山西晋中市榆次第二中学等校2025-2026学年高三下学期4月联考数学试题

数学 时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 5 D. 6 2. 若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 一组从小到大排列的数据：.若它们的第60百分位数比平均数大2，则的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 4. 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点到点的距离为，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知是定义在上的函数，，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小值为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 10. 已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，则（ ） A. B. 椭圆的离心率为 C. 的最小值为 D. 面积的最大值为 11. 已知棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 正方体的外接球半径为 B. 四点共面 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与向量，满足，则________． 13. 已知抛物线（）的焦点为，点都在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点.若，则__________. 14. 将十进制整数转换为二进制整数采用除2取余，逆序排列法.步骤是：用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行下去，直到商小于1为止；最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来.例如，将十进制数5转化成二进制数：，即十进制数5转化成二进制数为101；十进制数13转化成二进制数：，即十进制数13转化成二进制数为1101.记为十进制中正整数的二进制表示中数字1的个数，例如，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 袋中装有标有数字1到6的6个大小､形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球标号的最大数字. （1）求随机变量的分布列及数学期望； （2）已知取出的3个小球的标号和为偶数，求的概率. 16. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，其中. （1）求公差及的值； （2）设数列，数列的前项和为，求. 17. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，对任意恒成立，求实数a的值． 18. 如图1，AC为半径为2的圆O的直径，点D，B为圆O上的两点，且．．如图2，将圆O沿AC翻折，E为线段BD上的一点，连接OB，OD，OE，BD． （1）若，E为BD的中点，证明：； （2）若平面平面，求二面角的余弦值； （3）求翻折过程中，直线OD与平面ABC所成角的最大值． 19. 若，点，双曲线． （1）写出，的坐标； （2）证明：对任意，点在双曲线C上； （3）设直线与双曲线C的两条渐近线分别交于点，和点，记的面积为（O为坐标原点），求证：为定值．（参考公式：设三角形的三个顶点分别为，，，则三角形面积） 数学 时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】192 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） 3 4 5 6 . （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）1 【18题答案】 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接，． ，分别为，的中点， ，． 又是圆的直径，，． ，，． 又，，平面，平面． 平面，． （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）， （2）， ， ∴任意，点在双曲线上． （3）由（2）知 设直线的斜率为， 则直线的方程为，且． 又双曲线的渐近线为． 不妨令是直线与直线的交点， 是直线与直线的交点． 联立得． 联立得． ，， ． ，， ． 即的面积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $