精品解析：北京市第八中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年度第二学期期中练习题 年级：初二 科目：数学 考生须知 1．本试卷共8页，共四道大题，28个小题，1-26题共100分，附加题共10分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写班级、姓名、学号． 3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效．4．考试结束，将试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（每题2分，共16分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项：=，被开方数含分母，不是最简二次根式， B选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， C选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式， D选项：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 2. 以下列各数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. ，2， C. 2，3，4 D. 1，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：对选项A，最长边为， ， 能构成直角三角形，符合题意； 对选项B，最长边为， ， 不能构成直角三角形，不符合题意； 对选项C，最长边为， ， 不能构成直角三角形，不符合题意； 对选项D，最长边为， ， 不能构成直角三角形，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算性质逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 4. 一个菱形的边长为，它的边长增加后，得到的新菱形的周长为，则与之间的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵菱形的四条边相等，原菱形边长为，新菱形边长增加， ∴新菱形的边长为， ∴新菱形周长，整理得． 5. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】因为，，所以可得到，根据平行四边形的性质对角相等，从而得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，清楚掌握其性质并能灵活运用是解题关键． 6. 如图，在中，，，为的中点，若，则点到的距离是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得且；再结合，确定线段的长即为点到的距离；最后在中，利用含角的直角三角形的性质设，则，再由勾股定理求出的长度，进而得到的长度． 【详解】解：如图，取的中点，连接． 是中点，是中点， 是的中位线． ，． ， ． ． 线段的长就是点到的距离． 在中，，设，则， 由勾股定理得：，即， 解得(舍去负解)， ， ，即点到的距离是． 7. 莴笋是一种营养价值极高的蔬菜．实践小组观察记录了莴笋的成长过程，下图表示莴笋苗的成长高度y（）与观察时间x（天）的函数图象，则莴笋成长的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用，一次函数解析式．由题意知，，，待定系数法求线段的解析式为，将代入，计算求解即可．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意知，，， 设线段的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴线段的解析式为， 将代入， ∴， ∴莴笋高度最高为， 故选：C． 8. 已知点，点，将直线沿水平方向向右平移4个单位，得到直线，若点，在直线上，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设直线的解析式为，将、两点坐标代入解析式联立方程组，两式相减消去含的项，求出；再依据直线向右平移的特点，得到平移后直线倾斜度保持不变，设出平移后的直线解析式；最后将、两点坐标代入平移后的函数关系式，把两个等式再次作差，消去参数与常数项，即可算出的值． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得：， 两式相减得，解得． ∵将直线沿水平方向向右平移4个单位，得到直线， ∴可设直线的解析式为． ∵点，在直线上， ∴， 两式相减，得． 二、填空题（每题2分，共18分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据二次根式的意义，得， 解得． 故答案为：． 10. 比较大小：_____4． 【答案】＞． 【解析】 【分析】将两个数进行变形，用根号表示，然后即可得出答案． 【详解】3＝＝，4＝， ∵＞， ∴3＞4． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握知识点是解题关键． 11. 如图，在▱ABCD中，再添加一个条件_____（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线） 【答案】AC=BD 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可． 【详解】添加的条件是AC=BD， 理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故答案为AC=BD 【点睛】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． 12. 是关于的一次函数，图象过第一、二、三象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、三象限，可得一次项系数为正，常数项为正，列出不等式组解答即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴的取值范围是． 13. 如图，矩形的边沿折痕折叠，使点落在边上的点处，已知，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠性质得到，在中先求出的长度，再设，利用勾股定理在中建立方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可知：， ∴，， 已知，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为． 14. 已知，则代数式的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】先将因式分解得，再将代入求值即可． 【详解】解：由题意得，， 当时，． 15. 如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点．若，，则的长是____． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，，进而可得，然后利用三线合一即可得出，由是的中点可得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，， ，为中点， ，， ， 又是的中点， ，， ， 由勾股定理可得： ， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三线合一，线段中点的有关计算，垂线的性质，勾股定理等知识点，添加适当辅助线构造等腰三角形是解题的关键． 16. 如图，菱形，，，是上动点，是中点，，分别是，中点，则菱形的面积为________，最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用菱形的性质和面积公式，由边长与夹角直接计算面积．取中点，利用三角形中位线证明，再利用平行四边形的判定证明，从而得到，，三点共线，说明点在线段上运动，最后由垂线段最短求出的最小值． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， ， 菱形的高， 面积． 取的中点，连接，， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 点在上， ． 四边形是菱形， ，， 是的中点，是的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，． ，，且是公共点， ，，三点共线， 点在线段上运动． ，都是定点， 是定点， 当时，取得最小值． ， 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，交于点Q，此时， ∴， ∵，， ∴， ∴，则，且四边形是矩形， ∴，， 是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ． 17. 在平面直角坐标系中，直线上的两点的横坐标和纵坐标的对应值如下表： 2 下列结论：①方程的解为；②若，则．③若对于任意，总有，则；④过点作，垂足为，则的最大值为．其中正确的结论有___________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与方程的关系、求一次函数解析式、一次函数与不等式的关系、两点间距离公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由表格结合直线的表达式即可判断①；先用a表示出m、n，然后判断的正负即可；③根据一次函数解析式判断③即可；先求得直线L过定点，然后根据两点之间垂线段最短以及两点间距离求解即可判定④． 【详解】解：由表格以及函数解析式可得：当时，，所以方程的解为，故①正确； 由题意可得：，解得：， ∵， ∴，不一定大于零， ∴不一定成立，即②错误； 若对于任意，总有，即的图象始终在的图象上方， ∴这两条直线平行， ∴， ∴，解得：， ∴，即③正确； ∵， ∴两式相加可得：， ∴，， ∴， 令，解得：， ∴直线l过定点， 根据垂线段最短，的最大值为原点O到定点的距离，即 ， ∴的最大值为． 三、解答题（18题12分，19-20题每题6分，21-26题每题7分，共66分） 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明； 证明：，， 　　　　． 在中，， 即， 四边形为平行四边形　　（填推理的依据）， ， 四边形为菱形　　（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2），，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）作图见解答过程； （2），，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形． 【小问1详解】 四边形为所求作的菱形． 【小问2详解】 ，， ， 在中，． 即． 四边形为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）． ， 四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：，，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 20. 如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，，的中点，连接，，，得到四边形． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据中位线的性质可得，，，，再结合平行四边形的判定和性质即可求证． 【详解】证明：分别是，，，的中点， 为的中位线，为的中位线． ，，，． ． 四边形是平行四边形， ． ． 四边形是平行四边形． 21. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格的中心标记为点按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点为其对角线交点： （1）在图中画一个两边长分别为和的矩形； （2）在图中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形的对角线相等； （3）在图中画一个正方形，使它的对角线与(1)中所画矩形的对角线相等． 【答案】（1） 如图，矩形即为所求； （2） 如图，平行四边形即为所求； （3） 如图，正方形即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点，矩形的性质即可得到结论； （2）根据（1）的结论，固定点，根据平行四边形的性质，作出点，顺次连接即可得到结论； （3）固定点，根据网格的特点，勾股定理正方形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，且 则正方形即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，矩形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线：交于点，直线与轴交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）点在轴上，过点作垂直于轴的直线，分别与直线，交于点，．若，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设直线为，首先求出点坐标，然后将点坐标代入，求得的值，即可获得直线的函数解析式； （2）首先求点的坐标，然后用表示出点和点的坐标，用表示出的长，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：过点， ， ， ， 设直线为， 直线经过原点，且与直线交于点， ， 直线为； 【小问2详解】 解：将代入，则， ， ， 点在轴上，过点作垂直于轴的直线，分别与直线交于点， 令，解得；令，解得， ，， ， ， ， 或． 23. 如图，菱形的对角线，交于点，于，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）14 【解析】 【分析】（1）先由、，证得四边形是平行四边形；再利用菱形对角线互相垂直的性质，得，根据矩形判定定理，证得四边形是矩形； （2）利用面积法，由，求得；再结合勾股定理，用完全平方公式求出，进而得矩形周长为． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：在菱形中，对角线，且，，边长， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴ 将，代入， 得 解得， 在中，， ∴， ∴， ∵、均为正数， ∴， 又∵，， ∴矩形的周长． 24. 在学习了函数相关的知识后，小明同学想要借助函数图象求解不等式． （1）他选择通过描点法画函数的图象． 自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 0 0 … 其中，________； 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象． 根据函数图象，直接写出不等式的解集为________； （2）若关于的函数的图象上到轴的距离等于1的点恰好有4个，则的取值范围为________； 【答案】（1）；图见解析；或 （2） 【解析】 【分析】（1）代入到求出的值，利用描点法画函数图象，根据函数图象即可求出不等式的解集； （2）由题意得，方程有2个解，方程也有2个解，结合函数图象列出关于的不等式即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ； 描点，画出函数图象如下： 根据函数图象，当或时，， 不等式的解集为或； 【小问2详解】 解：关于的函数的图象上到轴的距离等于1的点恰好有4个， ∴方程有2个解，方程也有2个解， 即方程和都有2个解， 由（1）中的函数图象可得， ， 解得． 25. 【活动一】 在生活中，我们经常可以看到用正方形瓷砖铺设的墙面和地面，如图1，在铺设时，都要求砖与砖之间严丝合缝，边与边相接，并且可以覆盖整个墙面或地面．从数学的角度看，这个过程就是用一些不重叠摆放的多边形通过边与边相接，把平面完全覆盖，通常这类问题叫作平面镶嵌（或用多边形镶嵌平面）问题． 下面让我们对一些多边形是否能够镶嵌平面进行探究： 【思考】 （1）小明认为，像贴瓷砖这个过程就是用一些边长相同的正方形进行平面镶嵌．他进一步思考：用一些边长相同的正三角形是否可以进行平面镶嵌呢，于是他剪裁了一些边长相同的正三角形纸板进行尝试，如图2所示，他发现，每个拼接点处各个角的和为________，这说明，只用正三角形可以进行平面镶嵌： （2）如果只能用一种正多边形进行平面镶嵌，除了正方形和正三角形之外，小明还可以用________（填写一个即可）来实现平面镶嵌； 【综合】 （3）小明想要进一步探究用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，如图3所示，他发现用边长相等的正三角形和正六边形可以完成平面镶嵌．你认为，除了这两种正多边形的组合，下列组合中，也能用来平面镶嵌的组合有________（填写所有正确结论的序号） ①正方形和正六边形 ②正方形和正八边形 ③正五边形和正三角形 ④正五边形和正十边形 【活动二】 （4）新年新气象，正值马年，家家户户都希望在家中增添一些与“马”有关的装饰，数学老师发现家中的地板瓷砖是由多个边长为1的正方形瓷砖镶嵌而成，他在一个的瓷砖范围内，通过切割得到了如图4所示的小马图案．现在，他想用3块等腰直角三角形、1块直角梯形和1块平行四边形的彩色琉璃砖，重新镶嵌到小马图案的空缺部分，请你通过观察，在图4的小马图案范围内画出合适的镶嵌方案并标注对应图案的序号． 【答案】（1） （2）正六边形（答案不唯一） （3）②④ （4）见解析 【解析】 【分析】（1）每个拼接点处各个角的和正好等于一个周角，即可求解； （2）只需要满足正多边形的内角能整除即可； （3）先求出每个正多边形的内角，然后根据拼接点处内角和为求解即可； （4）根据题意作图即可． 【小问1详解】 解：拼接点处各个角的和为； 【小问2详解】 解：除了正方形和正三角形之外，小明还可以用正六边形来实现平面镶嵌（答案不唯一）， ∵正六边形的每个内角为，， ∴3个正六边形即可实现平面镶嵌； 【小问3详解】 解：①正六边形每个内角为，正方形每个内角为， 设需要个正六边形，个正方形， 则， 整理得，，此方程无正整数解，故①不符合题意； ②正八边形每个内角为，正方形每个内角为， 设需要个正八边形，个正方形， 则， 整理得，， 符合题意的正整数解只有，故需要个正八边形，1个正方形，故②符合题意； ③正五边形每个内角为，正三角形每个内角为， 设需要个正五边形，个正三角形， 则， 整理得，，此方程无正整数解，故③不符合题意； ④正五边形每个内角为，正十边形每个内角为 设需要个正五边形，个正十边形， 则， 符合题意的正整数解只有，故需要个正五边形，1个正十边形，故④符合题意； 【小问4详解】 解：如图，即为所求． 26. 如图，已知正方形，对角线、交于点，点为线段上一点，过作的垂线，交于，连接，交于点． （1）在图1中完成补全图形； （2）求证：； （3）点、、分别为、、的中点，连接，求证：． 【答案】（1）图见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）利用正方形的性质，得、、，结合证得，通过证明，从而推出； （3）先利用线段中点性质，由N、H分别为、的中点，得、，推出；再取中点P，连接，利用三角形中位线定理得、，结合正方形性质得．再由M、P分别为、中点，得，结合（2）的全等结论，得．通过作垂线构造等腰直角三角形，结合勾股定理分别推导与的关系，证得，最终通过等量代换证得． 【小问1详解】 解：补全图形如下图， 【小问2详解】 证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ； 【小问3详解】 证明：如下图： ∵点H是的中点，点N是的中点， ∴，， ∴ ， 取的中点，连接，如下图： 在中，是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵M是中点，是中点， ∴ ， 由（2）得，， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点，如下图： 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵，且， ∴， 在中， ， 过点作，交的延长线于点，如下图： ∵四边形是正方形， ∴，即， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在中， ， 又∵， ∴ ∵线段长度为正， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题核心是通过三角形中点性质与中位线定理建立线段的倍数关系，结合正方形的角度性质构造等腰直角三角形，利用勾股定理完成线段长度的等量推导，其中小问2的全等结论是贯穿全题的关键桥梁． 四、附加题（27题4分，第28题6分，共10分） 27. 先观察下列不等式，再回答问题： ① ② ③ ④ （1）请按照上面各不等式反映的规律，直接写出用含（为自然数且）的式子表示的不等式：________； （2）已知，直接写出的整数部分________． （3）对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，直接写出的值为________． 【答案】（1） （2）2 （3）88 【解析】 【分析】（1）根据所给出的式子变形后可得出式子的规律，解答即可； （2）将第①②③个式子相加，得出，故可得结论； （3）根据所得规律可得，从而可得结论． 【小问1详解】 解：第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：； 所以，第个式子为：； 【小问2详解】 解：∵； ； ， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分2； 【小问3详解】 解：对于（1）中的规律： 左边：， 右边：， 所以， ； 当时， ∴当时， ∴， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，有两个图形和，为图形上一点，点到图形上任意一点的距离的最小值，称为点到图形的距离．若图形上任意一点到图形的距离中存在最大值，则称这个最大值为图形到图形的“距离”，记为． 例如：点，，，若图形为点和，图形为点和，则为线段的长度，即，为线段的长度，即． 特殊地，若，则称图形和图形之间存在“距离”，记为． （1）图形为线段， ①若图形为线段，则________，________． ②点，，图形为线段，直接写出的最小值，及当取得最小值时的值． （2）已知，，，，直线：，图形为正方形，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），记点，的横坐标分别为，．若图形和图形之间存在“距离”，直接写出的最小值，以及当取得最小值时的最小值． 【答案】（1）①，5；②， （2）的最小值为，当取得最小值时p的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，在线段上任意取一点，则线段上任意取一点P到线段的距离中的最大值为P到的距离为，当时，有最大值，此时即为图形M到图形N的“b距离”；在线段上任意取一点，点Q到线段的距离的最大值为点Q到点A的距离为，当时，有最大值，即为图形N到图形M的“b距离”； ②在线段上任意取一点P，设，图形N为线段，在线段上任意取一点Q，，要使取最小值，线段的两个端点，到线段的最大距离最小，分别列出点A到线段的最小距离，点B到线段的最小距离的不等式组，当点A、B到线段的最大距离相等时，联立方程即可求得t的值，从而得出最大距离； （2）通过构造辅助线，结合图象可得出，利用等腰直角三角形的性质，正方形的性质即可求得点P的横坐标． 【小问1详解】 解：①根据题意，在线段上任意取一点， ∵，，， ∴线段上任意取一点P到线段的距离中的最大值为P到的距离为， 当时，值最大为， ∴图形M到图形N的“b距离”，即； 根据题意，在线段上任意取一点，点Q到线段的距离的最大值为点Q到点A的距离为， 当时，值最大为， ∴图形N到图形M的“b距离”，即； ②根据题意，如图，在线段上任意取一点P，设， ∵，， ∴设， ∵，，图形N为线段，在线段上任意取一点Q， ∴， ∴线段上点到线段的最小距离为， ∵取最小值， ∴要使线段的两个端点，到线段的最大距离最小， ∴点A到线段的最小距离为； ∴； 点B到线段的最小距离为； ∴； 当点A、B到线段的最大距离相等时，，解得， 此时，最大距离为为最小值， ∴，此时． 【小问2详解】 解：如图，过点作于H，过点作于G，记直线分别交x轴，y轴于点F，L，连接， ∵，，，，图形M为正方形， ∴， ∴， 令，得；令，得， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴轴， ∴， ∵图形和图形N之间存在“B距离”，即， ∴，则， 当时，满足， ∴， 在中，， 过点P作轴交点T，过点H作交于点R， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点在直线上， 将代入得：， 即， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中练习题 年级：初二 科目：数学 考生须知 1．本试卷共8页，共四道大题，28个小题，1-26题共100分，附加题共10分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写班级、姓名、学号． 3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效．4．考试结束，将试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（每题2分，共16分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. ，2， C. 2，3，4 D. 1，， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个菱形的边长为，它的边长增加后，得到的新菱形的周长为，则与之间的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 6. 如图，在中，，，为的中点，若，则点到的距离是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 3 7. 莴笋是一种营养价值极高的蔬菜．实践小组观察记录了莴笋的成长过程，下图表示莴笋苗的成长高度y（）与观察时间x（天）的函数图象，则莴笋成长的最大高度是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，点，将直线沿水平方向向右平移4个单位，得到直线，若点，在直线上，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二、填空题（每题2分，共18分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 10. 比较大小：_____4． 11. 如图，在▱ABCD中，再添加一个条件_____（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线） 12. 是关于的一次函数，图象过第一、二、三象限，则的取值范围是______． 13. 如图，矩形的边沿折痕折叠，使点落在边上的点处，已知，，则的长为________． 14. 已知，则代数式的值为________． 15. 如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点．若，，则的长是____． 16. 如图，菱形，，，是上动点，是中点，，分别是，中点，则菱形的面积为________，最小值为________． 17. 在平面直角坐标系中，直线上的两点的横坐标和纵坐标的对应值如下表： 2 下列结论：①方程的解为；②若，则．③若对于任意，总有，则；④过点作，垂足为，则的最大值为．其中正确的结论有___________．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（18题12分，19-20题每题6分，21-26题每题7分，共66分） 18. 计算： （1）； （2）． 19. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明； 证明：，， 　　　　． 在中，， 即， 四边形为平行四边形　　（填推理的依据）， ， 四边形为菱形　　（填推理的依据）． 20. 如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，，的中点，连接，，，得到四边形． 求证：四边形是平行四边形． 21. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格的中心标记为点按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点为其对角线交点： （1）在图中画一个两边长分别为和的矩形； （2）在图中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形的对角线相等； （3）在图中画一个正方形，使它的对角线与(1)中所画矩形的对角线相等． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线：交于点，直线与轴交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）点在轴上，过点作垂直于轴的直线，分别与直线，交于点，．若，直接写出的值． 23. 如图，菱形的对角线，交于点，于，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 24. 在学习了函数相关的知识后，小明同学想要借助函数图象求解不等式． （1）他选择通过描点法画函数的图象． 自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 0 0 … 其中，________； 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象． 根据函数图象，直接写出不等式的解集为________； （2）若关于的函数的图象上到轴的距离等于1的点恰好有4个，则的取值范围为________； 25. 【活动一】 在生活中，我们经常可以看到用正方形瓷砖铺设的墙面和地面，如图1，在铺设时，都要求砖与砖之间严丝合缝，边与边相接，并且可以覆盖整个墙面或地面．从数学的角度看，这个过程就是用一些不重叠摆放的多边形通过边与边相接，把平面完全覆盖，通常这类问题叫作平面镶嵌（或用多边形镶嵌平面）问题． 下面让我们对一些多边形是否能够镶嵌平面进行探究： 【思考】 （1）小明认为，像贴瓷砖这个过程就是用一些边长相同的正方形进行平面镶嵌．他进一步思考：用一些边长相同的正三角形是否可以进行平面镶嵌呢，于是他剪裁了一些边长相同的正三角形纸板进行尝试，如图2所示，他发现，每个拼接点处各个角的和为________，这说明，只用正三角形可以进行平面镶嵌： （2）如果只能用一种正多边形进行平面镶嵌，除了正方形和正三角形之外，小明还可以用________（填写一个即可）来实现平面镶嵌； 【综合】 （3）小明想要进一步探究用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，如图3所示，他发现用边长相等的正三角形和正六边形可以完成平面镶嵌．你认为，除了这两种正多边形的组合，下列组合中，也能用来平面镶嵌的组合有________（填写所有正确结论的序号） ①正方形和正六边形 ②正方形和正八边形 ③正五边形和正三角形 ④正五边形和正十边形 【活动二】 （4）新年新气象，正值马年，家家户户都希望在家中增添一些与“马”有关的装饰，数学老师发现家中的地板瓷砖是由多个边长为1的正方形瓷砖镶嵌而成，他在一个的瓷砖范围内，通过切割得到了如图4所示的小马图案．现在，他想用3块等腰直角三角形、1块直角梯形和1块平行四边形的彩色琉璃砖，重新镶嵌到小马图案的空缺部分，请你通过观察，在图4的小马图案范围内画出合适的镶嵌方案并标注对应图案的序号． 26. 如图，已知正方形，对角线、交于点，点为线段上一点，过作的垂线，交于，连接，交于点． （1）在图1中完成补全图形； （2）求证：； （3）点、、分别为、、的中点，连接，求证：． 四、附加题（27题4分，第28题6分，共10分） 27. 先观察下列不等式，再回答问题： ① ② ③ ④ （1）请按照上面各不等式反映的规律，直接写出用含（为自然数且）的式子表示的不等式：________； （2）已知，直接写出的整数部分________． （3）对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，直接写出的值为________． 28. 在平面直角坐标系中，有两个图形和，为图形上一点，点到图形上任意一点的距离的最小值，称为点到图形的距离．若图形上任意一点到图形的距离中存在最大值，则称这个最大值为图形到图形的“距离”，记为． 例如：点，，，若图形为点和，图形为点和，则为线段的长度，即，为线段的长度，即． 特殊地，若，则称图形和图形之间存在“距离”，记为． （1）图形为线段， ①若图形为线段，则________，________． ②点，，图形为线段，直接写出的最小值，及当取得最小值时的值． （2）已知，，，，直线：，图形为正方形，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），记点，的横坐标分别为，．若图形和图形之间存在“距离”，直接写出的最小值，以及当取得最小值时的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $