10.3实际问题与二元一次方程组（第3课时）课件2025-2026学年人教版七年级数学下册

第十章 二元一次方程组 10.3 实际问题与二元一次方程组 （第3课时） 素养目标 经历分析复杂实际问题，并利用二元一次方程组解决问题的过程，学会梳理问题中的数量关系，找出相等关系，并依此设未知数、列方程组求解，得到实际问题的答案．增强应用意识，发展模型观念． 2 新知探究，分析已知 问题1：如图，丝路纺织厂与 A，B两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从A 地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往 B 地．已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为 4.25万元/t，公路运价为 0.5元/(t·km)，铁路运价为 0.2 元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费 5200元，铁路运费 16640 元．那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？ 纺织面料的出厂价：4.25万元/t 公路0.5元/(t·km) 公路0.5元/(t·km) 铁路的运价0.2 元/(t·km) 铁路的运价0.2 元/(t·km) 追问1：哪些是已知数？ 已知数： 长绒棉的进价：3.08万元/t 公路的运费：5200 铁路的运费：16640 3 新知探究，设未知数 公路0.5元/（ t·km） 公路0.5元/（ t·km） 铁路的运价0.2 元/（ t·km） 铁路的运价0.2 元/（ t·km） 追问2：问题最终求什么，怎么设未知数？ 销售额－（原料费＋运输费） 销售额＝纺织面料的出厂价×纺织面料数量 原料费＝长绒棉的进价×长绒棉数量 =销售额－（原料费＋21840） 长绒棉 x t 设：纺织厂购进 x t 长绒棉，制成 y t 纺织面料. 纺织面料 y t. 纺织面料 y t. 长绒棉 x t ？ ？ = 4.25 ×纺织面料数量 = 3.08 ×长绒棉数量 4 新知探究，列方程组 公路0.5元//(t·km) 公路0.5元//(t·km) 铁路的运价0.2 元//(t·km) 铁路的运价0.2 元//(t·km) 追问3：等量关系是什么？怎么列方程？ 长绒棉 x t 每部分运费＝运价×里程数×数量. 纺织面料 y t. 纺织面料 y t. 长绒棉 x t 公路运费 5200元 铁路运费 16640元 0.5 ×10x + 0.5 ×20y=5200 0.2×120x + 0.2 ×110y=16640 5 新知探究，解方程组 0.5 ×10x + 0.5 ×20y=5200 0.2×120x + 0.2 ×110y=16640 解这个方程组，得 x=400 y=320 追问3：怎么解这个方程组？ 解：方程组整理得 x + 2y=1040 12x + 11y=8320 ① ② 把③代入②，得 x =1040－2y ③ 12(1040－2y)+11y=8320 y = 320 解：由①，得 把y = 320代入③，得 x = 400 新知探究，规范步骤 解：设纺织厂购进 x t 长绒棉，制成 y t 纺织面料. 0.5 ×10x + 0.5 ×20y=5200 0.2×120x + 0.2 ×110y=16640 解这个方程组，得 x=400 y=320 销售额＝ 4.25 ×320 原料费＝3.08 ×400 ＝ 1360 万元 ＝ 1232 万元 答：这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多1258160元 运输费＝5200+16640=21840元 ＝ 13600000－12320000 －21840 ＝ 1258160 销售额－（原料费＋运输费） 注意单位的一致性. 经典练习，分析已知 练习1：甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练．如果他保持上坡的速度为 30 km/h，平路的速度为40 km/h，下坡的速度为 50 km/h，那么他从甲地骑到乙地需 54 min，从乙地骑到甲地需 42 min ．甲地到乙地全程是多少千米？ 追问1：哪些是已知数？ 已知数： 30 km/h 40 km/h 50 km/h 上坡的速度为 30 km/h 平路的速度为40 km/h 下坡的速度为 50 km/h 甲地骑到乙地需 54 min 乙地骑到甲地需 42 min 8 经典练习，设未知数 练习1：甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练．如果他保持上坡的速度为 30 km/h，平路的速度为40 km/h，下坡的速度为 50 km/h，那么他从甲地骑到乙地需 54 min，从乙地骑到甲地需 42 min ．甲地到乙地全程是多少千米？ 追问2：问题最终求什么，怎么设未知数？ 30 km/h 40 km/h 50 km/h 甲地骑到乙地需 54 min 乙地骑到甲地需 42 min 甲地到乙地全程 =坡路+平路 设:坡路是x千米，平路是y千米. 时间= 路程 速度 ？ ？ 9 经典练习，列方程组 练习1：甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练．如果他保持上坡的速度为 30 km/h，平路的速度为40 km/h，下坡的速度为 50 km/h，那么他从甲地骑到乙地需 54 min，从乙地骑到甲地需 42 min ．甲地到乙地全程是多少千米？ 追问2：等量关系是什么？怎么列方程组？ 30 km/h 40 km/h 50 km/h 甲地骑到乙地需 54 min 乙地骑到甲地需 42 min 时间= 路程 速度 甲地 乙地 x km y km 10 经典练习，巩固解法 追问2：怎么解这个方程组？ 解：设坡路是x千米，平路是y千米. 解：方程组整理得 4x + 3y=108 12x + 15y=420 ① ② 解：由① ×3 ，得 12x+ 9y = 324 ③ ③ － ② ，得 6y = 96 y = 16 把 y = 16代入①，得 4x + 3×16 = 108 x= 15 所以这个方程组的解是 x=15 y=16 11 经典练习，巩固步骤 练习1：甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练．如果他保持上坡的速度为 30 km/h，平路的速度为40 km/h，下坡的速度为 50 km/h，那么他从甲地骑到乙地需 54 min，从乙地骑到甲地需 42 min ．甲地到乙地全程是多少千米？ 解：设坡路是x千米，平路是y千米. 解这个方程组，得 x=15 y=16 所以甲地到乙地全程是=15+16=31 答：甲地到乙地全程是31千米. 12 经典练习，巩固新知 2. 一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板和横幅，其中宣传册的数量是展板的5倍．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示．若制作三种产品 共需25ｈ，所获利润为975元， 求这三种产品的总件数． 解：设展板的件数为x，横幅的件数为y，则宣传册的件数为5x. 答：这三种产品的总件数是70件. x + 0.2×5x +0.5y=25 60x + 3.5 ×5x + 20y=975 解这个方程组，得 x=10 y=10 所以 x +5x+y=70 13 经典练习，巩固新知 3.七年级书法兴趣小组到文具店购买 A，B 两种型号的毛笔，文具店的销售方式是： （1）一次性购买 A 型毛笔不超过 20 支时，按零售价销售；超过 20 支时，超过部分每支的价格比零售价低 0.4 元． （2）一次性购买 B 型毛笔不超过 15 支时，按零售价销售；超过 15 支时，超过部分每支的价格比零售价低 0.6 元． 这个小组共有 20 名同学，若每人买 1 支 A 型毛笔和 2 支 B 型毛笔，共需支付 325元；若每人买 2 支 A 型毛笔和 1 支 B 毛笔，共需支付 309 元．这家文具店 A，B 型毛笔的零售价分别是多少？ 20x + 15y +(40－15)(y－0.6)=325 20x + (40－20)(x－0.4)+15y + (20－15)(y－0.6) =309 分析： x y 14 经典练习，巩固新知 解：设这家文具店A型毛笔的零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元. 答：这家文具店 A型毛笔的零售价是5元，B 型毛笔的零售价6元. 20x + 15y +(40－15)(y－0.6)=325 20x + (40－20)(x－0.4) +15y + (20－15)(y－0.6) =309 解这个方程组，得 x=5 y=6 经典练习，巩固新知 4.为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过12 m3时，按一级单价收费；超过12 m3时，超过部分按二级单价收费．五月份张华家用水14 m3 ，缴费37.6元；李明家用水17 m3 ，缴费47.2元．那么这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少？ 解：这个市一级水费、二级水费的单价分别是x元/ m3, y元/ m3 . 12x + (14－12)y=37.6 12x + (17－12)y=47.2 解这个方程组，得 x=2.6 y=3.2 答：这个市一级水费、二级水费的单价分别是2.6元/ m3, 3.2元/ m3 . 16 经典练习，巩固新知 5.甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔2 min相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6 min相遇一次．已知甲比乙跑得快，甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？ 解：甲、乙每分钟各跑x圈, y圈. 2x + 2y=1 6x －6y=1 解这个方程组，得 答：甲跑一圈需要分钟3分钟,乙跑一圈需要6分钟 . 所以甲跑一圈需要的时间为 乙跑一圈需要的时间为 17 拓展探索 6.一家超市的账目记录显示，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的牙刷52支和牙膏28盒，收入518元．这个记录是否有误？如果有误，请说明理由． 解：设每支牙刷x元，每盒牙膏y元. 39x + 21y=396 52x + 28y=518 这个方程组化简，得 此方程组无解，说明记录有误. 13x + 7y=132 13x + 7y=129.5 课堂小结 2.由实际问题列出的方程组，有时系数较为复杂，先化简再求解，由此简化运算. 实际问题 数学问题 （二元一次方程组） 数学问题的解 （二元一次方程组得解） 实际问题的答案 设未知数，列方程组 表格梳理 解方程组 代入法 加减法 消元 检验 1.利用二元一次方程组解决问题的基本过程： 课堂小结 3. 在背景相对复杂的实际问题中，找出相等关系的一般步骤： ③利用表格、线段图等工具整理数量关系，并从中确定相等关系； ①先梳理问题中已有的数量关系； ②挖掘隐含的未知数，设未知数； 注意：一般来说，有几个未知数就要列出几个方程，所列方程必须满足： ①方程两边表示的是同类量； ②同类量的单位要统一； ③方程两边的数值要相等． ④依据相等关系列方程. 作业 教科书104页练习第1题、第2题. $