二次函数综合问题（面积问题） 高频考点归纳 专项练 2026年中考数学一轮复习备考

二次函数综合问题（面积问题） 高频考点归纳 专项练 2026届初中数学中考一轮复习备考 1.已知，抛物线L:y=ax2+bx+2(a≠0过A-4,0和点(2，-3)，与x轴的另一交点为B, 与y轴交于点C. VA (1)求抛物线L的解析式： (②)抛物线L关于原点对称的抛物线为L',点A的对称点为A,在L'上存在点P,且点P在 的上方，满足S4P一Sc,求点P的坐标 2.已知，如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于 点C,其中A点坐标(-1,0)，点C坐标为0,5)，另外抛物线过点(1,8)，M为它的顶点. M (1)求抛物线的解析式： (②)求△AMB的面积S。AMB· 3.如图，直线y=2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=a(x-h)的顶点为A,且 经过点B. A (1)求抛物线对应的函数解析式. (②)若点P(,5)在该抛物线上，求t的值 (③)请在第二象限中的抛物线上找一点C,使ABC的面积等于△AB0面积的2倍. 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6（a、b为常数，a≠0)与x轴交于 A-2,0)、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C,连接BC,∠CBA=45°. D B 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，当点F为抛物线顶点时，过点F作FE⊥x轴，垂足为点E,交BC于点D,连接 CF,求CDF的面积； (3)如图2，连接AC,点E是线段OB上（不与点O、B重合）的点，过点E作EF⊥x轴， 交抛物线于点F,交BC于点D,点P是线段DE上一动点，过P作PQ⊥y轴，垂足为Q, 点G为线段AC的中点，连接BP、GQ.当线段DF的长度取得最大值时，求BP+PQ+GQ 的最小值. 5.已知：抛物线y=-x2+bx+c交y轴于点C(0,3),交x轴于点A,B,(点A在点B的左 侧)，其对称轴为x=1,顶点为D x=1 D ()求抛物线的解析式及A,B两点的坐标； (2)若OP经过A,B,C三点，求圆心P的坐标； (3)求aBDC的面积S△DcB;并探究抛物线上是否存在点M,使S△McB=SADC&,若存在，求出 M点的坐标，若不存在，说明理由 6.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0、B两点、与y轴交于点C(0,-3),这条 抛物线的顶点为M. (1)求这条抛物线的解析式： (2)P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为0，若点P在线段BM上运动（点P不 与点B、M重合)，设OQ的长为t,四边形PQAC的面积为S.求S与t之间的函数关系式及 自变量的取值范围； (3)在线段BM上是否存在点N,使aNMC为等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若 不存在，请说明理由 7.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A-1,0),B(3,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (②)点D为抛物线的顶点，求△BCD的面积； (3)抛物线上是否存在点P,使△BCP是以BC为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若 不存在说明理由： (④)在第一象限的抛物线上是否存在点N,使点N到BC的距离最大，若存在，求出点N的 坐标；若不存在，说明理由 8.如图1，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于A(-3,0)、B(1,0)两点，与y轴 相交于点C. B 图1 图2 (1)求该二次函数的表达式： (2)点D是二次函数图象上位于第三象限内的点. ①如图2，当点D是抛物线的顶点时，连接AD、CD,求△ADC的面积； ②当点D到直线AC的距离最大时，求此时点D的坐标 9.定义：P(x,y)与Q(y,x)为“对偶点”，对于函数y=f(x,若至少有一组对偶点在其图 象上，且x≠y,则称该函数为“湖湘对偶函数”， (1)判断函数y=2x+1是不是“湖湘对偶函数”，若是，求出一组“对偶点”； (2)若二次函数y=x2+mx+n是“湖湘对偶函数”，且有唯一“对偶点”，求m,n的关系式（请 用含m的式子表示n): (3)己知二次函数y=-x2+4x+k的图象与x轴交于A,B两点(A在B左侧)，与y轴交于C ,且点H(9,2)的“对偶点”在函数图像上，点P是函数图像上一动点，当△PAB的面积是 ABC面积的2倍时，求点P的坐标 10.如图，己知抛物线与x轴交于点A-2,0)、点B(4,0),与y轴交于点C(0,-4),P是第 四象限内抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴，交BC于点E,连接OP、OE. B (1)求该抛物线的函数关系式： (2)求△ODE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)连接AC,当点P运动到何位置时，△ODP与△AOC相似？ (4)是否存在点P,使得线段OP与线段BC互相垂直平分？若存在，请求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由。 11.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A、C(C在A的左侧)，与y轴交于点B 图1 图2 (1)若A3,0),B(0,-3,C(-1,0. ①直接写出抛物线解析式：-； ②若D点与C点关于y轴对称，在直线AB上是否存在点M使ABC与△ADM相似，若存 在，求出点M的坐标； (2)如图2，点P和点Q在抛物线y=ax2+bx+c上，其中P在点C左侧抛物线上，Q点在y 轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F,直线PC交y轴于点H,设直线PQ解析式为 y=+4,当S。=28,吧，试证明2为一个定值，并求出定值. 12.如图，抛物线y=ax2+bx-2a>0)经过点A-1,0)和B(3,4),点M(xoyo)是线段AB 上的动点（不包含端点），过点M作MN⊥x轴，交抛物线于点N. (1)求抛物线的表达式： (②)求△ABN面积的最大值； (3)设P为抛物线的顶点，在坐标系内存在点D,使得以A,B,P,D为顶点的四边形是平行 四边形，则满足条件的点D一共有多少个？请任意求出其中一个点D的坐标 13.如图，抛物线y=ax2-2x+c与x轴相交于A、B两点，与x轴相交于点A-1,0),与y 轴相交于点C(0,-3. 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，若点D是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，△BCD的面 积最大？求出此时点D的坐标； (3)如图2，点E是抛物线的顶点，直线CE交x轴于点F,若点G是线段EF上的一个动点， 是否存在以点O,F,G为顶点的三角形与ABC相似.若存在，请直接写出点G的坐标： 若不存在，请说明理由. 14.如图，已知二次函数y=- +hx+c其中6，c为常数)的图象经点A6,2,恩 C(O,8),顶点为点M,过点A作AB∥x轴，交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连 接BC. B D 备用图 (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标。 (2)若点E是直线AC上方的抛物线上的动点，求四边形AECB面积的最大值， (③)点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PE,记点M关于直线PE的对称点 为Q.当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标. l5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0)的顶点为D 59 24且与 x轴交于点A-4,0),点B,与y轴交于点C B 备用图 (①)求该抛物线的解析式： (2)若点P为x轴下方抛物线上的一点，且点P在对称轴右侧，连接AC,BC,PA,PC.点 E为抛物线对称轴上的动点，点F是y轴上的动点.当△PAC与ABC的面积之差取得最大 值时，求P点的坐标以及PE+EF+AF的最小值； (3)将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)沿着射线AC方向平移，得到新的抛物线y,且新抛物线 经过点C,并与直线AC的另一个交点为点N,在新抛物线y上是否存在点T,满足 ∠TNC=∠OAC-LBCO,请直接写出所有符合条件的点T的坐标；并写出求解点T的坐标 的其中一种情况的过程. 参考答案 28 16a-4b+2=0 (1)将点A-4,0)和(2，-3)代入抛物线y=ax2+bx+2,得到方程组 (4如+2b+2=-3'解得 6=子耳可有到越物线的解折式。 a=- (2)先求得C(0,2)、B1,0),计算得S4Bc=5;由中心对称进行求解得 y=-多-2：准摇8m 5得yp 2 乙=，代入中，进行求解即可 (1)解：将A-4,0)和(2，-3)代入y=axr2+bx+2中， 16a-4b+2=0 得： 4a+2b+2=-3' 1 解得 a=2 3’ b2 123 y=2-2+2: (2)解：由1)得L:y=-x2-3x 22 t+2, 令x=0,得y=2, .C0,2）, 令y=0得，-7x2-3 2X+2=0 2 x2+3x-4=0 解得x=-4,2=1, B1,0), AB=5, Sc=,AB0C=。×5×2=5, 2 由题意得，L关于原点对称的抛物线为L',A的对称点为， 设B的对称点为B,C的对称点为C, A'4,0,B'-1,0,C'(0,-2), .设L'抛物线的解析式为y=ax2+bx-2, a×42+4b-2=0 将A'(4,0)和B'(-1,0代入得， a×(-1)2+(-1b-2=0 1 a= 2 解得 b、3 2 2, 3 L':y= 点P在上设--小 :SAMP=2 5 25 ×5= 2 -9 21 分84以上 宫。 :点P在x轴上方， p>0 8 4x2-12x-41=0 解得x=3+5V2 ,3=55 2 2 P O八B 【点晴】本题以抛物线为载体，结合待定系数法、中心对称变换与面积计算，将函数解析式