第三章 函数 第7节 二次函数与面积问题 同步练习题 2026年中考数学一轮复习

第三章 函数 第7节 二次函数与面积问题 同步练习题 2026年中考数学一轮复习 【例题精炼】 1．如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 2．二次函数的图像经过点，顶点为P． (1)________； (2)当时， ①若顶点P到x轴的距离为10，则________； ②直线m过点且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h，随着b的增大，h的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由； (3)若二次函数图像交x轴于B，C两点，点B坐标为，且的面积不小于20，求a的取值范围． 3．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点C的坐标为． (1)求二次函数的解析式． (2)判断的形状，并说明理由． (3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）； 5．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； 6．如图，抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于点，点P在抛物线上，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点． （1）求直线DE和抛物线的表达式； （2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标； 8．已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标； (3)在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【A组基础达标】 1．已知二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标； 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，求面积的最大值； 3．如图，抛物线与直线相交于，两点，与x轴相交于另一点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E． ①当时，求P点坐标； ②是否存在点P使的面积等于面积的？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式． (2)过点作直线平行于轴，交抛物线于点，求四边形的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点F为抛物线顶点时，过点F作轴，垂足为点E，交于点D，连接，求的面积； 6．如图，已知抛物线经过点，，其中、为抛物线上的两个动点． (1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； (2)若是抛物线上的一点，当且最大时，求点的坐标； (3)若轴，点到的距离大于个单位长度，求的取值范围． 7．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 8．如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 9．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，连接． (1)求b，c的值； (2)连接，过点O作交于D，记的面积分别为，求的值； (3)过点A作的垂线交抛物线于点P，求线段的长． 10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第7节 二次函数与面积问题 同步练习题 2026年中考数学一轮复习 【例题精炼】 1．如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】(1)三边长分别为 (2)三边长分别为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 2．二次函数的图像经过点，顶点为P． (1)________； (2)当时， ①若顶点P到x轴的距离为10，则________； ②直线m过点且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h，随着b的增大，h的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由； (3)若二次函数图像交x轴于B，C两点，点B坐标为，且的面积不小于20，求a的取值范围． 【答案】(1)8 (2)①或；②当或时，h随b增大而增大；当或时，h随b的增大而减小，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键： （1）把点代入函数解析式进行求解即可； （2）①根据顶点坐标公式，以及顶点P到x轴的距离为10，列出方程，进行求解即可；②根据题意得到，分和，两种情况进行讨论即可； （3）根据，得到，设抛物线的对称轴与x轴交点为E，则，进而得到，把和代入，求出之间的关系，代入不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得； 故答案为：8； （2）的顶点P的坐标为， ①当时，， ∵P到x轴距离为10， ∴， ∴， ∴或（舍去） ∴或． 故答案为：或； ②∵， ∴P到直线m距离为． 当时，即时，， ∴当时h随b的增大而增大，时h随b的增大而减小； 当时，即或时，， ∴当时h随b的增大而减小，时h随b增大而增大； ∴综上所述，当或时，h随b增大而增大；当或时，h随b的增大而减小； （3）由题意知：， ∴． 如图，设抛物线的对称轴与x轴交点为E，则， ∴， 把和代入，得． ∴， ∴， 解得或或． 3．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点C的坐标为． (1)求二次函数的解析式． (2)判断的形状，并说明理由． (3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)存在，点P的坐标是， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，勾股定理的逆定理等知识． （1）设二次函数解析式为，将顶点代入解析式得y＝，再将代入求解即可； （2）过点C作轴于点D，过点A作于点E，，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题； （3）设点P的坐标为，过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，求出直线的解析式为，得点Q的坐标为，得，得，，进而解决问题． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 将顶点代入解析式得， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 抛物线与y轴的交点， 当时，， ∴， 如图1，过点C作轴于点D， ∴， 过点A作于点E， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：存在，理由如下： ， 设点P的坐标为， 过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q， 设直线的解析式为，将代入得， ， 解得： ∴直线的解析式为， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵轴， ∴， 在中， ∵ ∴ ∴， 解得，， 当时， ∴， 当时，， ∴， ∴所有符合条件的点P的坐标是，． 4．如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）； 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求解得出结果； （2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，邻求得的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果； 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，    ∵， ∴， ∴，， 由得，， ∴， ∴； 5．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于F，交于E，根据点D和点E坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴设抛物线的表达式：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：如图1， 作于F，交于E， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴； 6．如图，抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于点，点P在抛物线上，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将将、两点代入即可求解； （2）设点，由，可得即可求解； 【详解】（1）解：将、两点代入得， ，解得： ∴抛物线的解析式为： （2）由可得， 设点 则 ∵， ∴ ∴ 解得：（舍去） ∴ 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点． （1）求直线DE和抛物线的表达式； （2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标； 【答案】（1）y＝x﹣1，y＝x2+x+2；（2）P（2，3）或（，）；（3）N（，）． 【分析】（1）将点D、E的坐标代入函数表达式，即可求解； （2）S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO，即可求解； 【详解】（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：，解得： ，故抛物线的表达式为：y＝x2+x+2， 同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①； （2）如图1，连接BF，过点P作PH∥y轴交BF于点H， 将点FB代入一次函数表达式， 同理可得直线BF的表达式为：y＝+1， 设点P（x，），则点H（x，+1）， S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO＝2+2（）＝7， 解得：x＝2或， 故点P（2，3）或（，）； 8．已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标； (3)在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（1，2） (3)存在一点P（ ，），使得△ABP的面积最大 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式． （2）连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点．为求D点坐标，求出直线AB的解析式，然后令x=1求得y，即可求出D点坐标． （3）根据，求出△ABP的面积表达式．这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3）， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵， ∴对称轴为x=1． 令，解得x1=3，x2=－1，∴C（－1，0）． 如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点， 由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA≤AB，即最小值为AB的长． 设直线AB的解析式为y=kx+b， 由A（3，0）、B（0，3）可得： ，解得． ∴直线AB解析式为y=－x＋3． 当x=1时，y=2， ∴D点坐标为（1，2）． （3）解：存在．理由如下： 如图2，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点， 过点P作PN⊥x轴于点N， 则ON=x，PN=y，AN=OA－ON=3－x． ∵P（x，y）在抛物线上， ∴，代入上式得： ． ∴当x= 时，S△ABP取得最大值． 当x= 时，， ∴P（， ）． ∴在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大，P点的坐标为（ ，）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数好一次函数的图象和性质是解题的关键． 【A组基础达标】 1．已知二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标； 【答案】(1) (2)最大值为，此时 【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，求面积的最大值； 【答案】(1)； (2)面积的最大值为 (3)①H点的坐标为，Q点的坐标为；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可求出抛物线的解析式；令，求出，可得，，将代入，可得，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）过点P作轴交直线于点D，设点，则，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，解得， 抛物线的解析式为； 令，则， 解得， ，， 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，将B点坐标代入得，解得． 直线的解析式为． （2）解：如图1，过点P作轴交直线于点D， 设点，则， ． ． ， 抛物线的开口向下，函数有最大值， 当时，面积的最大值为． 3．如图，抛物线与直线相交于，两点，与x轴相交于另一点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E． ①当时，求P点坐标； ②是否存在点P使的面积等于面积的？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点P的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、动点问题和三角形面积的计算，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理将面积比转化为线段比，从而简化问题． （1）利用待定系数法将两点坐标代入抛物线方程求解即可； （2）①设出点坐标，表示出的长度，根据建立方程求解；②过点作交轴于点，过点作于交于点利用平行线分线段成比例定理，由面积关系得出与的比例关系，求出点坐标，再通过联立方程求出点坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， 抛物线过， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：①设，则， 在直线上，直线方程为， ， ， ， ， ， 或, ， ， ， ． ②存在，点P的坐标为．理由如下： 如图，过点作交轴于点，过点作于交于点． 令， 解得，， ， ,且与有公共底边， 的高的高， 即， ， ， ， ， 点坐标为， 即， ，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入上式，， 解得， 直线的解析式为， 与抛物线联立，得， 解得， 点的坐标为． 4．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式． (2)过点作直线平行于轴，交抛物线于点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)12 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可求出二次函数的对称轴，根据直线平行于轴得到点B和点C关于对称轴对称，据此求出点C的坐标，再根据列式求解即可； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵直线平行于轴，交抛物线于点， ∴点B和点C关于对称轴对称， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ； 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点F为抛物线顶点时，过点F作轴，垂足为点E，交于点D，连接，求的面积； 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据题意，利用等腰直角三角形的性质，得到，再利用待定系数法求解析式即可； （2）先利用待定系数法求出的解析式，再利用求面积； 【详解】（1）在中，当时，， ∴．在中，， ∴，即， 将分别代入中，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵， ∴， 设所在直线的函数表达式为， 将分别代入中， 得解得 ∴所在直线的函数表达式为， 当时，， ∴． ∴， ∴． 6．如图，已知抛物线经过点，，其中、为抛物线上的两个动点． (1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； (2)若是抛物线上的一点，当且最大时，求点的坐标； (3)若轴，点到的距离大于个单位长度，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将两点坐标代入，用待定系数法解方程组求出，得到解析式；抛物线 的顶点为； （2）过作轴于，交于，过作于，求出直线解析式，设点并表示出长度，将面积表示为关于的二次函数，利用二次函数的开口方向和对称轴得到坐标； （3）由点到的距离大于，得出所在直线的纵坐标，然后令抛物线解析式等于，解方程求出临界值，结合抛物线开口方向，确定的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：， 解得：， 则抛物线的解析式为， 顶点坐标为． （2）解：如图，过作轴于，交于，过作于，则， 设直线的解析式为，将，，代入， 可得， 解得， 则直线解析式为， 设为，为， 则， 可得， 由，抛物线开口向下，可知当时，S△ABC最大， 此时的坐标为． （3）解：∵当过顶点时，点到的距离为， ∴必在点的下方， 可得，即， 当时，解得或， 结合图象可知，的取值范围是或． 7．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 【答案】(1)； (2)当时，的值最大，最大值为； 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出直线的表达式为，由题知，则，则，所以，最后通过二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：把，，代入，得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像在直线上方的点， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为：， 由题知，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为； 8．如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点D坐标为 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，得出，确定，然后结合图形求面积即可； （3）设点D坐标为，则，证明得到，则，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将、代入中， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， 连接， ∴A、B、F三点构成的三角形的面积为：； （3）解：根据题意，设点D坐标为，则， ∵、， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，此时点D坐标为． 9．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，连接． (1)求b，c的值； (2)连接，过点O作交于D，记的面积分别为，求的值； (3)过点A作的垂线交抛物线于点P，求线段的长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质与判定，两点距离计算公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）求出，由平行线分线段成比例定理可得，则，进而推出，求出，进而得到，则； （3）设．过点P作轴于点H，则．证明是等腰直角三角形，得到．，则，解方程可得，则． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于两点， ∴， ∴； （2）解：如图（1）， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， 由（1）可得抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ； （3）解：由（1）可知抛物线的表达式为， 如图（2），设． 过点P作轴于点H，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴， 解得或（舍去） ∴， ∴． 10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将沿直线翻折，得到，则直线与第一象限内抛物线的交点即为P，根据，可得，从而得到，进而得到，再求出直线的解析式，即可求解； （3）过点P作轴，交于点E，求出直线的解析式为，再由，可得，从而得到，再由点M，N的横坐标分别为m，，可得，从而得到，再由二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，， ∴点，， 将点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）解：将沿直线翻折，得到，则直线与第一象限内抛物线的交点即为P． 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线， 联立， 解得，， ∴点； （3）解：过点P作轴，交于点E． 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵设，则， ∴， ∵点M，N的横坐标分别为m，， ∴， ∴， 当时，，解得或； 当时，，解得或． ∴当时，t的取值范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式理解坐标与图形性质是解题的关键． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $