精品解析：江苏扬州中学2025-2026学年第二学期期中测试高二数学

江苏省扬州中学2025-2026学年度第二学期期中测试 高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.所有答案均写在答题纸上. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于平面 的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的对称关系可得结果. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点，其坐标和 坐标保持不变， 坐标变为原来的相反数， 则点关于平面 的对称点为， 故选：B. 2. 已知，则等于（ ） A. 0 B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，在导函数中代入，即得. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B. 3. 若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（ ） A. 24种 B. 23种 C. 12种 D. 11种 【答案】B 【解析】 【详解】“”一共有个不同的字母， 这个字母全排列有 种方法， 其中正确的有种，所以错误的有种. 4. 的展开式共（ ） A. 10项 B. 15项 C. 20项 D. 21项 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论. 【详解】∵， 由二项式定理可知，展示式中共有 项， ∴的展开式共有项. 故选：B． 5. 下列关于空间向量的命题中正确的是（   ） A. 已知两个向量，，则与的夹角为锐角 B. 已知过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为 C. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 已知，，则在上的投影向量坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】根据可判断A；利用点到平面距离公式计算可判断B；根据可判断C；利用投影向量公式计算可判断D. 【详解】对于A，因为，，则， 所以非零向量与非零向量方向相同，夹角不是锐角，故A错误； 对于B，因为， 所以点到平面的距离为，故B错误； 对于C，因为， 所以共面， 故不是空间的一组基底，故C错误； 对于D，已知，， 则在上的投影向量坐标为，故D正确. 6. 已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得恒成立，构造函数，可得，结合函数单调性可得恒成立，构造函数，借助导数研究其单调性后计算即可得解. 【详解】由恒成立，则恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 令，则， 由在上单调递增，故，则恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故，则， 即实数a的取值范围为. 7. “江畔何人初见月，江月何年初照人.”是扬州诗人张若虚笔下的千古名句.现有收录了《春江花月夜》的6本不同诗集，语文老师要将他们全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（ ）种分配方案 A. 90 B. 120 C. 360 D. 540 【答案】D 【解析】 【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按 分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案. 8. 取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当时，得到如图所示棱长均相等的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的半径与棱长的比值的平方为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设上下正四边形的中心分别为，连接，设出棱长，利用外接圆的性质求出外接球的半径，最后求出比值. 【详解】如图，由题意可知旋转角度为，设上下正四边形的中心分别为， 连接，则的中点即为外接球的球心，其中点为所在棱的中点， 设棱长为 ，可知，， 过点作于点，则， ，易得四边形为矩形，即，， 则，即该“四角反棱柱”外接球的半径， 故该“四角反棱柱”外接球的半径与其棱长的比值的平方为， 故选：A. 【点睛】本题的关键是读懂题意，求出旋转角度为，再设出棱长，利用图形作出合理辅助线，利用勾股定理求出外接球的半径，最后得到比值. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 如图，四棱柱为正方体，则（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的一个方向向量为 C. 平面的一个法向量为 D. 平面的一个法向量为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】设正方体的棱长为， 对于选项A，由，，则，所以与平行， 故直线的一个方向向量为，故选项A正确； 对于选项B，由，，则， 所以与平行，故直线的一个方向向量为，故选项B正确； 对于选项C，由 ，，则， 又是平面的一个法向量，且与平行， 所以平面的一个法向量为，故选项C正确； 对于选项D，由，，则， 又，则与不垂直， 所以不是平面的一个法向量，故选项D不正确． 故选：ABC 10. 下列有关排列数、组合数的等式中，，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用组合数性质判断A；利用排列数阶乘公式判断B；利用组合数性质计算判断C；利用组合数性质及二项式定理计算判断D. 【详解】对于A，由组合数性质知，，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C， ，C正确. 对于D，因为， 所以 ，D正确. 11. 已知函数的定义域为，为的导函数，满足且，则以下结论正确的是（ ） A. B. 过原点且与相切的直线方程为 C. 不等式的解集是 D. 若恰有两个整数解，则k的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对条件同时乘 得出导函数，得出，由得出判断A即可；根据过一点求切线方程即可判断B；对求导，利用单调性求解即可判断C； 根据，要使恰有2个整数解，，计算即可判断D. 【详解】A选项，由，， 可得，即， 故，为常数，由，可得， 故，，故A正确： B选项，设切点为，，设切线斜率为，则， 所以切线方程为，即， 因为切线过原点，所以， 解得，，所以，切线方程为.