精品解析：山东德州市2025-2026学年高三下学期4月学习质量综合评估数学试题

高三年级4月学习质量综合评估 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 5. 下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）与年份代码（1-5分别对应2021-2025）的相关数据.根据表中数据求得关于的经验回归方程为，则（ ） 1 2 3 4 5 12 18 25 30 34 A. 与正相关 B. 回归直线过点 C. D. 预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨 6. 如图，函数的图象上有两点，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递减 D. 为偶函数 7. 正三棱锥中，，点在底面内运动（含边界），到棱的距离分别为，若，则（ ） A. 的体积为 B. 外接球的体积为 C. D. 的运动路径的长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 8. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的常数项为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 9. 已知函数. （1）求在上的最大值； （2）证明：. 10. 在平面直角坐标系中，点到点的距离是它到直线距离的倍，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于两点，直线分别交于两点. （i）证明：为定值； （ii）是否存在实数使得四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 11. 某社区举行乒乓球比赛，现有甲､乙等名选手参加.规则如下，将所有选手随机编号为，第一轮1号与2号对战，3号与4号对战，以此类推，共决出名胜者进入第二轮；第二轮1号与2号的胜者和3号与4号的胜者对战，以此类推，决出名胜者进入第三轮；最终有2名胜者进入第轮对战，第轮对战的胜者即为整场比赛的冠军.已知甲选手与其他选手对战时，甲获胜的概率为；其余选手两两对战时，双方获胜的概率均为0.5；比赛没有平局，且每场比赛结果相互独立. （1）若，求乙获得冠军的概率； （2）记为甲和乙恰在第轮比赛中对战的概率，求； （3）记为甲和乙对战过且乙获得冠军的概率，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级4月学习质量综合评估 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合或，而， 则，A错误，B正确； 而，，因此集合不是集合的子集，集合不是集合的子集，CD错误. 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 设，则， 所以， 即， 所以. 3. 已知向量满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设有， 故，故，即. 4. 一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得的平均数为，故，故AB错误； 又 ，而不全相等，故， 所以，故C正确，D错误. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 5. 下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）与年份代码（1-5分别对应2021-2025）的相关数据.根据表中数据求得关于的经验回归方程为，则（ ） 1 2 3 4 5 12 18 25 30 34 A. 与正相关 B. 回归直线过点 C. D. 预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨 【答案】AC 【解析】 【详解】,, 而回归直线为，故，故 ，故C正确， 因为，故与正相关，故A正确； 当时，，故B错误； 2030年对应，此时生活垃圾无害化处理量为（亿吨）， 故D错误. 6. 如图，函数的图象上有两点，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递减 D. 为偶函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据两点题设中图象的对称性可求初相位和，然后逐项判断后可得正确的选项. 【详解】因为，故即，而在上升曲线段中， 故，而，故，故A正确； 而，由图形结合对称性可得为轴右侧的第一条对称轴， 故即即，故B正确； 故， 当时，，而在上为减函数， 故在上为减函数，故C正确； 又，设， 而，故为奇函数，故D错误. 7. 正三棱锥中，，点在底面内运动（含边界），到棱的距离分别为，若，则（ ） A. 的体积为 B. 外接球的体积为 C. D. 的运动路径的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出棱锥的高后可判断A，再求出外接球的半径后可判断B，利用向量法可求的长，从而判断C，求出的轨迹后可求其长，从而判断D. 【详解】设底面中心为，连接，则平面.连接， 因为，故，故， 故，故A正确； 设外接球的半径为，则， 故即， 故外接球的体积为，故B错误； 因为平面，故可设，其中， 在中，，故，同理， 故， 所以到的距离为： ， 同理，， 由可得，故， 故，故， 故即，故C正确； 而，故， 又内切圆的半径为， 故的轨迹为如图所示的三段实线圆弧，如图，其中， 而到的距离为，故，而为锐角， 所以，由对称性可得，故， 故三段圆弧的长为，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 8. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的常数项为__________. 【答案】240 【解析】 【分析】先通过得到，再写出的展开式的通项，令的次数为即可得到常数项. 【详解】由的展开式中，二项式系数之和为64得，， 则的展开式的通项为， 令，得，所以展开式中常数项为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 9. 已知函数. （1）求在上的最大值； （2）证明：. 【答案】（1）0 （2）证明：由（1）知，即. 令，其中，则， 所以 . 【解析】 【分析】（1）先根据导数的符号判断函数的单调性，从而可求在上的最大值； （2）根据（1）中结果可得，根据这个不等式可证题设中的不等式. 【小问1详解】 由已知，， 因为，， 所以恒成立， 所以在单调递增，所以， 所以在最大值为0. 【小问2详解】 略 10. 在平面直角坐标系中，点到点的距离是它到直线距离的倍，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于两点，直线分别交于两点. （i）证明：为定值； （ii）是否存在实数使得四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）由题意可知，设， 则直线，直线， 因为在直线上，所以，代入直线方程，可知， 故点的坐标为， 同理可得点的坐标为. 当直线斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线， 代入双曲线方程中，可得， 所以， 又 ， 所以. （ii）由四点共圆可知，， 又，即， 故， 即，所以. 所以，又，由， 则，整理可得， 所以， 故，即，所以点坐标为. 【解析】 【分析】（1）设，将题设中的几何性质代数化后可求的方程； （2）（i）设，联立直线方程后可用的坐标表示，再设的直线方程，并联立双曲线方程，消元后结合韦达定理化简可得定值；（ii）根据四点共圆可得对角互补，从而，结合（2）中结果化简前者可求. 【小问1详解】 设，由题意可知， 化简整理得：， 故的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 11. 某社区举行乒乓球比赛，现有甲､乙等名选手参加.规则如下，将所有选手随机编号为，第一轮1号与2号对战，3号与4号对战，以此类推，共决出名胜者进入第二轮；第二轮1号与2号的胜者和3号与4号的胜者对战，以此类推，决出名胜者进入第三轮；最终有2名胜者进入第轮对战，第轮对战的胜者即为整场比赛的冠军.已知甲选手与其他选手对战时，甲获胜的概率为；其余选手两两对战时，双方获胜的概率均为0.5；比赛没有平局，且每场比赛结果相互独立. （1）若，求乙获得冠军的概率； （2）记为甲和乙恰在第轮比赛中对战的概率，求； （3）记为甲和乙对战过且乙获得冠军的概率，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据概率的对称性可求乙获得冠军的概率； （2）由对称性不妨设甲编号为1，若乙在第轮比赛中与甲对战，则可求出，再利用等比数列的求和公式可求. （3）根据独立事件的概率公式结合（2）中结果可求甲与乙在第轮比赛对战过且乙获得冠军的概率，由等比数列的求和公式可求. 【小问1详解】 记：事件为“甲获得冠军”，事件为“乙获得冠军”，则 由对称性知：除甲以外的所有选手获得冠军的概率相同， 因此，解得， 所以乙获得冠军的概率为. 【小问2详解】 由对称性不妨设甲编号为1，若乙在第轮比赛中与甲对战， 则抽签时乙的编号，其概率为， 甲和乙在第轮之前不被淘汰的概率分别为，所以， 所以. 该结果表示甲与乙在整场比赛中对战过的概率. 【小问3详解】 设表示甲与乙在第轮比赛对战过且乙获得冠军的概率， 则. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $