精品解析：北京三帆中学2025—2026学年度八年级下学期期中数学试题

北京市三帆中学2025-2026学年度第二学期期中试卷 初二年级数学学科 注意：（1）时间100分钟，满分110分；（2）请将答案填涂、填写在答题卡上． 一、选择题（每题2分，共16分）每道题只有一个选项符合题意 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 下列条件中，不能判定是直角三角形的一组条件是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为（　　） A. 4 B. 不确定 C. 5 D. 8 5. 下列命题中正确的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 6. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（　　） A. 第三、二、一象限 B. 第二、三、四象限 C. 第二、一、四象限 D. 第三、四、一象限 7. 如图，将菱形放在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B，C在第一象限内．若点A的坐标为，菱形的面积为6，则点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 8. 如图1，在矩形ABCD中，，两动点P，Q同时从点A出发，点P在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点Q沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点Q的运动时间的关系图象如图2所示．则下列结论正确的是（　　） ①点Q的速度是；②矩形的面积为；③；④时，或． A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①④ 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 10. 如图，在中，，D是边的中点．已知，则___________°． 11. 若，是如图所示一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是：___________．（填“>”“=”或“<”） 12. 如图，已知矩形各边中点为E，F，G，H，若，，则四边形的面积为___________． 13. 在数学综合实践活动中，初二年级举行折正方体的活动．每个正方体由24张正方形纸片折叠组成，数学组为每个班购买了20包正方形纸片，每一包有100张纸片．若某班同学共叠了x个正方体，剩余y张纸片，则函数y关于x的关系式是___________（不要求写出自变量的取值范围） 14. 若将直线向下平移3个单位长度后，经过点，则k的值为___________． 15. 如图，将矩形纸片折叠，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，若，则的长为___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，B为y轴上的动点，以为边构造，使点C在x轴上，，M为的中点，则的最小值为___________． 三、解答题（共68分，17、22题每题8分，18、19题每题7分，20、23题每题10分，21、24每题9分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知：如图，线段． 求作：线段的垂直平分线． 作法：①分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点M，N； ②作直线，交于点O； 则就是线段的垂直平分线． 请你根据以上过程： （1）利用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接，，，，（补全图形） ∵__________________， ∴四边形是___________（___________），（填推理依据） ∴，（___________），（填推理依据） ∴是线段的垂直平分线． 19. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）这个一次函数的图象与x轴交于点C． ①求点C的坐标； ②若点P是x轴上一点，且的面积是3，直接写出点P的坐标． 21. 如图，点在一条直线上，，，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 22. 在第十四届艺术节期间，帆帆利用24张正方形彩纸制作了一个正方体（如图1），以下是帆帆的制作过程：先用一张正方形彩纸按照一定的方式折出一个四边形（操作过程如图2），再将24个这样的四边形按照一定的方式折叠、拼接，即可得到一个正方体． ①、②沿虚线按照箭头方向先后折叠； ③沿虚线按照箭头方向折叠，并插入实线所在的图形内。 （1）①请你判断图中四边形的形状是___________； ②若正方形彩纸的边长为m，则图中四边形的面积是___________（用含m的式子表示）； （2）帆帆从该正方体的表面发现了“赵爽弦图”（如图．）：四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以围成一个大正方形．利用此弦图可证明勾股定理，请完成以下证明过程． 已知：如图3，正方形，正方形，，中，，，，． 求证：． 证明：，，，，， ①___________（用含a，b的式子表示）． ②___________（用含a，b的式子表示）． ③___________（用含a，b的式子表示）． 又④___________（用含c的式子表示）， ． （3）图为正方体的表面正方形，图中四边形的顶点G，H拼接后成为正方形的边的中点．若用这种方法制作一个棱长不小于的正方体，则使用的正方形纸片的边长至少为___________ ． 23. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个一次函数，将原函数中的自变量x替换为，从而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的“镜像函数”．例如，函数的“镜像函数”是，请探究“镜像函数”的相关性质． （1）自变量x的取值范围是___________； （2）用描点法画出函数图象． x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … m 0 2 4 2 n … 其中，___________，___________； 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象． （3）请根据图象解决问题： ①当时，x的值是___________； ②当时，y随x的增大而___________； ③图象关于___________对称，函数有最___________值为___________． 24. 如图，在正方形的边上有一点E，点P为线段上一动点（不与B，E重合），连接，过P作且（点N在点P上方），连接． （1）当点E，点P在如图1所示的位置时，作，交直线于M，交直线于Q． ①在图1中补全图形； ②求证：； ③写出与的数量关系并证明； （2）如图2，若E为中点，正方形边长为2，当时，请直接写出线段的长． 四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 如图1，在等边三角形的网格中，每个小三角形的边长为1．借助网格，画出了三个大小不同的等边三角形（顶点均在格点上）． （1）等边的边长为___________； （2）如图2，已知线段，点P，Q均为格点．在图2中完成下面的画图和探究： ①画图：以为一边画格点三角形，使它另外两边长分别等于4和； ②探究：通过适当的几何变换，以的三条中线长为三边长画三角形，记为；若记的面积为，的面积为，直接写出和之间的等量关系___________． 26. 在平面直角坐标系中，以点为对角线交点，作边长为的正方形，其各边垂直于坐标轴，这个正方形叫做点P的“心方形”．已知一次函数与x轴，y轴分别交于点A，B．直线l过点且与x轴垂直，点C是点B关于直线l的对称点． （1）直接写出点C的坐标___________； （2）当时，点在线段上，若点M的“心方形”所有顶点都落在第一象限，直接写出m的取值范围___________； （3）点在直线AB上，． ①当时，在图1中用阴影画出点N的所有“心方形”所组成的图形； ②若点N的“心方形”关于直线的对称图形至少有一个顶点落在直线上，直接写出n的取值范围___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市三帆中学2025-2026学年度第二学期期中试卷 初二年级数学学科 注意：（1）时间100分钟，满分110分；（2）请将答案填涂、填写在答题卡上． 一、选择题（每题2分，共16分）每道题只有一个选项符合题意 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，判断各选项是否满足“被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，即可得到答案． 【详解】解：A、的被开方数含分母，不是最简二次根式； B、的被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 2. 下列条件中，不能判定是直角三角形的一组条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理及三角形内角和逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A选项，∵， ∴设，，（）， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 对于B选项，∵， ∴设，，， ∴， 解得， ∴ ，最大角为，不是直角三角形，符合题意； 对于C选项，∵，且， ∴，即， ∴是直角三角形，不符合题意； 对于D选项，∵， ∴设，则， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 综上，答案选B． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，比较基础，根据二次根式的运算法则逐项计算可得正确结果. 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误. 4. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为（　　） A. 4 B. 不确定 C. 5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的对边相等的性质求得，然后利用三角形中位线定理求得即可解答． 【详解】解：在平行四边形中，， ，分别为的中点， 是的中位线， ． 5. 下列命题中正确的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，只有一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形，故此选项错误； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴ 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故此选项正确； C、对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形不一定是菱形，故此选项错误； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形，故此选项错误． 6. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（　　） A. 第三、二、一象限 B. 第二、三、四象限 C. 第二、一、四象限 D. 第三、四、一象限 【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数图象的平移规律和一次函数图象与系数的关系解题即可． 【详解】解：∵一次函数的图象由直线向下平移个单位长度得到， 根据平移规律“上加下减”可得平移后的解析式为， ∴， 又∵， ∴一次函数中，斜率为负，且与轴交于负半轴，因此图象经过第二、三、四象限． 7. 如图，将菱形放在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B，C在第一象限内．若点A的坐标为，菱形的面积为6，则点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点的坐标得出菱形的边长，利用菱形的面积公式求出点的横坐标，然后在直角三角形中利用勾股定理求出点的纵坐标即可． 【详解】解：∵点A在y轴上，点A的坐标为， ∴，  四边形是菱形， ，，  菱形的面积为6， ，即， ， 如图，过点作轴于点， 则， 在中，， ， 点在第一象限， 点的坐标为． 8. 如图1，在矩形ABCD中，，两动点P，Q同时从点A出发，点P在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点Q沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点Q的运动时间的关系图象如图2所示．则下列结论正确的是（　　） ①点Q的速度是；②矩形的面积为；③；④时，或． A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和函数图象，分析点和点的运动过程，由时，求出点的速度和的长；由到达点的时间确定的值；根据矩形面积公式判断②；根据当时，点到达点，计算此时的面积判断③；分段讨论时的值判断④．　  【详解】解：由题意可知，点的速度为，，则点运动到点的时间为； 观察图2可知，当时，图象发生转折，说明此时点到达点，此时，即 ， 此时， ∴， 解得， ∴点的速度为，故①正确； ∴矩形的面积为，故②错误； 当时，点到达点，此时， 此时点运动路程为， ∵， ∴点在边上，且距离点， 即此时的底边，高为， ∴，即，故③正确； 观察图2可知，当时，图象发生转折，说明此时点到达点， ∴， 当点到达点时，此时， ∴当时，分情况讨论： 当点在上时（），，，，解得（负值舍去）； 当点在上时（），的最小值为时的，最大值为，故不可能为； 当点在上时（），点已停在点，， 点走过的总路程为，则， ， 令，解得， 综上所述，或，故④正确； 综上，正确的结论是①③④． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义可得： ，解得：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 10. 如图，在中，，D是边的中点．已知，则___________°． 【答案】66 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，利用等边对等角求出的度数，再利用角的和差关系求解. 【详解】解：在中，，是边的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴（等边对等角）， ∵， ∴， ∵ ∴ 故答案为：66. 11. 若，是如图所示一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是：___________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】> 【解析】 【详解】解：由函数图象可得，随的增大而减小， ∵， ∴． 12. 如图，已知矩形各边中点为E，F，G，H，若，，则四边形的面积为___________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键． 连接，根据矩形的性质及中点的定义得出 的长度及互相垂直的关系，利用对角线互相垂直的四边形面积公式进行计算. 【详解】解：连接 ∵ 四边形为矩形， ∴， ∵分别为边的中点 ∴ ∴ 故答案为：30. 13. 在数学综合实践活动中，初二年级举行折正方体的活动．每个正方体由24张正方形纸片折叠组成，数学组为每个班购买了20包正方形纸片，每一包有100张纸片．若某班同学共叠了x个正方体，剩余y张纸片，则函数y关于x的关系式是___________（不要求写出自变量的取值范围） 【答案】 【解析】 【分析】先计算出正方形纸片的总数量，再根据剩余纸片数等于总纸片数减去折叠个正方体所用纸片数，推导得到关于的函数关系式． 【详解】解：由题意可知，正方形纸片的总数量为张， 折叠个正方体所用纸片数量为张， 根据剩余纸片数量等于总纸片数量减去所用纸片数量，可得． 14. 若将直线向下平移3个单位长度后，经过点，则k的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平移规律得到平移后的直线解析式，再将已知点的坐标代入即可求出的值． 【详解】解：直线向下平移个单位长度后的函数解析式为，即， 把代入，得， 解得． 15. 如图，将矩形纸片折叠，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质可知：，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，B为y轴上的动点，以为边构造，使点C在x轴上，，M为的中点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作轴，轴，垂足分别为，连接，先证明四边形是正方形，，得到，设，，表示出、的坐标，利用中点坐标公式推出，从而得到点M在上运动，然后根据垂线段最短、等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理，即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴，轴，垂足分别为，连接， 则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 当点B在点E的下方时，此时点C在点F的右侧， ∴， ∴，， ∵M为的中点， 不妨设，则，， ∴， 当点B在点E的上方时，此时点C在点F的左侧， 同理可得， 即点在直线上运动，其中， 对于，当时，；当时，， ∵， ∴点在线段上运动， ∵为定点， ∴当时，取得最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∴此时，即此时是等腰直角三角形， ∴，，即 又∵，即， ∴， ∴． 三、解答题（共68分，17、22题每题8分，18、19题每题7分，20、23题每题10分，21、24每题9分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知：如图，线段． 求作：线段的垂直平分线． 作法：①分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点M，N； ②作直线，交于点O； 则就是线段的垂直平分线． 请你根据以上过程： （1）利用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接，，，，（补全图形） ∵__________________， ∴四边形是___________（___________），（填推理依据） ∴，（___________），（填推理依据） ∴是线段的垂直平分线． 【答案】（1）见解析 （2），，菱形，四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直平分 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据证明过程填写即可． 【小问1详解】 解：如图，，点即为所求． 【小问2详解】 证明：如图，连接，，，， ∵， ∴四边形是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）， ∴，（菱形的对角线互相垂直平分）， ∴是线段的垂直平分线． 19. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出，再证，得出，即可得出结论． 【详解】证明：如图， 四边形是平行四边形， ， ，， 点是的中点， ， 在和中 ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）这个一次函数的图象与x轴交于点C． ①求点C的坐标； ②若点P是x轴上一点，且的面积是3，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为 （2）①；②点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）①由（1）可令，进而问题可求解；②设点，则有，然后根据的面积是3可列方程进行求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：①由（1）可令，则有， 解得：， ∴； ②设点，则有， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 21. 如图，点在一条直线上，，，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）利用四边形是平行四边形，推出，再根据等腰三角形的三线合一的性质推出，即可证得四边形是矩形； （）过点作于，利用的长度及，求得各段线段长；结合矩形的性质，根据中位线定理，求出与的长度，进而得到的长；最后在中，通过勾股定理算出的长度． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， . ∴ ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：取的中点，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理：． 22. 在第十四届艺术节期间，帆帆利用24张正方形彩纸制作了一个正方体（如图1），以下是帆帆的制作过程：先用一张正方形彩纸按照一定的方式折出一个四边形（操作过程如图2），再将24个这样的四边形按照一定的方式折叠、拼接，即可得到一个正方体． ①、②沿虚线按照箭头方向先后折叠； ③沿虚线按照箭头方向折叠，并插入实线所在的图形内。 （1）①请你判断图中四边形的形状是___________； ②若正方形彩纸的边长为m，则图中四边形的面积是___________（用含m的式子表示）； （2）帆帆从该正方体的表面发现了“赵爽弦图”（如图．）：四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以围成一个大正方形．利用此弦图可证明勾股定理，请完成以下证明过程． 已知：如图3，正方形，正方形，，中，，，，． 求证：． 证明：，，，，， ①___________（用含a，b的式子表示）． ②___________（用含a，b的式子表示）． ③___________（用含a，b的式子表示）． 又④___________（用含c的式子表示）， ． （3）图为正方体的表面正方形，图中四边形的顶点G，H拼接后成为正方形的边的中点．若用这种方法制作一个棱长不小于的正方体，则使用的正方形纸片的边长至少为___________ ． 【答案】（1）①平行四边形；② （2）①；②；③；④ （3） 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①结合正方形的性质以及折叠的性质得出四边形是矩形，再根据一组对边平行且相等得出四边形是平行四边形， ②结合折叠的性质，得出平行四边形的面积，即可作答． （2）连接上下文，结合三角形的面积以及正方形的面积公式进行补充，即可作答． （3）理解题意，根据原正方形纸片的边长为，且图中四边形的顶点G，H拼接后成为正方形的边的中点，以及运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：①如图所示： 依题意，纸片是正方形，且结合折叠性质，得四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ②∵折叠， ∴，矩形的面积=正方形彩纸面积的一半， 即矩形的面积 ∵折叠，平行四边形的面积=矩形的面积的一半， 即平行四边形的面积， 故图中四边形的面积是； 【小问2详解】 证明：，，，，， ；， 又， ； 【小问3详解】 解：由（1）得， 设正方体的棱长为， 依题意， ∵原正方形纸片的边长为，且图中四边形的顶点G，H拼接后成为正方形的边的中点． ∴ ∵， 则 ∴ ∴ 当时，则． ∴若用这种方法制作一个棱长不小于的正方体，则使用的正方形纸片的边长至少为． 23. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个一次函数，将原函数中的自变量x替换为，从而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的“镜像函数”．例如，函数的“镜像函数”是，请探究“镜像函数”的相关性质． （1）自变量x的取值范围是___________； （2）用描点法画出函数图象． x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … m 0 2 4 2 n … 其中，___________，___________； 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象． （3）请根据图象解决问题： ①当时，x的值是___________； ②当时，y随x的增大而___________； ③图象关于___________对称，函数有最___________值为___________． 【答案】（1）任意实数 （2）；； （3）①或；②减小；③轴；大，4 【解析】 【分析】（1）根据题意即可得到自变量x的取值范围是任意实数； （2）补全表格，利用描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据图象即可解答． 【小问1详解】 解：自变量x的取值范围是任意实数； 【小问2详解】 解：当时，； 当时，； 描点，连线，函数图象如图： ； 【小问3详解】 解：根据图象得： ①当时，x的值是或； ②当时，y随x的增大而减小； ③图象关于轴对称，函数有最大值为4． 24. 如图，在正方形的边上有一点E，点P为线段上一动点（不与B，E重合），连接，过P作且（点N在点P上方），连接． （1）当点E，点P在如图1所示的位置时，作，交直线于M，交直线于Q． ①在图1中补全图形； ②求证：； ③写出与的数量关系并证明； （2）如图2，若E为中点，正方形边长为2，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析；③，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意画图即可； ②由四边形是正方形，，结合四边形内角和，可得，再由，即可证明结论； ③将绕点逆时针旋转到，连接，，，设与交于点，与交于点，可证明，可得，，，再可证明四边形是平行四边形，最后证明，即可证明； （2）连接，设与交于点，则可证明垂直平分，利用等面积法可求得的长，即可得的长，即可求得的长． 【小问1详解】 解：①补全图形如图： ②证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ③． 证明：如图，将绕点逆时针旋转到，连接，，，设与交于点，与交于点，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由②可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接，设与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵正方形边长为2， ∴，， ∵E为中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 如图1，在等边三角形的网格中，每个小三角形的边长为1．借助网格，画出了三个大小不同的等边三角形（顶点均在格点上）． （1）等边的边长为___________； （2）如图2，已知线段，点P，Q均为格点．在图2中完成下面的画图和探究： ①画图：以为一边画格点三角形，使它另外两边长分别等于4和； ②探究：通过适当的几何变换，以的三条中线长为三边长画三角形，记为；若记的面积为，的面积为，直接写出和之间的等量关系___________． 【答案】（1） （2）①图见详解；② 【解析】 【分析】（1）过点C作于点E，由题意知：，然后根据勾股定理可进行求解； （2）①结合菱形的性质及勾股定理可进行作图； ②分别画出三条边上的中线，过点P作，由图可知：，，，然后可得是直角三角形，，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：过点C作于点E，如图所示： 由题意知：， ∴，， ∴， 即等边的边长为； 【小问2详解】 解：①所作如图所示： 由图可知：， 根据菱形的性质及平行线的性质可知：， 由（1）可知：图形中小等边三角形的每条边上的高都为，， ∴， ∴， ∴所作符合题意； ②如图，分别画出三条边上的中线，过点P作， 由图可知：，，， ∴， 即三条边上的中线长分别为，，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， 过点M作，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， ∴，即． 26. 在平面直角坐标系中，以点为对角线交点，作边长为的正方形，其各边垂直于坐标轴，这个正方形叫做点P的“心方形”．已知一次函数与x轴，y轴分别交于点A，B．直线l过点且与x轴垂直，点C是点B关于直线l的对称点． （1）直接写出点C的坐标___________； （2）当时，点在线段上，若点M的“心方形”所有顶点都落在第一象限，直接写出m的取值范围___________； （3）点在直线AB上，． ①当时，在图1中用阴影画出点N的所有“心方形”所组成的图形； ②若点N的“心方形”关于直线的对称图形至少有一个顶点落在直线上，直接写出n的取值范围___________． 【答案】（1） （2） （3）①作图见解析 ②或 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据对称得出答案； （2）根据题意可知当时，正方形的边长为2，再得出正方形的顶点坐标，然后根据所有顶点在第一象限得出不等式组，求出解集即可； （3）①根据题意可知正方形的边长为的范围是，再当和时，求出正方形的顶点坐标，然后根据“心方形”的定义画出图形即可； ②先确定点的“心方形”的顶点坐标，再得出关于直线对称的顶点坐标，然后根据对称点落在上可得或，再根据得出答案即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点． ∵直线l是，点B关于对称的点是C， ∴点； 【小问2详解】 解：∵点在线段上，时，正方形的边长为2， ∴正方形的顶点坐标为，即； ，即； ，即； ，即． ∵所有顶点在第一象限， ∴，解得； 【小问3详解】 解：①当时，，且，则边长为的范围是． 当时，正方形的顶点坐标为； 当时，正方形的顶点坐标为， 所有“心方形”组成的图形如下： ②点的“心方形”的顶点坐标为，且， 关于直线对称的顶点坐标为． ∵直线即为，对称点落在上， ∴或， 解得或． ∵， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $