化为函数单调性的数学模型，利用导数工具解决实际数学问题，体会导数在函数研究中的工具性价值，提升数学建模意识. 8.数学抽象素养：从三次函数的单调性研究中抽象出利用导数研究函数单调性的一般步骤，从具体函数的增减快慢中抽象出导数绝对值的几何意义，提升从具体到抽象的思维能力. 5、 教学重难点及课时安排 1.重点：利用导数研究三次函数的单调性的方法，函数增减快慢与导数的关系，利用函数的单调性求参数取值范围、比较大小、解不等式. 2.难点：结合二次函数的判别式、开口方向分类讨论三次函数的单调性，利用单调性求参数取值范围时的等价转化，导数绝对值与函数增减快慢关系的理解. 六、教学过程 环节一：检查预习 1.展示预习问题： 求三次函数的导函数（答案：）. 解方程（答案：或）. 思考：如何根据导函数的零点判断原三次函数的单调性？ 请学生回答问题，对求导、解方程正确的学生给予肯定，对思路不清晰的学生引导分析，为探究三次函数的单调性做铺垫，激发探究兴趣. 环节二：引入课题 1.请学生回顾上节课核心知识，随机提问： 导数与函数单调性的基本关系：在区间上，若，则单调递增；若，则单调递减. 利用导数求简单函数单调区间的基本思路：先求导，再判断导数符号，最后确定单调区间. 2.对学生回答点评，强调导数的符号是判断函数单调性的核心，引出本节课主题：利用导数研究更复杂的三次函数的单调性，以及单调性的综合应用. 环节三：合作探究 1.利用导数研究三次函数的单调性（8 分钟） · 提出核心问题：如何利用导数研究形如的三次函数的单调性？ 步骤引导：先让学生自主求导，得出导函数（二次函数），明确三次函数的单调性由其导函数（二次函数）的符号决定. 典例探究：以为例，引导学生小组合作完成：求导→求导函数零点→划分定义域→判断各区间导数符号→确定原函数单调性，教师巡视指导，最后统一列表展示结果，强化步骤意识. 分类讨论：提出问题“导函数的根的情况有哪些？”，引导学生结合二次函数的**判别式和开口方向（的正负）**分三种情形讨论： 情形1：，导函数无零点或有一个重根，符号恒正或恒负，三次函数在上单调递增或递减； 情形2：且，导函数有两个零点，三次函数在递增、递减、递增； 情形3：且，导函数有两个零点，三次函数在递减、递增、递减. 归纳总结：利用导数研究函数单调性的一般步骤：①确定函数定义域；②求导数的零点；③用零点划分定义域，列表判断在各区间的正负，确定函数单调性. 2.函数增减快慢与导数的关系（4 分钟） · 提出问题：对数函数和幂函数在上均单调递增，增长快慢有何不同？ 引导学生分别求导：，，结合图像分析：在上，的绝对值随增大而增大，图像越来越“陡峭”；的绝对值随增大而减小，图像越来越“平缓”. 抽象结论：在区间上，导数的绝对值越小，函数变化越慢，图像越平缓；导数的绝对值越大，函数变化越快，图像越陡峭. 3.初步应用（3 分钟） · 给出简单例题，让学生尝试应用结论： 判断函数和在上的增减快慢（答案：变化更快，因其导数的绝对值更大）； 已知函数在上的导数绝对值恒小于1，说明函数在该区间的图像特征（答案：图像较为平缓，变化较慢）. · 及时反馈，纠正理解偏差，强化对结论的掌握. 环节四：学以致用 1.基础练习：求三次函数的单调区间（4 分钟） · 给出例1，求函数的单调区间，让学生独立完成，要求严格按照“定定义域→求导→求零点→列表判断→写单调区间”的步骤解题，教师巡视，针对分类讨论遗漏、导数符号判断错误等问题即时纠正，答案：单调递增区间为和，单调递减区间为. 2.综合练习：单调性的三类综合应用（8 分钟） · 分题型讲解，结合典例梳理解题思路，强调解题要点： 题型一：利用单调性求参数取值范围：以“已知在上单调递增，求的取值范围”为例，引导学生得出等价关系：在上恒成立，结合二次函数性质求解，答案：，强调恒成立问题的转化方法和等号的取舍. 题型二：利用单调性比较大小：以“比较和的大小”为例，构造函数，利用导数判断其单调性，结合得出结论，总结构造函数法是利用单调性比较大小的核心方法. 题型三：利用单调性解不等式：以“已知在上单调递增，且，解不等式”为例，引导学生利用单调性脱去“”，得出，求解即可，强调解不等式时要注意函数的定义域. · 每类题型讲解后，给出简单变式让学生即时练习，巩固解题思路. 小试牛刀： 1. 函数在区间内（） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 部分单调递增，部分单调递减 D. 单调性不能确定 2. 函数的单调递增区间是（） A. B. C. D. 3.若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围为______. 4.求下列函数的单调区间： (1)； (2). 环节五：课堂小结 1.请学生自主回顾本节课所学内容，同桌间相互交流，梳理核心知识点. 2.教师补充完善，构建知识体系，强调核心要点： 利用导数研究函数单调性的一般步骤（定域→求导→求零点→列表判断）； 三次函数的单调性由其导函数（二次函数）的开口方向和判别式决定，需分类讨论； 函数增减快慢与导数的绝对值有关，绝对值越大，变化越快； 单调性的三类综合应用：求参数范围（等价转化为导数恒正/恒负）、比较大小（构造函数）、解不等式（脱去函数符号）. 环节六：布置作业 1.布置作业： 1. 书面作业：完成课本P89相关练习题，巩固三次函数单调性的求解和单调性的综合应用； 2. 拓展作业：尝试研究函数的单调性，并结合图像分析其增减快慢的变化规律. 预习引导：引导学生预习下一课内容，思考：函数在单调区间的端点处，函数值有何特殊特征？为后续学习函数的极值做准备. 授课人个案修改记录： 教学反思 在教学过程中，要注重引导学生从简单函数的单调性研究迁移到三次函数，通过分类讨论突破三次函数单调性的难点，让学生理解“三次函数的单调性由二次导函数决定”的本质，而非机械记忆结论.要借助函数图像帮助学生直观理解导数绝对值与函数增减快慢的关系，降低抽象知识的理解难度.在单调性综合应用教学中，要注重解题方法的归纳总结，如构造函数法、等价转化法，通过变式练习让学生熟练掌握.同时，要关注学生的分类讨论意识和运算准确性，及时发现并纠正学生在解题中的思维漏洞和运算错误，鼓励学生积极参与小组探究和课堂交流，培养逻辑推理和数学运算核心素养，为后续学习函数的极值与最值做好方法和能力铺垫. 学科网（北京）股份有限公司 $