湖北省沙市中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高一下学期期中数学试卷，通过集合、复数等基础题与解三角形、费马点等综合题，考查数学眼光、思维与语言，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量等基础|注重概念辨析，如向量投影考查几何直观| |多选题|3/18|复数性质、三角函数图像|分层设选项，主动降噪耳机情境体现数学应用| |填空题|3/15|坐标运算、铁塔测量、费马点|结合文化与实践，费马点问题传承数学文化| |解答题|5/77|向量运算、解三角形、几何综合|综合性强，三角形重心问题考查逻辑推理与数学建模|

2025—2026学年度下学期2025级 期中考试数学试卷 命题人：冷劲松 审题人：裴艳、郭松 考试时间：2026年4月23日 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求. 1．已知集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2．若复数满足，其中为虚数单位.则（ ） A. 5 B. 10 C. D. 3．已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则（ ） A. 0 B. C. D. 4．若函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 5．已知，则（ ） A. B. C. D. 6．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 7．在中，内角所对的边分别为，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 8．如图，在平面四边形中，，，，，，若点为边AD上的动点，则的最小值为（ ） A.1 B. C. D. 2 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，为复数，是虚数单位，下列说法正确的有（ ） A.若为纯虚数，其中，则或 B. 若，则 C. 若复数z满足，则 D. 若，则的最大值为2 10．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 曲线的对称轴为 D. 将图象向左平移个单位后得到的图象 11．在中，内角所对的边分别为，且满足，则下列说法正确的是（     ） A． B．角可能是锐角 C．若，则面积的最大值为2 D．若在上的投影向量模长为，则的值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知点，且，则点的坐标为                   ． 13．为了测量某铁塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为，若，则铁塔OT的高度为                    米. 14．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且满足，，则的值为                    ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．已知． （1）若，的夹角为，求； （2）若，求与的夹角θ的余弦值． 16．已知中，内角所对的边分别为，且（其中为的面积）. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 17．的内角所对的边分别为,已知． （1）求； （2）若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 18．已知，函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得的图象在区间内恰有一个对称中心，求的取值范围； （3）若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 19．如图，已知△ABC为等边三角形，点G是△ABC内一点．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，且，． （1）若，求； （2）若点G是△ABC的重心，设△ADE的周长为，△ABC的周长为． （i）求的值； （ii）设，记，求的值域． 高一下学期期中考试数学参考答案 1-8 ADCB C DDB 9.BCD 10.ABC 11. ACD 12. 13. 14.-4 11．BCD 【详解】由可得， 因为，代入可得，则， 因为，则为钝角，故B错误； 由和余弦定理，可得，整理，故A正确； 对于C，由上分析，，则， 于是，的面积，因为，则，即代入上式，可得：， 故当时，取得最大值为2，即C正确； 对于D，因在上的投影向量为，依题意，， 化简得，即，由B项知，为钝角，则为锐角， 故由可得，再由和正弦定理，可得， 则，展开得，即，因为，则得，故，则，故D正确.故选：BCD. 15.【小问1详解】 ，的夹角为，， 【小问2详解】与的夹角为，若，则，即，所以，即，所以． 16.【小问1详解】 ，则，所以，又，则； 【小问2详解】设的外接圆半径为，由正弦定理，， 则 ， 由△ABC为锐角三角形及,则，，， 则， 即的取值范围是 17.【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 则，又所以， 因为在中，，所以. （2）由余弦定理得：，即有①；设为的中点，即，又因为， 所以，即②， 由①，②得：，所以，所以． 因为为的平分线，所以， 则，即． 18. 【小问1详解】 ，所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 由题意得变换后的函数解析式为，当， 函数在区间内恰有一个对称中心，即函数在恰有一个对称中心，故，解得，所以的取值范围为. 【小问3详解】 当时，， 作出函数在上的图象，如图所示： 函数在上有唯一零点， 即方程在上有唯一解， 令，方程可化为，当关于的方程只有一个根时， 若方程在上有唯一解，则关于的方程的根，令，解得，此时方程的根为，符合题意； 当关于的方程有两个根时，若方程在上有唯一解， 则关于的方程的两个根，， 当时，方程只有一个根，不符合题意，则，， 因为函数的对称轴为，所以方程的两个根，一个小于，一个大于，所以若，则恒成立，所以仅需满足即可， 所以，解得.综上所述，的取值范围为. 19. 【小问1详解】 连接并延长，交于点，设，则， 又三点共线，所以，， 则，， 又，所以，所以. 【小问2详解】 （i）连接AG并延长，交BC于点F，因为G为重心，所以F为BC中点，所以，所以, 又D，G，E三点共线，所以，则． （ii）设△ABC的边长为1，则，，（） 在△ADE中，， 所以，所以， 因为，， 所以， 因为，所以， 因为，，所以，，又，则有， 因为，所以， 因为，，所以的最小值为，最大值为，所以，单调递增，则， 所以，即的值域为． 学科网（北京）股份有限公司 $