故B正确； C选项，， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为， 又，时，，时，， 且时， ，时，； 当时，，当时，， 的解集是，故C错误； D选项，因为，所以要使恰有2个整数解， 则整数解为2和3，所以，即，化简得； 故实数k的取值范围是，故D正确. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，那么________； 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的性质及组合数的计算公式计算可得； 【详解】解：因为，所以，即，即，解得或（舍去） 故答案为： 13. 已知函数与在区间上的图象有两个公共点，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】问题转化为在区间上的图象有两个解, 令,研究在上的性质即可. 【详解】问题转化为在区间上的图象有两个解, 即, 令, , 当时，单调递减； 当时，单调递增； ，又， 因为直线 与 在区间上有两个公共点， 所以， 故答案为：. 14. 已知在一正方体ABCD-OPQR 中，其顶点A 位于一个平面之内，且其余顶点位于该平面同一侧，已知点O，点C，点B到该平面的距离的平方分别为9，4，1，则该正方体ABCD-OPQR的体积为____. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长与顶点坐标，利用点到平面的距离公式，结合已知距离平方列方程，解方程得出棱长，从而计算正方体体积. 【详解】设正方体棱长为 ，以 为原点， 分别以，，所在直线 轴，轴， 轴建立空间直角坐标系， 各顶点坐标为：，，，， 已知平面过 ，设平面的单位法向量为，满足， 由于其余顶点都在平面同侧，任意点到平面的距离为， 距离的平方为，根据题意：到平面距离平方为 ： ，记，得， 到平面距离平方为： ，记，得， 到平面距离平方为 ： ，记，得， 由，两边乘得：， 由于所有顶点都在平面同侧，， 因此：，，得，， 所以：，即， 所以正方体体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，且． （1）求与的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据组合数的性质可得，即可利用赋值法求解， （2）利用赋值法即可求解. 【小问1详解】 根据可得， 令，则 【小问2详解】 令，则 令，则， 相加可得 16. 如图，和都垂直于平面，且 ，，是的中点． （1）证明： 平面； （2）若四棱锥 的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】（1）取的中点，连接， ， ，分别是和的中点， 与 平行且xd； 和都垂直于平面，且 ， 与 平行且相等， 与平行且相等，四边形 为平行四边形， ， 又 平面， 平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接， ，证明 为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求出； （2）法一：先根据体积求出点到平面 的距离，再建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式即可求出最大值； 法二：先根据体积求出点到平面 的距离，延长和交于点，过作 于，找到 为平面与平面的夹角，再根据三角形面积相等得 ，同时结合 即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设到平面 的距离为， 则 ，故． 法一：由于垂直于平面，建立如图空间直角坐标系 ， ，， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， 设平面的法向量为 ，则由得 取 ，得 ， ，因此平面的一个法向量 ． 由于垂直于平面，因此 是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 法二：延长和交于点，过作 于， 平面， ，又 , ，且两直线在平面内， 平面 ， ， 为平面与平面的夹角， 由 ，得 ， 而 ，所以 ，当且仅当 时等号成立； ，， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 17. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排 五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 【答案】（1）504 （2）360 （3）1140种 【解析】 【分析】（1）利用间接法计算可得； （2）首先确定甲和乙的不同课程、相同的课程，最后再确定丙的课程，按照分步乘法计数原理计算可得； （3）分只任教1科和任教2科两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得. 【小问1详解】 依题得，共有种； 【小问2详解】 第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. 【小问3详解】 ①当只任教1科时：先排任教科目，有种； 再从剩下5科中排的任教科目，有种； 接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种； 所以当只任教1科时，共有种； ②当任教2科时：先选任教的2科有种， 这样6科分为4组共有种， 所以当任教2科时，共有种， 综上课程安排方案有1140种. 18. 已知函数，． （1）求函数的极小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】（1）极小值为 （2）当时，在 上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在上单调递增，在 ，上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和极值； （2）求导，分类讨论两根大小，结合导数的符号分析函数的单调性； （3）分析可得，令，，分类讨论的符号，结合恒（能）成立问题分析求解. 【小问1详解】 因为的定义域为，且， 当时， ；当时，； 可知在上单调递增，在单调递减， 所以的极小值为 ． 【小问2详解】 因为的定义域为，且， 令 ，解得或， 当，即时，则， 可知在 上单调递减； 当，即时，令，解得；令，解得或； 可知在上单调递增，在，上单调递减； 当，即时，令，解得；令，解得或 ； 可知在上单调递增，在 ，上单调递减； 综上所述：当时，在 上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在上单调递增，在 ，上单调递减. 【小问3详解】 因为，即，可得， 令，， ①当时，若，则，不合题意； 若，方程满足， 且，可知方程有一正一负两个实根， 取其正根为，则，不合题意； 综上所述：当时，不存在实数a，使得 恒成立； ②当 时，不妨取，则， 记，则， 令，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即 ， 可知 在单调递减，则， 即对，都存在，使得在恒成立， 综上所述：实数b的取值范围为． 19. 在空间直角坐标系Oxyz中，这点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）已知直线的方程为，直线的方程为．请分别写出直线和直线的一个方向向量． （2）若直线与都在平面内，求平面的方程； （3）若集合中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）的一个方向向量；的一个方向向量（答案不唯一，符合题意即可） （2） （3）的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为 【解析】 【分析】（1）根据题意即可得直线的方向向量； （2）由直线方程可得两直线经过的点及方向向量，利用两方向向量求得平面的法向量，结合点与法向量可得平面方程； （3）由集合可知各面所在平面的方程，利用各面与坐标轴的交点坐标作出图形，结合几何体的对称性求解体积；利用向量夹角求解面面角可得. 【小问1详解】 因为直线的方程为，即，可知直线的一个方向向量； 直线的方程为，即，可知直线的一个方向向量. 【小问2详解】 由题意可知：直线过点，且其一个方向向量为， 直线过点，且其一个方向向量为， 则为平面内一点. 设平面的法向量为，则， 令 ，则，可得， 所以平面的方程为，即. 【小问3详解】 由集合可知， 多面体与坐标轴交于各点，，如图所示， 可知四边形为正方形， 边长， 所以，正方形的面积为， 而正四棱锥的高为， 则， 所以多面体的体积为. 由集合中所有的点构成了多面体的各个面， 点均满足方程. 可知平面的方程为，且该平面的一个法向量为， 同理可知，平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， 所以. 由对称性可知，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为. 故多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为. 综上，的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学2025-2026学年度第二学期期中测试 高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.所有答案均写在答题纸上. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于平面 的对称点为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则等于（ ） A. 0 B. C. 2 D. 1 3. 若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（ ） A. 24种 B. 23种 C. 12种 D. 11种 4. 的展开式共（ ） A. 10项 B. 15项 C. 20项 D. 21项 5. 下列关于空间向量的命题中正确的是（   ） A. 已知两个向量，，则与的夹角为锐角 B. 已知过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为 C. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 已知，，则在上的投影向量坐标为 6. 已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. “江畔何人初见月，江月何年初照人.”是扬州诗人张若虚笔下的千古名句.现有收录了《春江花月夜》的6本不同诗集，语文老师要将他们全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（ ）种分配方案 A. 90 B. 120 C. 360 D. 540 8. 取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当时，得到如图所示棱长均相等的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的半径与棱长的比值的平方为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 如图，四棱柱为正方体，则（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的一个方向向量为 C. 平面的一个法向量为 D. 平面的一个法向量为 10. 下列有关排列数、组合数的等式中，，正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，为的导函数，满足且，则以下结论正确的是（ ） A. B. 过原点且与相切的直线方程为 C. 不等式的解集是 D. 若恰有两个整数解，则k的取值范围是 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，那么________； 13. 已知函数与在区间上的图象有两个公共点，则实数m的取值范围为_______． 14. 已知在一正方体ABCD-OPQR 中，其顶点A 位于一个平面之内，且其余顶点位于该平面同一侧，已知点O，点C，点B到该平面的距离的平方分别为9，4，1，则该正方体ABCD-OPQR的体积为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，且． （1）求与的值； （2）求的值． 16. 如图，和都垂直于平面，且 ，，是的中点． （1）证明： 平面； （2）若四棱锥 的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 17. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排 五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 18. 已知函数，． （1）求函数的极小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围． 19. 在空间直角坐标系Oxyz中，这点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）已知直线的方程为，直线的方程为．请分别写出直线和直线的一个方向向量． （2）若直线与都在平面内，求平面的方程； （3）若集合中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $