精品解析：浙江温岭市第二中学等校2025-2026学年高一下学期期中数学学科练习

浙江温岭市第二中学等校2025-2026学年高一下学期期中数学学科练习 注意事项： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效． 4．结束后，只需上交答题卡． 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 B. 相等的角在直观图中仍然相等 C. 有两个面相似，其它各个面都是梯形的多面体是棱台 D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 4. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 5. 如图，在四边形ABCD中，，，向量，的夹角为．若E，F分别是边AD，BC的中点，则（ ） A. B. 3 C. D. 6. 如图①，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底在同一平面内的两个测量基点与，如图②．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知半径为2的圆上有三点A，B，C，满足，点是圆上一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在长方体中，为的中点，为靠近的三等分点，为与EF的交点，为BD的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 过E，F，D的平面截长方体所得截面是四边形 B. 直线上存在点使O，N，M三点共线 C. 三条直线有公共点 D. 直线与直线OE异面 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则符合条件的有两个 C. 若为锐角三角形，则 D. 若是钝角三角形，则 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若某圆锥侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥体积为______． 13. 如图，平面四边形ABCD中，，则__________． 14. 已知平面向量满足，则的最小值是__________，最大值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量． （1）求； （2）若，求实数的值． 16. 设函数，其中． （1）求的最小正周期； （2）若，其中，求的值． 17. 如图，正三棱柱中，是棱的中点． （1）设E为棱的中点，为棱上一点，求的最小值； （2）求三棱锥的体积； （3）求该正三棱柱的外接球的表面积． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角，已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长； （3）若是锐角三角形，求的取值范围． 19. 如图，设Ox，Oy是平面内夹角为的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若向量，则把叫做向量在平面坐标系xOy中的坐标，记． （1）在仿射坐标系中，若向量，求的坐标； （2）在仿射坐标系中，向量，向量．求在方向上的投影向量； （3）在仿射坐标系中，设，若对任意实数恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江温岭市第二中学等校2025-2026学年高一下学期期中数学学科练习 注意事项： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效． 4．结束后，只需上交答题卡． 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出集合、后，利用交集定义即可得. 【详解】由，可得，即，故， 由，可得， 解得，故，则. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法运算法则，求出的实部和虚部，即可得出结论. 【详解】， 对应点的坐标为，位于第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的几何意义，属于基础题. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 B. 相等的角在直观图中仍然相等 C. 有两个面相似，其它各个面都是梯形的多面体是棱台 D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，棱锥的侧面均为三角形，若有一个面为平行四边形，则此面一定为底面，所以该棱锥为四棱锥，故A正确； 对于B，正方形的每个角均为，而直观图中,， 故，故B错误； 对于C，棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点， 有两个面相似，其它各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点， 因此该多面体不一定是棱台，如图，四边形和是相似的矩形，该多面体不是棱台，故C错误； 对于D，用平行于圆锥底面的一个平面截圆锥，才能得到一个圆锥和圆台，故D错误. 4. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由得， ， 所以. 5. 如图，在四边形ABCD中，，，向量，的夹角为．若E，F分别是边AD，BC的中点，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算，数量积的运算律即可得到答案. 【详解】由 ， 所以 . 6. 如图①，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底在同一平面内的两个测量基点与，如图②．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设塔高，在中求出，在中，利用正弦定理列方程即可求解. 【详解】设塔高， 在中，，所以， 在中，， 由正弦定理得，即，解得， 所以塔高为. 7. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性，单调性，再利用中间值比较大小即可． 【详解】由的定义域为，即定义域关于原点对称， 又，则是偶函数， 又在上单调递增，且在上也单调递增， 所以在上单调递增， 由， 又在上单调递减， 则在上单调递增，且， 所以， 所以， 所以，即． 8. 已知半径为2的圆上有三点A，B，C，满足，点是圆上一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以圆心为原点建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算将所求表达式转化为与圆心和点相关的形式，再结合正弦函数的性质求解取值范围. 【详解】以圆心为原点建立平面直角坐标系，设，则， 设，则，且在圆上，满足， 两式相减得，解得， 不妨取， 设，则， ， 所以 ， ， 相加得 ， ， 因为， 所以，即， 所以，所以， 所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由得，再由复数的运算法则与模长公式验证选项即可求解 【详解】由得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B不正确， 对于C，由于，由于， 所以，故C正确； 对于D，由于，当，时，显然，故D错误 10. 如图，在长方体中，为的中点，为靠近的三等分点，为与EF的交点，为BD的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 过E，F，D的平面截长方体所得截面是四边形 B. 直线上存在点使O，N，M三点共线 C. 三条直线有公共点 D. 直线与直线OE异面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：作出相应辅助线，根据平行关系可证，即可得截面图形；对于B：可知与相交，即可判断；对于C：设，，计算可得、不为同一点；对于D：根据异面直线的判定定理分析判断.. 【详解】对A：取上靠近的三等分点，上靠近的三等分点， 连接、、、，由为靠近的三等分点， 则为中点，故， 由为靠近的三等分点，故， 又，故四边形是平行四边形，故， 则，故四边形即为过E，F，D的平面截长方体所得截面，故A正确； 对B：因为均在平面内，连接，则与相交， 所以直线上存在点使，，三点共线，故B正确； 对C：设，由为的中点，， 则为的中位线，故； 设，由为靠近的三等分点，， 则与的相似比为，故； 故、不为同一点，即三条直线，没有公共点，故C错误； 对D：因为平面，平面，， 所以直线与直线是异面直线，故D正确. 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则符合条件的有两个 C. 若为锐角三角形，则 D. 若是钝角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项根据三角形边角关系逐项判断.A项可通过构造反例说明命题不成立；B项利用正弦定理把边角关系转化为的值，再结合判断角有两个可能值，并验证两种情况都能构成三角形；C项利用锐角三角形中，把转化为比较；D项设钝角为，先证明，再结合判断所给不等式. 【详解】对于A项，取，则， 但，，所以， 与选项中的不符，故A项错误. 对于B项，由正弦定理得，所以. ，从而. 因此满足的角有两个可能值. 设较小的角为，则为锐角，且由得； 另一个角为，且. 当时，； 当时，， 因为.所以这两个角都能与构成三角形，符合条件的有两个，故B项正确. 对于C项，若为锐角三角形，则， 所以 ，即. 又与 均为锐角，且在上单调递增， 所以 ，故C项正确. 对于D项，不妨设为钝角，则， 于是，均为锐角，故 ，且. 由于 ，所以.又， 其中，故必有，即. 于是 . 因为且，所以， 从而 ，故D项正确. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若某圆锥侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥体积为______． 【答案】 【解析】 【详解】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为， 则圆锥侧面积为，所以， 又圆锥侧面积也可表示为，所以， 所以该圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为. 13. 如图，平面四边形ABCD中，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由得到，.在中，将转化为，再结合已知条件求出.由得到，最后在中用余弦定理求. 【详解】因为，所以，. 在中，由正弦定理可得， 又已知，所以. 因为，且，所以，从而，故. 又因为，所以. 在中，由余弦定理得， 所以. 14. 已知平面向量满足，则的最小值是__________，最大值是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，已知条件变为，，问题变为求的最值，把已知条件平方，可求得，，结合数量积的性质和基本不等式可得，从而求得的范围，得出结论． 【详解】设，则，， 所以已知条件变为，， 平方得 即，， 所以即，，记，则 ， 又，所以 ，共线时等号成立， 又，所以，当且仅当时等号成立， 所以， ， 所以 ，所以 所以即的最大值为，最小值为3. 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量． （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1） 利用向量模的公式，以及数量积公式求解即可； （2）利用向量的夹角公式计算即可求解. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 因为， 所以，即 ， 得， 代入可得，解得． 16. 设函数，其中． （1）求的最小正周期； （2）若，其中，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数周期公式计算即可得； （2）由可计算出，再利用两角和的余弦公式计算即可得. 【小问1详解】 由 ， 故的最小正周期； 【小问2详解】 若，则，即， 又因为，所以或，即或， 当时，； 当时，． 17. 如图，正三棱柱中，是棱的中点． （1）设E为棱的中点，为棱上一点，求的最小值； （2）求三棱锥的体积； （3）求该正三棱柱的外接球的表面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用侧面展开解题； （2）法一，总体积减去多余的体积；法二，等体积换顶点体积； （3）确定正棱柱的外接球球心，求得半径，代入表面积公式. 【小问1详解】 将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示． 当A，F，E三点共线时，取得最小值， 且最小值为． 【小问2详解】 法一：因为为等边三角形，， 所以的面积，又， 所以， ， ， 所以． 法二：因为的面积，， 所以． 【小问3详解】 设正三棱柱两底面中心分别为，的中点为． 正三棱柱的外接球半径， 外接球表面积 ． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角，已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长； （3）若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式化简求解； （2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理求得，从而得三角形周长； （3）由正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式，二倍角公式，同角关系化为关于的式子，再由的范围求得结论． 【小问1详解】 在中，由及正弦定理、内角和定理，得 ， 即 ，故得 ，从而， 或， 而，故（舍去）． 【小问2详解】 由的面积为 又由余弦定理，得 ， 从而得， 所以的周长为． 【小问3详解】 由正弦定理得 为锐角三角形，由，得，则， 即，故， 得， 所以的范围是． 19. 如图，设Ox，Oy是平面内夹角为的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若向量，则把叫做向量在平面坐标系xOy中的坐标，记． （1）在仿射坐标系中，若向量，求的坐标； （2）在仿射坐标系中，向量，向量．求在方向上的投影向量； （3）在仿射坐标系中，设，若对任意实数恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） 或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据共线向量的定义和向量的模的公式计算即可. （2）根据投影向量的计算公式求解即可. （3）先利用向量的模公式和向量的数量积的运算律化简不等式，然后根据二次函数的性质求出结果即可. 【小问1详解】 由，设 由此， 即，可得，故 或 ． 【小问2详解】 因为， 所以， 故在方向上的投影向量 【小问3详解】 因为，所以， ， ， ， 由，得， 所以 ， 即 对任意实数恒成立， 又因为，所以 ， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $