精品解析：江西萍乡市2025-2026学年七年级下学期数学大单元·素养调研（二）

大单元·素养调研（二） 说明： 1．本卷范围：阶段评估卷（二）−−第一章～第三章． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 水中捞月 2. 某次乒乓球比赛中，某运动员跑到赛场边围挡处喝水，沿垂直于围挡的路走才能使所走的路程最少，这是因为（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 经过一点有无数条直线 3. 用如图所示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式是（　） A. B. C. D. 4. 下列在一个不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和4个黄球，每个球除颜色外其余都相同．从袋中随机摸一个球，摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 在比较和的大小时，老师给出了如下的方法： ， ， 因为，，所以． 请你仿照上面的方法比较和的大小关系为( ) A. B. C. D. 无法比较 6. 如图，，F为上一点，，且平分，于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④平分．其中正确的结论有（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的度数为__________． 8. 若，，则______． 9. 要使多项式不含x的一次项，则p的值为______． 10. 定义新运算：，那么______． 11. 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下表： 移植总数（n） 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 由此表可以估计该种幼树移植成活的概率为_____（结果精确到）． 12. 在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3 倍少40°，则∠A的度数为____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2） 14. 已知：如图，直线，被直线所截，与互补．求证：． 15. 如图，已知，，点在直线上，平分，求的度数． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 为迎接2024年“五·一”国际劳动节，某市总工会组织了以“中国梦，劳动美”为主题的演讲比赛．某校两位语文老师小张和小李都想参加比赛，但每校只有一个参赛名额．该校工会主席准备了如图所示的写有“社会主义核心价值观”的12张卡片，这些卡片的背面完全相同，将这些卡片背面朝上洗匀，随机从中摸出一张卡片，若摸到的卡片属于国家层面，则小张去；若摸到的卡片属于社会层面，则小李去．请你判断该校工会主席的做法对小张和小李是否公平，并说明理由． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 让书香浸润人生，让阅读成为习惯，某书店为了吸引更多阅读爱好者，特设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），并规定：顾客每购买100元的图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域（若指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止），那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购书券，凭购书券可以在书店继续购书． （1）甲顾客购书120元，可转动一次转盘，求他获得50元购书券的概率； （2）乙顾客购书360元，可获得________次转动转盘的机会，求任意转动一次转盘，获得购书券的概率． 19. 阅读下面材料，并回答问题． 如图1，与互余，且，若，请你补全图形，并求的度数． 以下是娜娜的解答过程： 解：如图2，因为与互余， 所以___________． 又，即， 所以， 解得___________． 由题意得， 所以___________． 静静说：“我认为娜娜考虑的不完整，应该还有一种情况．” 请完成下面两个问题： （1）请你将娜娜的解答过程补充完整； （2）根据静静的想法，请你在图3中补画出另一种情况，并直接写出此时的度数为___________． 20. 如图，长方形甲的面积为，它的长为，正方形乙的周长与长方形甲的周长相等． （1）求长方形甲的宽； （2）试探究长方形甲的面积与正方形乙的面积之间的数量关系． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：①__，__；②若，则______． （2）若，，，试说明下列等式成立的理由：． 22. 对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使得，则称A是完全平方式．例如：因为，，所以，是完全平方式． 请解决下列问题： （1）若是一个完全平方式，求k的值； （2）若x满足，求的值； （3）如图，在长方形中，，，点E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为32，求图中阴影部分的面积和． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大单元·素养调研（二） 说明： 1．本卷范围：阶段评估卷（二）−−第一章～第三章． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 水中捞月 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查必然事件，关键是理解必然事件就是一定会发生的事件．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可作出判断． 【详解】解：A、旭日东升是必然事件，正确； B、守株待兔是随机事件，不符合题意； C、大海捞针是随机事件，不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 2. 某次乒乓球比赛中，某运动员跑到赛场边围挡处喝水，沿垂直于围挡的路走才能使所走的路程最少，这是因为（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 经过一点有无数条直线 【答案】C 【解析】 【详解】解：围挡可看作一条直线，运动员的位置是直线外一点，是该点到直线的垂线段， 则路程最短是因为垂线段最短． 3. 用如图所示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式是（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用代数式表示整体长方形的面积，再用代数式表示4个组成部分的面积和即可． 【详解】解：整体是长为，宽为的长方形，因此面积为， 这个长方形是由个部分组成的，这个部分的面积和为， 所以有， 故选：C． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积和以及整体的面积是正确解答的前提． 4. 下列在一个不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和4个黄球，每个球除颜色外其余都相同．从袋中随机摸一个球，摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式，根据概率公式求解即可． 【详解】解：从袋中随机摸一个球共有种等可能结果，摸到红球有种， ∴摸到红球的概率是， 故选：A． 5. 在比较和的大小时，老师给出了如下的方法： ， ， 因为，，所以． 请你仿照上面的方法比较和的大小关系为( ) A. B. C. D. 无法比较 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂乘法运算，有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，准确计算． 【详解】解：， ∵ ∴， 故选：B． 6. 如图，，F为上一点，，且平分，于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④平分．其中正确的结论有（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据可得，从而可得，再根据可得，再根据代入计算，即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断③；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断②和④． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，则结论①正确； ∵， ∴， ∴，则结论③正确； ∵， ∴，， 但不一定等于，也不一定等于， 所以平分，平分都不一定正确，则结论②和④都错误； 综上，正确的是①③． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的度数为__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程、余角和补角，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 首先设这个角为，则其补角为，余角为，根据题意补角是余角的4倍，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角为， ∴补角的度数为，余角的度数为， ∴，解得：， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 8. 若，，则______． 【答案】23 【解析】 【分析】利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 9. 要使多项式不含x的一次项，则p的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据多项式不含x的一次项，即含x的一次项系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵多项式不含x的一次项， ∴， ∴， 故答案为：4． 10. 定义新运算：，那么______． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ． 11. 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下表： 移植总数（n） 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 由此表可以估计该种幼树移植成活的概率为_____（结果精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟练掌握用频率估计概率的条件和方法是解答的关键． 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴这种幼树移植成活率的概率约为， 故答案为：． 12. 在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3 倍少40°，则∠A的度数为____． 【答案】20°或125° 【解析】 【分析】根据平行线性质得出∠A+∠B=180°①，∠A=∠B②，再根据∠A=3∠B-40°，分两种情况分别求出两个角的度数即可． 【详解】解：∵∠A与∠B的两边分别平行， ∴∠A+∠B=180°①或∠A=∠B②， ∵∠A比∠B的3倍少40°， ∴∠A=3∠B-40°③， 把③代入①得：3∠B-40°+∠B=180°， 解得∠B=55°，∠A=125°； 把③代入②得：3∠B-40°=∠B， 解得∠B=20°，∠A=20°， 故答案为：20°或125°． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题时注意：如果一个角的两边分别和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是关键： （1）先计算同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先进行同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方运算，再合并同类项即可. 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 14. 已知：如图，直线，被直线所截，与互补．求证：． 【答案】 证明：如图， 与互补， ． ， ． ． 【解析】 【分析】此题考查平行线的判定，关键是根据同位角相等，两直线平行解答． 根据邻补角互补和同位角相等，两直线平行解答即可． 【详解】略 15. 如图，已知，，点在直线上，平分，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质．根据平行线的性质可求出，进而求出，根据角平分线的定义得到，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， 平分， ， ， ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 17. 为迎接2024年“五·一”国际劳动节，某市总工会组织了以“中国梦，劳动美”为主题的演讲比赛．某校两位语文老师小张和小李都想参加比赛，但每校只有一个参赛名额．该校工会主席准备了如图所示的写有“社会主义核心价值观”的12张卡片，这些卡片的背面完全相同，将这些卡片背面朝上洗匀，随机从中摸出一张卡片，若摸到的卡片属于国家层面，则小张去；若摸到的卡片属于社会层面，则小李去．请你判断该校工会主席的做法对小张和小李是否公平，并说明理由． 【答案】 解：该校工会主席的做法对小张和小李公平． 理由：从写有“社会主义核心价值观”的12张卡片中随机摸出一张卡片，共有12种结果，每种结果出现的可能性相同， 其中出现国家层面的结果有4种，分别是“富强”、“民主”、“文明”、“和谐”， 出现社会层面的结果有4种，分别是“自由”、“平等”、“公正”、“法治”． ，． 该校工会主席的做法对小张和小李公平． 【解析】 【分析】此题考查了概率的求法，根据题意分别求出摸到的卡片属于国家层面的概率和摸到的卡片属于社会层面的概率，然后比较求解即可． 【详解】略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 让书香浸润人生，让阅读成为习惯，某书店为了吸引更多阅读爱好者，特设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），并规定：顾客每购买100元的图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域（若指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止），那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购书券，凭购书券可以在书店继续购书． （1）甲顾客购书120元，可转动一次转盘，求他获得50元购书券的概率； （2）乙顾客购书360元，可获得________次转动转盘的机会，求任意转动一次转盘，获得购书券的概率． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．解决本题的关键是得到相应的概率． （1）用红色区域的份数除以总份数即可得出获得50元购书券的概率； （2）顾客每购买100元的图书，就可获得一次转动转盘的机会，故可得出购书360元，可获得3次转动转盘的机会，根据概率公式直接求解即可． 【小问1详解】 解：∵转盘平均分成12份，共有12种等可能的情况，其中红色占1份， ∴他获得50元购书券的概率是； 【小问2详解】 解：∵顾客每购买100元的图书，就可获得一次转动转盘的机会， ∴顾客购书360元，可获得3次转动转盘的机会， ∵转盘平均分成12份，共有12种等可能的情况，其中红色占1份，黄色占2份，绿色占3份， ∴任意转动一次转盘获得购书券的概率是． 19. 阅读下面材料，并回答问题． 如图1，与互余，且，若，请你补全图形，并求的度数． 以下是娜娜的解答过程： 解：如图2，因为与互余， 所以___________． 又，即， 所以， 解得___________． 由题意得， 所以___________． 静静说：“我认为娜娜考虑的不完整，应该还有一种情况．” 请完成下面两个问题： （1）请你将娜娜的解答过程补充完整； （2）根据静静的想法，请你在图3中补画出另一种情况，并直接写出此时的度数为___________． 【答案】（1） （2） 补画出图形如下如， 【解析】 【分析】（1）根据余角的定义，角的和差及娜娜的思路进行作答即可； （2）当在的内部时，也满足题意，据此作图；根据余角的定义，角的和差及娜娜的思路进行作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，因为与互余， 所以． 又，即， 所以， 解得． 由题意得， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角的定义，角的和差，能够运用分类讨论的思想是解题的关键． 20. 如图，长方形甲的面积为，它的长为，正方形乙的周长与长方形甲的周长相等． （1）求长方形甲的宽； （2）试探究长方形甲的面积与正方形乙的面积之间的数量关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用长方形面积公式求解即可； （2）先求出长方形甲的周长，再利用正方形的周长公式求出正方形的边长，进而求出正方形的面积，从而探讨和之间的数量关系． 【小问1详解】 解：长方形甲的面积为，它的长为， 长方形甲的宽为； 【小问2详解】 解：长方形甲的周长为，长方形甲和正方形乙的周长相等， 正方形乙的边长为， ， ， ， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：①__，__；②若，则______． （2）若，，，试说明下列等式成立的理由：． 【答案】（1）①3，5；② （2） 解：，，， ，，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据题目所给的新定义进行解答即可； （2）根据题意可得，，，则得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①， ， ， ， 故答案为：3，5； ②根据题意可得：， 解得：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是正确理解题目所给新定义，明确运算顺序和运算法则，熟练掌握有理数乘方的运算方法，以及同底数幂的运算法则． 22. 对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使得，则称A是完全平方式．例如：因为，，所以，是完全平方式． 请解决下列问题： （1）若是一个完全平方式，求k的值； （2）若x满足，求的值； （3）如图，在长方形中，，，点E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为32，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1）5或 （2）60 （3）80 【解析】 【分析】（1）利用完全平方式的特征进行求解即可； （2）利用完全平方式变形进行求解即可； （3）根据题意，先用代数式表述出长方形的面积，再利用进行计算即可． 【小问1详解】 解：是一个完全平方式， ， 或， 或； 【小问2详解】 解：，， ， ； 【小问3详解】 解：由题意可得，， 长方形的面积为32， ， ， ， 即 ． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】 （1）证明：如图（1）过作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： 如图（2）：过M作，过N作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）过作，则，由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答； （2）过M作，过N作，则，得到，，，由可得，计算得到； （3）作，，，由推出，即，由，推出，据此即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：． 作，，， ∵， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $