5.3.1函数的单调性（第1课时）教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性（第1课时） 一、教学目标 ⒈ 通过具体的函数的图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养. ⒉ 能根据导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养. 二、教学重难点 教学重点：函数单调性与导数正负的关系；利用导数求函数单调区间的基本步骤； 教学难点：⑴“导数是正（或负），则函数是单调递增（或减）函数”的理解； ⑵“导数在某个区间上存在零点，则函数仍是单调递增（或递减）函数”的理解. 三、教学过程 I 导引入与问题分析 导引：函数的平均变化率（关注表达式）、导数符号及其值，定性与定量地刻画了函数的局部变化，利用它能否更加精确地研究函数的性质呢？如单调性？ 问题1：对函数的单调性，你能否从数、形、定义等不同角度描述函数在区间上是单调递增的吗？ 数：函数值随自变量增大而增大； 形：从左至右，图形上升； 定义：如果且，都有，那么在区间上是单调递增的. 如果，都有，那么在区间上是单调递增的. 问题2：如果函数的图象在区间上从左到右是上升的，并且处处都有切线，那么这些切线有什么共同特征？ 每条切线从左到右也是上升的（或）. 问题3：图⑴是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数的图象，图⑵是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象，是函数的零点． 引导：从右边两个图形发现函数的单调性与函数导数的正负有什么关系呢？ 问题4：函数的单调性与其导数的正负有内在的联系.那么，能否由导数的正负来判断函数的单调性呢？ 追问1：对于问题3高台跳水问题，是否有下列结论？ 当时，，函数在内单调递增； 当时，，函数在内单调递减. 追问2：在高台跳水问题，我们可以看到用导数的正负判断函数的单调性，那么这种做法是否具有一般性？观察下列四个函数图象，探讨导数正负与函数单调性的关系. 【师生活动】以图⑶函数为例，导数表示函数的图象在点处的切线的斜率，引导学生思考函数的导数正负与函数的单调性之间关系的一般性结论： 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间内，如果，那么函数在区间内单调递增； 在某个区间内，如果，那么函数在区间内单调递减． 追问3：如果在某个区间上恒有，那么函数有什么特性？ 问题5：（课本例1）你能用导数判断下列函数的单调性吗？ ⑴； ⑵； ⑶. 【师生互动】引导学生归纳用导数判断函数单调性的步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求函数的导数； 第3步，解不等式，得函数的单调递增区间；解不等式，得函数的单调递减区间. 【巩固训练】课本练习1，2. 问题6：（课本例2）你能根据函数的导数的下列信息，画出函数的大致图象吗？ ①当时，； ②当或时，； ③当或时，. 问题7：设.你能分别用函数单调性的定义和导数的正负判断函数的单调性吗？ ⑴利用单调性的定义 设， .（很难判断函数的单调性） ⑵利用平均变化率 ，且， . 观察函数的图象，平均变化率似乎小于0.9，从而，于是判断函数在内单调递增.这一方法看似自然，知则心里“没底”. ⑶利用导数求解 ，则，所以函数在内单调递增. 问题8：已知函数在区间上可导.对于以下四个条件，你认为哪些可以用来判断函数在区间内单调递增？ ①，且，； ②； ③，且，； ④. 【探究与互动】函数在区间上单调递增，等价于，在与之间函数的平均变化率恒为正，即，恒有： ① ①式的几何意义：是经过点的割线的斜率. 由于在区间上处处有导数，所以函数的图象在区间上处处有切线. ，不妨设，当在区间上从左端点变化到右端点时，函数图象的切线也会随着变化.直观上，能找到一点，使函数的图象在点处（即）的切线与直线平行.所以函数在区间上单调递增. 用同样的方法可以说明，如果函数在区间上的导数为负，那么函数在区间上单调递减. II 课堂小结 III 课时作业 学科网（北京）股份有限公司 $