二次函数综合问题（面积问题）专项练2026年中考数学一轮复习备考

二次函数综合问题（面积问题）专项练 1．如图，抛物线向右平移1个单位得到的抛物线，回答下列问题： (1)抛物线的解析式是 ，它的顶点坐标为 ，它的对称轴为直线 ． (2)阴影部分的面积 ． (3)若再将抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为 ，开口方向 ，顶点坐标为 ． 2．如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接，当时，求的值； (3)设以为顶点的四边形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 3．已知，抛物线交正半轴于点（A左B右），交轴正半轴于点，连接； (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为第一象限点右侧抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求与间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点为延长线上一点，连接交轴于点，连接，若，求点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴交于点和．点P、Q、M均在该抛物线上，横坐标分别为m、、． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)在该抛物线上P、Q两点之间的部分任取一点A，在Q、M两点之间的部分任取一点B（点A、B均不与端点重合），若点A的纵坐标总大于点B的纵坐标，则m的取值范围是_____； (3)过点P作垂直于直线于点C，过点M作垂直于直线于点D． ①当的面积是的面积的2倍时，求m的值； ②连接，当此抛物线在四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 5．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式． (2)过点作直线平行于轴，交抛物线于点，求四边形的面积． (3)是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图1，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，，点坐标，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在图1中，点是线段下方抛物线上一动点，连接交线段于点，设，当时，求的值； (3)如图2，在线段上方有一条动直线EF始终与线段平行，且与抛物线交于、两点，直线与交于点，的面积能否为，若能，直接写出点的坐标，若不能，请说明理由． 7．如图，抛物线与轴相交于、两点，点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 9．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方抛物线上的动点，连接和，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值． 10．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，，，设的面积为． ①求关于的函数表达式： ②求点到直线的距离的最大值，并求出此时点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点在轴上，且，动点在过三点的抛物线上． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在直线上方的抛物线上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一点，当时，求点的坐标； (3)若点是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC、PB，求面积的最大值及此时点的坐标； (4)若点是抛物线上一动点，且横坐标为，、为平面内任意两点，连接HM、QM，以HM、QM为边构造矩形HMQN．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而变化时，直接写出的取值范围． 13．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点在二次函数的图象上，为二次函数的图象的顶点． (1)求的面积； (2)点是轴上一动点，当和相似时，求点坐标． 15．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； (1)用配方法将二次函数化为的形式； (2)观察图象，当时，直接写出的取值范围； (3)点P为二次函数的图象第四象限的点，设点P的横坐标为m，当的面积最大时，求的最大面积，并写出此时点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数综合问题（面积问题）专项练2026年中考数学一轮复习备考》参考答案 1．(1)，， (2)2 (3)，向下， 【分析】（1）根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线的解析式，再根据的解析式求出顶点坐标即可； （2）根据阴影部分的面积等于底高，列式计算即可； （3）根据关于轴对称的点的坐标特征得到点关于轴对称的点的坐标为，由于抛物线沿轴翻折时开口方向改变，所以可利用顶点式得到抛物线的解析式． 【详解】（1）抛物线向右平移1个单位得到的抛物线， 抛物线的解析式是，顶点坐标为，对称轴是直线． （2）阴影部分的面积是：． （3）抛物线的顶点坐标为， 而点关于轴对称的点的坐标为， 所以抛物线的解析式为． ∴抛物线的解析式为，开口方向向下． 2．(1) (2) (3)①S关于t的函数解析式为；② 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，，过点P作于点E，利用解答即可； ②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．如图所示： ∴点P的纵坐标为4， ∴， ∴或， ∴， ∴． （3）解：①令，则， ∴或， ∴， ∴． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D，如图， 则，， ∴， ∴ ， 当点P在的下方时， 即，， 过点P作于点E，如图， 则， ∴ ． 综上，S关于t的函数解析式为； ②当时， ， ∵， ∴当时，S有最大值为16， ∴． 当时，， ∴． 画出函数的大致图象，如图： 由图象可知：当时，存在2个符合条件的点P． 3．(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入解析式可得，再由，可求出点C的坐标，即可求解； （2）作轴于K，连接，根据，即可求解； （3）先证明轴，可得，设，证明，可得，作于，可得，且，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：当时，且， ， ， ， ， ， ∴， 把代入得：， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图：作轴于K，连接， 根据题意得：，则，， ． （3）解：，， ， ∵， ， ， 轴， ， ， ， 设， ∵ ， ， ， ， ， 如图：作于， ， ， ∵， ∴， ∴，， ， ，即 ， ． 4．(1) (2) (3)①或；② 【分析】（）根据待定系数法即可求解； （）由（）可知抛物线解析式为，则对称轴为直线，设点，，由题意可知：当时，总有，要想保证，则，即点离对称轴更近，所以，然后解不等式即可； （）先求得，，，，根据的面积是的面积的倍，则，求的值即可； 当点与点关于对称轴对称时，，解得：，当点与点关于对称轴对称时，，解得：，然后分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由（）可知抛物线解析式为，则对称轴为直线， 设点，由题意可知：当时，总有， 如图， 要想保证，则，即点离对称轴更近， ∴， 解得：； （3）解：如图： 由题意可知：，，，， ∴，，，， ∵的面积是的面积的倍， ∴， 解得：，； 当点与点关于对称轴对称时，，解得：， 当点与点关于对称轴对称时，，解得：， 当时，则，， ∴重合，如图：此时四边形内部没有抛物线，不符合题意； 当时，点在四边形内部，如图所示：符合题意； 当时，点在四边形外部，如图所示：不符合题意； 当时，则，，，，如图：此时四边形内部没有抛物线，不符合题意； 当时，点在四边形内部，如图所示：不符合题意； 综上所述：当时，抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大． 5．(1) (2)12 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可求出二次函数的对称轴，根据直线平行于轴得到点B和点C关于对称轴对称，据此求出点C的坐标，再根据列式求解即可； （3）设出点P的坐标，分三种情况：为对角线，为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵直线平行于轴，交抛物线于点， ∴点B和点C关于对称轴对称， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 6．(1) (2) (3)能， 【分析】（1）根据待定系数，可得出点、、的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）设点的坐标为，由勾股定理得，得方程，求解出的值，得出点坐标，再求出直线、的表达式，通过函数表达式求交点坐标，得点的横坐标可为相对应点横坐标之差的比例，即可得出的值； （3）通过直线平行，可得令直线的表达式为，设，，由韦达定理得，，用、、表示出直线、的表达式，通过求其交点坐标，得出点横坐标固定不变，始终为，令点坐标为，根据割补法求出其面积表达式，列出方程，求解出的值即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵点坐标， ∴， ∵， ∴，， 故，， 将点，，代入， 得，解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：假设点的坐标为， ∵，， ∴， ，， ∵， ∴， 得方程， 化简得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为， 令直线的表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线的表达式为； 令直线的表达式为， 将点代入， 得，解得， 故直线的表达式为； 联合和， 得， 解得， 故点的横坐标为，纵坐标为， 分别过点、作轴于点，轴于点，如下图所示： ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：由（2）得直线的表达式为， 即对应， ∵， 故令直线的表达式为， 联立与， 得， 设，，由韦达定理得，， 设直线的表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线的表达式为； 设直线的表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线的表达式为； 联合和， 得，结合，， 求解出， ∴点横坐标固定不变，令点坐标为， 过点作轴交轴于点，如下图所示： ∴， 即， 解得， 故点的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、勾股定理、待定系数法求函数表达式、韦达定理等知识点，综合性和代数计算量偏大，难度较高． 7．(1) (2)当时，的面积最大 (3)或 【分析】（1）将，代入抛物线，即可解得、的值，即求得抛物线的函数表达式； （2）先求出点的坐标为，设点的坐标是，过点作交于点，表示出的面积，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，求得，再求出的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线的解析式为， 令，即， 解得，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是直线下方抛物线上的动点， ， 过点作于点，则， ， 的面积， 当时，的面积最大值为， 当时，； （3）解：， ， 如图，连接， 设的解析式为， 将、代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 令，即，解得， 点的坐标为， ，且， ， ， 设点， 点在线段上， ， 则， ， 分情况讨论： ①当时，有， ， 解得，满足， 则此时， 此时点的坐标为． ②当时，有， ， 解得，满足， 此时， 此时点的坐标为， 点的坐标为或． 【点睛】第三小问需要利用分类讨论的思想，优先证明，可将分类情况固定为两种，大大简化题目难度． 8．(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)当时，n有最小值 【分析】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式，即可得到顶点坐标； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点两点， ∴设， 又∵抛物线，即， 解得， 故抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）知抛物线解析式为， 则， 设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得， 解得 ∴， 当时，， ∴； 由同理可得，得到 综上，P点的坐标为或； （3）解：由题意得：， 仅存在一个点，使得， 抛物线与直线仅有一个交点， ， 整理得， ， ， ， 又，当时，随着的增大而减小， ∴时，n最小为． ∴当时，即当时，n有最小值． 9．(1) (2)；面积的最大值为4 【分析】考查二次函数解析式（交点式）、一次函数解析式、三角形面积最值（铅垂高法）；核心技巧是用铅垂高表示面积，转化为二次函数求最值；易错点是铅垂高计算时符号错误，或配方时符号出错． （1）利用交点式设抛物线，代入C点求 a；（2）作铅垂线，将面积拆分为两个小三角形面积之和，转化为二次函数求最大值． 【详解】（1）由题意得：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线解析式得，又． 设直线的解析式为，将、代入： ​ 将代入，得． 故直线的解析式为：． 过点P作轴交于点H， 设点，则点， 则， 则， 将代入面积公式： 即的面积的最大值为4，此时，则点 10．(1) (2)存在， (3)①；②点到直线的距离的最大值为， 【分析】（1）把代入，解关于、的二元一次方程组求出、的值即可； （2）连接，交对称轴于，根据菱形的性质得出，，根据（1）中解析式得出，对称轴为直线，可得，进而求出，即可得答案； （3）①过点作轴于，交于，先利用待定系数法求出直线解析式为，得出，，，利用三角形面积公式即可得出；②利用勾股定理求出，利用的面积求出，得出时，的最大值为，把代入即可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接，交对称轴于， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，，轴， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3）解：①如图，过点作轴于，交于， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴． ②如图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，即点到直线的距离的最大值为， 当时，， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、菱形的性质及二次函数的性质，合理作出辅助线是解题关键． 11．(1) (2)存在，点的坐标为，面积的最大值为8 【分析】（1）根据点的坐标为，即可求出，，再求出点，，利用待定系数法即可求出函数的解析式； （2）过点作轴，交于点，先求出的函数解析式为，然后设，则，即可得到，根据三角形的面积公式即可得出，根据二次函数的性质可得到当时，有最大值． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 设抛物线的函数解析式为， 将，，代入， 得 ，解得， ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：存在， 如图，过点作轴，交于点， 由，，易得直线的函数解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为8，此时， ∴点的坐标为，面积的最大值为8． 12．(1) (2) (3)， (4)或 【分析】（1）利用直线与坐标轴的交点解法，待定系数法依次解答即可； （2）根据平行可知点的纵坐标为，再代入抛物线解方程即可； （3）过点P作轴交直线于点D，结合抛物线，直线解析式，设，则，则， 计算，利用二次函数的最值解答即可． （4）当点H、M重合时，则，确定，①当点M在点H的下方时和②当点M在点H的上方时，两种情况解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴，， ∵B、C在上， ∴， 解得， ∴； （2）解：，， 点的纵坐标为， 令，即，整理得， 解得或， ； （3）解：过点P作轴交直线于点D， 设点，则， 则， ∴， ∵， ∴开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值为， ∴． （4）解：当点H、M重合时， 则， ∴ ①当点M在点H的下方时，如图 即， 由题意得：， 当点H、N达到对称轴两侧对称的位置时，则， 则当时，矩形内没有函数y的图象， 当时，矩形区域内的函数y随x的增大而减小， 即． ②当点M在点H的上方时，如图 即或， 当时，，即，则此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随x的增大而增大， 当，则此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象， 则， 综上，或． 13．(1) (2)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据二次函数解析式求出顶点P，利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点，进而求出，过点Q作x轴的垂线，交于点F，设，，可求，再根据，可得，解方程求出m的值，代入解析式求出点的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线过点、， ，解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：存在点Q，使得与的面积相等， ， 顶点， 当时，，则， 设直线的解析式为， 过点，， ，解得， 直线的解析式为， 当时，，则， ， 与的面积相等， ， 如图，过点Q作x轴的垂线，交于点F， 设，则， ， ， ，即， 或， 解得或2或或， ， 舍去， 当时，； 当时，； 当时，； 或或． 【点睛】注意用“铅垂法”求三角形的面积，Q、F两点之间的数值距离是两点纵坐标差的绝对值． 14．(1)的面积为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查二次函数，一次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标与相关线段的长度． （1）先利用待定系数法求出抛物线的表达式，随即可得到相关点的坐标，利用待定系数法求出直线BC所在的一次函数表达式，过点作垂直于轴，交于点，可得出点E的坐标，结合即可求出的面积； （2）先计算出的三条边长，设点坐标为，对可能的相似情况进行分类讨论，求出对应的即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， 将代入 ， 得，解得， 函数表达式为， ∴点、、， 令直线表达式为， 由、， 得，解得， ∴直线表达式为， 过点作垂直于轴，交于点，如下图所示： 当时，， ∴， ∴， ∴， 故的面积为． （2）解：， ， ， 设点坐标为，根据题意，可判断出有可能的相似情况有如下三种： 当时， 有，即， 由，解得， 由，解得或， 故该情况下； 当时， 有，即， 由，解得，该方程无解， 则不存在该情况； 当时， 有，即， 由，解得， 由，解得或， 故该情况下； 综上，点的坐标为或． 15．(1) (2) (3),此时 【分析】（1）加减一次项系数一半的平方，配方解答即可； （2）根据抛物线的对称轴，开口方向，确定时，二次函数的最大值与最小值，再确定范围即可． （3）过点P作轴于点F，交直线于点Q，设直线的解析式为， 设，则， 则，表示三角形的面积，建立方程解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，当时，函数有最小值， 且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴在这个范围内， ∴二次函数的最小值为， ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为， 故的取值范围为． （3）解：由得， 解方程得，得， 点是抛物线上的一动点，且在第四象限，点P的横坐标为m， 故 过点P作轴于点F，交直线于点Q， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为，此时． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $