山西晋中市榆次第二中学等校2025-2026学年高三下学期4月联考数学试题

数学

时间120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数的虚部为（    ）

A.  B.  C. 5 D. 6

2. 若全集，集合，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

3. 一组从小到大排列的数据：.若它们的第60百分位数比平均数大2，则的值为（    ）

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

4. 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知点到点的距离为，则的最小值是（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

6. 已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 已知是定义在上的函数，，当时，，则（   ）

A.  B.  C. 1 D. 3

8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知函数，则（    ）

A. 函数的最小值为

B. 点是函数图象的一个对称中心

C. 函数在区间上单调递增

D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

10. 已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，则（   ）

A.  B. 椭圆的离心率为

C. 的最小值为 D. 面积的最大值为

11. 已知棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ）

A. 正方体的外接球半径为

B. 四点共面

C. 直线与所成角的余弦值为

D. 过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知向量与向量，满足，则________．

13. 已知抛物线（）的焦点为，点都在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点.若，则__________.

14. 将十进制整数转换为二进制整数采用除2取余，逆序排列法.步骤是：用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行下去，直到商小于1为止；最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来.例如，将十进制数5转化成二进制数：，即十进制数5转化成二进制数为101；十进制数13转化成二进制数：，即十进制数13转化成二进制数为1101.记为十进制中正整数的二进制表示中数字1的个数，例如，则__________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 袋中装有标有数字1到6的6个大小､形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球标号的最大数字.

（1）求随机变量的分布列及数学期望；

（2）已知取出的3个小球的标号和为偶数，求的概率.

16. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，其中.

（1）求公差及的值；

（2）设数列，数列的前项和为，求.

17. 已知函数，其中．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，对任意恒成立，求实数a的值．