精品解析：北京首都师范大学附属中学2025-2026学年第二学期期中练习高一数学试题

首都师大附中2025-2026学年第二学期期中练习 高一数学 命题人：姚璐 审题人：高一数学备课组 本试卷共6页，共120分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知向量，．若，则实数的值是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得，进行数量积的坐标运算即可. 【详解】根据已知有： 故选：B. 2. 已知复数z=2+i，则 A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得. 【详解】∵ 故选D. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题.. 3. 已知，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和余弦公式求出，再根据角的范围求角. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以. 5. 如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为棱和上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出棱柱的侧面展开图，由图可得最短距离为对角线的长，利用勾股定理即可求. 【详解】正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为，宽为， 则其对角线的长为的最小值， 即最小值为. 6. 的三个内角､､满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理即得. 【详解】因为， 可设， 由余弦定理可得. 故选：B. 7. 在中，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理求出的取值范围即可得解. 【详解】由正弦定理可知，，即， 所以， 又，所以为锐角， 所以. 8. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出的等价条件为，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件. 【详解】余弦函数在区间上单调递减，且，， 由，可得，，由正弦定理可得. 因此，“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题. 9. 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数与函数的图象都关于点对称，在同一坐标系中作出两个函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】函数与函数的图象都关于点对称， 在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示： 由图象知：A与B，C与D关于点对称， 所以， 所以， 故选：B 10. 已知单位向量，满足：，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义解答． 【详解】设单位向量， ，， 即到和的距离和为，而， 故动点表示线段上的动点. 又，该式表示与线段上点的距离， 其最小值为点到线段的距离， 而，故. 最大值为到的距离是3， 所以的取值范围是． 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为____________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由复数的运算可知，是纯虚数，则其实部必为零，即，所以. 考点：复数的运算. 12. 如图，四边形是水平放置的平面四边形用斜二测画法得到的直观图，其中，，，，，则 （1）四边形中______； （2）四边形的面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空由斜二测画法可得；第二空由直观图求出原图梯形的相关长度，计算可得. 【详解】根据题意可知，直观图梯形中，， 还原原图可得： 则原图中，，，故； 又因为，， 则其面积. 13. 设点为边长为1的正六边形上一点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的几何意义，结合图形特征即可求得. 【详解】因， 即可理解为在方向上的投影的数量， 由图知，当点与点重合时，投影的数量最大，为； 当点与点重合时，投影的数量最小，为， 故的取值范围为. 14. 已知函数，其中，在区间上单调递增，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】由可得， 要使函数在区间上单调递增，需使，即， 又，则实数的取值范围为. 15. 已知函数，任取，定义集合点满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记，给出以下四个结论：①若函数，则；②若函数，则的最大值为；③若函数，则在上单调递增；④若函数，则的最小正周期为2，其中所有正确结论的序号为__________ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据新定义的知识，先令，求出可判断出①，利用圆的性质可判断出②，③和④可结合三角函数的图像及其性质来判断. 【详解】因为函数，当时，且， 即，令，即，解得， 所以，，，故①正确； 由且，可得点在以点为圆心，为半径的圆上或圆内， 所以，所以②错误； 对于③和④，如图所示， 若函数 ，此时，函数的最小正周期为 ， 点 , 当点在 点时，点在曲线上， ， 当点在曲线上从接近时， 逐渐增大，当点在点时， 当点在曲线上从接近时，逐渐见减小，当点在点时， 当点在曲线上从接近时， 逐渐增大， 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，逐渐见减小，当点在点时， 依此类推，发现的最小正周期为2，同时在上单调递增. 故答案为：①③④ 【点睛】 三、解答题（本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 已知，，且． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积公式、运算律计算即可； （2）利用平面向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 已知向量与的夹角为，且，， 则， 所以. 【小问2详解】 . 17. 在锐角中，，，分别为角，，所对的边且. （1）确定角的大小； （2）若且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，即可求解； （2）由面积公式和余弦定理列方程可得. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理可得， ， ， 因为为锐角三角形， 所以. 【小问2详解】 因为的面积， 所以解得. 由余弦定理可得， 所以， 解得. 18. 设函数． （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调递减，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件 ①：函数的图象经过点； 条件 ②：时，的值域是； 条件 ③：是的一条对称轴． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，再求函数值即可； （2）选择条件②或③，利用三角函数的性质即可求解，选择条件①不满足三角函数的值域，不能求解. 【小问1详解】 ， 当时，， 所以； 【小问2详解】 由在区间上单调递减，所以，所以， 又，所以，又，所以， 条件①：函数的图象经过点， 所以，不可能成立，故不能选择①； 条件 ②：时，的值域是， 又由在区间上单调递减， 所以 ， 解得 ，又， 所以当时，，所以； 条件 ③：是的一条对称轴， 所以，解得，又， 所以当时，，所以. 19. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 【答案】（1） （2）15km 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可求； （2）由正弦定理有求出，再由余弦定理有即可求解. 【小问1详解】 由题意知：，， 在中，由余弦定理 因为, 所以 【小问2详解】 ，,， 由题意知： 在中，由正弦定理得：，所以 由余弦定理得：， 即， 解得：或（舍） ，之间的距离为 20. 已知函数的部分图象如图所示． （1）直接写出函数的解析式和最小正周期； （2）求在区间上的最大值与最小值； （3）若，，求的值域． 【答案】（1），最小正周期为. （2）的最大值为，最小值为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象求出，周期，得出即可写出函数解析式； （2）根据正弦型函数值域的求法得解； （3）利用换元法，化简函数解析式，再由二次函数值域的求法得解. 【小问1详解】 由图可知，， ，所以， 所以， 将点代入可得， 即，所以， 解得，由，可知， 所以函数解析式为，最小正周期为. 【小问2详解】 当时，， 所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 ， 令，则，所以， 由（2）知，时，，， 原函数可转化为 ， 所以当时，，当时，， 所以的值域为. 21. 对任意正整数，记集合为非负整数，且，集合为非负整数，且，对任意的，，若对任意，都有，则称“劣于”，记作． （1）直接写出集合和； （2）对任意，是否存在，使得，若存在，写出一个满足要求的，如果不存在，请说明理由； （3）设．求证：中的元素个数是完全平方数． 【答案】（1） ， （2）存在，可取 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）问直接列举满足条件的二元非负整数组； （2）问把的每个分量同时扩大为原来的2倍，即可构造出满足要求的； （3）问对每一组满足 的有序对，引入，将其转化为两个中元素的配对，从而得到，进而证明其为完全平方数. 【小问1详解】 当时，由且均为非负整数，得 . 由 且均为非负整数，得 . 【小问2详解】 存在.对任意，取. 因为，所以 ，且为非负整数，故. 又因为对任意，都有，所以 . 【小问3详解】 对任意，设，，并令. 因为 ，所以均为非负整数.又因为 ，， 所以 ，故. 反过来，若任取和，令，则的各分量均为非负整数， 且各分量之和为，所以.同时，故 . 因此，中的元素与有序对一一对应，其中，，所以. 又是把分成个非负整数之和的方案集合，所以，从而. 因此，中的元素个数是完全平方数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首都师大附中2025-2026学年第二学期期中练习 高一数学 命题人：姚璐 审题人：高一数学备课组 本试卷共6页，共120分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知向量，．若，则实数的值是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 已知复数z=2+i，则 A. B. C. 3 D. 5 3. 已知，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为棱和上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 的三个内角､､满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 已知单位向量，满足：，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共80分） 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为____________. 12. 如图，四边形是水平放置的平面四边形用斜二测画法得到的直观图，其中，，，，，则 （1）四边形中______； （2）四边形的面积为______． 13. 设点为边长为1的正六边形上一点，则的取值范围为______． 14. 已知函数，其中，在区间上单调递增，则实数的取值范围为______． 15. 已知函数，任取，定义集合点满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记，给出以下四个结论：①若函数，则；②若函数，则的最大值为；③若函数，则在上单调递增；④若函数，则的最小正周期为2，其中所有正确结论的序号为__________ 三、解答题（本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 已知，，且． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值 17. 在锐角中，，，分别为角，，所对的边且. （1）确定角的大小； （2）若且的面积为，求的值. 18. 设函数． （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调递减，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件 ①：函数的图象经过点； 条件 ②：时，的值域是； 条件 ③：是的一条对称轴． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 20. 已知函数的部分图象如图所示． （1）直接写出函数的解析式和最小正周期； （2）求在区间上的最大值与最小值； （3）若，，求的值域． 21. 对任意正整数，记集合为非负整数，且，集合为非负整数，且，对任意的，，若对任意，都有，则称“劣于”，记作． （1）直接写出集合和； （2）对任意，是否存在，使得，若存在，写出一个满足要求的，如果不存在，请说明理由； （3）设．求证：中的元素个数是完全平方数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $