精品解析：山西省长子县第一中学等校2025-2026学年高二第二学期4月期中质量检测数学试题

山西省长子县第一中学等校2025-2026学年高二第二学期4月期中质量检测数学试题 2026.4 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：选择性必修第三册（第六､七章）. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量X服从二项分布X~B(4，)，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项. 【详解】∵随机变量X服从二项分布X~B(4，)， ∴. 故选：D. 2. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？（ ） A. 0.8 B. 0.64 C. 0.2 D. 0.16 【答案】A 【解析】 【分析】首先求的取值，再求其概率，最后代入期望公式. 【详解】由条件可知，，，， 所以. 3. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为，已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到变量，结合二项分布的期望和方差，即可求解. 【详解】由题意，有放回地摸取5次，其中每次摸到白球的概率为， 其中摸得白球的次数为随机变量，则， 因为，可得，解得，即， 所以. 4. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 74 B. 121 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数， 【详解】因为在， 所以含的项为：， 所以含的项的系数是的系数是， ， 故选：D 【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题， 5. 已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式可求. 【详解】因为相互独立，故， 故选：B. 6. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 7. 若随机变量的分布列如表，且，则的值为（ ） 0 2 A. 9.2 B. 5 C. 4 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由概率之和等于1得出，求出方差，并由方差性质求解即可. 【详解】由题意可得：，解得，因为，所以， 解得．所以． 所以． 故选：C 8. 如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 108 【答案】C 【解析】 【分析】对面与面同色和不同色进行分类，结合分步乘法计算原理，即可得出答案. 【详解】当面与面同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有2种方法，即种 当面与面不同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有1种方法，即种 即不同的染色方法总数为种 故选：C 【点睛】本题主要考查了计数原理的应用，属于中档题. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中不正确的是（ ）． A. 在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作 B. 对事件A，B，有 C. 若，则事件A，B相互独立 D. 相当于事件A发生的条件下，事件AB发生的概率 【答案】AB 【解析】 【分析】由条件概率的性质和独立事件的性质逐个分析判断即可 【详解】在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作，故A中说法错误． ∵，， ∴与不一定相同，故B中说法错误． 若事件A与B相互独立，即，且，则；反之，若，且，则，即事件A与B相互独立．因此，当时，当且仅当事件A与B相互独立时，有，所以C中说法正确． 表示事件A发生的条件下，事件B发生的概率，这时AB也发生了，D中说法显然正确． 故选：AB． 10. 下图是离散型随机变量的概率分布直观图，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由所有取值频率之和为1，结合已知条件，解出，利用期望和方差公式计算数据，验证选项即可. 【详解】由题知解得，A选项正确； 所以，B选项正确； ，C选项正确； ，D选项错误. 故选：ABC. 11. 随机变量,记，则下列结论不正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给的随机变量，得到正态曲线关于对称，根据，得到要表示的四个选项的结果. 【详解】∵随机变量，随机变量的曲线关于对称， ∵， ∴，，， 综上可知D选项不正确. 故选：D． 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是________； 【答案】9 【解析】 【分析】由分类加法计数原理即可得解. 【详解】由题意，选择第1种方法来完成工作，共有5种选法； 选择第2种方法完成工作，共有4种选法； 所以符合题意得选法共有种. 故答案为：9. 13. 的展开式为______. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开公式即可求解. 【详解】根据二项式展开公式， 令，，， 可得 14. 一个箱子里有5个相同的球，分别以1∼5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少被取出一次的球的个数为，则数学期望________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列和数学期望的定义，结合排列组合求解即可. 【详解】的可能取值为1，2，3， ， ， ， ． 故答案为． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． （1）有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 【答案】（1）161700种； （2）9506种； （3）9604种. 【解析】 【分析】(1)根据题意直接利用组合列式计算即可. (2)利用分步计数乘法原理结合组合列式计算即可 (3)求出含有1件次品、2件次品的抽法，再利用分类加法计数原理计算作答. 【小问1详解】 所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，即(种) 所以有161700种不同的抽法. 【小问2详解】 从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，则(种)， 所以抽出的3件中恰好有 1件次品的抽法有9506种. 【小问3详解】 抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况， 由(2)知，有1件是次品的抽法有种，有2件次品的抽法有种， 由分类加法计数原理得：(种)， 所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有9604种. 16. （1）已知的展开式中的“二项式系数之和”比“各项系数之和”大255，求的值； （2）求展开式所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先求各项系数和，再求二项式系数和计算求解即可； （2）先写出展开式的通项公式，按照有理项求解即可； （3）根据通项公式求出系数，计算系数最大可得，再应用通项公式求解即得. 【详解】（1）令可得，展开式中各项系数之和为，而展开式中的二项式系数之和为， ， （2）； 当为整数时，为有理项，则或 所以展开式所有的有理项为：； （3）设第项最大，且为偶数 则，解得：， 所以展开式中系数最大的项为：. 17. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出与；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解. 【详解】解：（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”， 则，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为. （2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为. 18. 有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率． （1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率． （2）从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望． （3）若甲校同学掌握这个知识点，则有的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为，乙校学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）恰有1人做对的概率为0.35，X的数学期望为1.55 （3）. 【解析】 【分析】（1）用频率估计概率后可得从甲校随机抽取1人做对该题目的概率； （2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及的分布列，从而可求其期望； （3）根据题设可得关于的方程，求出其解后可得它们的大小关系. 用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题目的概率为. 【小问1详解】 用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题目的概率为. 【小问2详解】 设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. 【小问3详解】 设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故， 故. 19. 甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． （1）求（用p表示）． （2）若，求p． （3）证明：对任意正整数m，． 【答案】（1）， （2） （3） 设打完个球，甲的得分为，乙的得分为，， 所以，，， ，，， 要证明， 即证明①，②， 先证明①， ， 同理可得， 所以①，故成立； 证明②： ， 同理可得， 所以②，故成立； 综上，不等式成立. 【解析】 【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解； （2）由题意，联立，即可求解； （3）首先，，同理有，，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得证. 【小问1详解】 为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场， 故所求为， 为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场， 故所求为； 【小问2详解】 由（1）得，，同理， 若，， 则， 由于，所以，解得； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省长子县第一中学等校2025-2026学年高二第二学期4月期中质量检测数学试题 2026.4 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：选择性必修第三册（第六､七章）. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量X服从二项分布X~B(4，)，（ ） A. B. C. D. 2. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？（ ） A. 0.8 B. 0.64 C. 0.2 D. 0.16 3. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为，已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 74 B. 121 C. D. 5. 已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（ ） A. B. C. D. 0 6. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若随机变量的分布列如表，且，则的值为（ ） 0 2 A. 9.2 B. 5 C. 4 D. 1 8. 如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 108 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中不正确的是（ ）． A. 在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作 B. 对事件A，B，有 C. 若，则事件A，B相互独立 D. 相当于事件A发生的条件下，事件AB发生的概率 10. 下图是离散型随机变量的概率分布直观图，其中，则（ ） A. B. C. D. 11. 随机变量,记，则下列结论不正确的是 A. B. C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是________； 13. 的展开式为______. 14. 一个箱子里有5个相同的球，分别以1∼5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少被取出一次的球的个数为，则数学期望________． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． （1）有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 16. （1）已知的展开式中的“二项式系数之和”比“各项系数之和”大255，求的值； （2）求展开式所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 17. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 18. 有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率． （1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率． （2）从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望． （3）若甲校同学掌握这个知识点，则有的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为，乙校学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小（结论不要求证明） 19. 甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． （1）求（用p表示）． （2）若，求p． （3）证明：对任意正整数m，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $