2025-2026学年青岛版数学八年级下册期中模拟卷（二）

2025-2026学年青岛新版八下数学期中模拟卷（二） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 2．函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B．且x≠1 C． D．且x≠1 3．如图，AC是矩形ABCD的对角线，分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧交于点E、F，直线EF交AD于点M，交BC于点N，若AM＝8，DM＝2，则边AB的长为（　　） A．6 B．10 C．2 D．2 4．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法： ①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形； ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形； ④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形． 其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE，连接AC，AE，则∠EAC的度数为（　　） A．30° B．35° C．20° D．15° 6．已知|a|＝4，，且，则a+b的值为（　　） A．﹣2或﹣10 B．2或10 C．10 D．﹣10 7．一次函数y1＝ax+b与一次函数y2＝bx﹣a（a，b均为常数，且ab≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝5，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC以每秒1个单位长度的速度匀速向终点C运动，设运动时间为t秒．下列说法正确的有（　　） ①线段EF的长度先减小后增大；②当时，EF的值最小；③当t＝6时，EF＝5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝4，CE＝2，H是AF的中点，那么CH的长为（　　） A． B． C． D． 10．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A．乙用6分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D．甲乙两人之间的最远距离是960米 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．若是正比例函数，则（a﹣b）2025的值是 　 　 ． 12．已知，则a2026﹣b2026的值是　 　 ． 13．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则EF的长为　 　 ． 14．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，C是OA上的一点，若△ABC将沿BC折叠，点A恰好落在y轴上的点A'处，则点C的横坐标是 　 　 ． 15．如图①，一种圆环的外圆直径是8cm，环宽1cm．如图②，把2个这样的圆环扣在一起并拉紧，如图③，把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为ycm，则y与x之间的关系式是　 　 ． 16．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB＝CD，∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠GEF的大小是 　 ． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）计算： ①． ②． 18．（10分）如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点． （1）求证：四边形DEFG为平行四边形； （2）若DG⊥BH，AD＝4，EF＝3，求线段HG的长度． 19．（8分）郑州市中原区某校在校园内建立了一处劳动教育基地．现学校选定基地中土壤水平及光照时长相同的一块地，来种植甲、乙两种菜苗．从种植开始，每隔两天记录一次数据．数据记录如下： 已种菜苗天数x/天 0 2 4 6 8 … 甲种菜苗高度y1/cm 3 6 9 12 15 … 乙种菜苗高度y2/cm 8 10 12 14 16 … 通过分析数据，我们可以得到甲、乙两种菜苗的高度y1，y2（单位：cm）与已种菜苗天数x（单位：天）均为一次函数关系． （1）在平面直角坐标系中分别画出甲、乙两种菜苗的高度y1，y2关于已种菜苗天数x（x≥0）的函数图象，并求出y1，y2关于x的函数关系式； （2）根据实践经验可知：这两种菜苗均在高度达到60cm时成熟，请问哪种菜苗先成熟，并说明理由． 20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在边BC上，点F在边BC的延长线上，四边形AEFD的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，且PD＝PE，DE平分∠ADF． （1）求证：四边形AEFD是菱形； （2）如果BC＝EF，∠EDC＝∠EFP，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A和点C的坐标分别为（0，2）和（﹣1，0），直线AB的表达式为y＝kx+b，与x轴交于点N． （1）点B的坐标为 　 　 ． （2）求直线AB的函数表达式． （3）在x轴上有一点D，已知直线AD把△AON的面积分为1：2两部分，请直接写出点D的坐标． （4）在线段AN上是否存在点P，使△ACP的面积为4？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（12分）为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，1棵成年的阔叶树种（例如杨树）和1棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收282千克二氧化碳，而5棵成年的阔叶树种（例如杨树）和6棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收1520千克二氧化碳． （1）每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ （2）某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． ①求w与a的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 23．（12分）阅读以下的例题求解：例：已知x＞0，求函数y＝x+的最小值． 解：令a＝x，b＝，则有a+b≥2，得y＝x+≥2＝4，当且仅当x＝时，即x＝2时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题： ①已知x＞0，则当x＝　 　 时，函数y＝2x+取到最小值，最小值为　 　 ； ②用篱笆围一个面积为100m2的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆周长是多少？ ③已知x＞0，则自变量x取何值时，函数取到最大值，最大值为多少？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青岛新版八下数学期中模拟卷（二） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． ( 【解答】 解： A 、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B 、被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C 、被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意； D 、 是最简二次根式，符合题意； 故选： D ． ) 2．函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B．且x≠1 C． D．且x≠1 ( 【解答】 解：函数的自变量 x 的取值范围是 ， 解得： ， 故选： C ． ) 3．如图，AC是矩形ABCD的对角线，分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧交于点E、F，直线EF交AD于点M，交BC于点N，若AM＝8，DM＝2，则边AB的长为（　　） A．6 B．10 C．2 D．2 ( 【解答】 解：连接 CM ， 由题意知， EF 是线段 AC 的垂直平分线， ∴ AM ＝ CM ＝8， ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴∠ D ＝90 ° ， AB ＝ CD ， ∴ CD ＝ ＝ ＝2 ． ∴ AB ＝2 ． 故选： D ． ) 4．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法： ①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形； ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形； ④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形． 其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ( 【解答】 解： ∵ DE ∥ CA ， DF ∥ BA ， ∴ 四边形 AEDF 是平行四边形，选项 ① 正确； 若 ∠ BAC ＝90 ° ， ∴ 平行四边形 AEDF 为矩形，选项 ② 正确； 若 AD 平分 ∠ BAC ， ∴∠ EAD ＝ ∠ FAD ， 又 DE ∥ CA ， ∴∠ EDA ＝ ∠ FAD ， ∴∠ EAD ＝ ∠ EDA ， ∴ AE ＝ DE ， ∴ 平行四边形 AEDF 为菱形，选项 ③ 正确； 若 AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ， ∴ AD 平分 ∠ BAC ， 同理可得平行四边形 AEDF 为菱形，选项 ④ 错误， 则其中正确的个数有3个． 故选： C ． ) 5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE，连接AC，AE，则∠EAC的度数为（　　） A．30° B．35° C．20° D．15° ( 【解答】 解： ∵ 在正方形 ABCD 的外侧，作等边 △ DCE ， ∴ AD ＝ DE ， ∠ ADC ＝90 ° ， ∠ CDE ＝60 ° ， ∠ DAC ＝45 ° ， ∴∠ ADE ＝ ∠ ADC + ∠ CDE ＝90 ° +60 ° ＝150 ° ， ∵ AD ＝ DE ， ∴ ， ∴∠ EAC ＝ ∠ DAC ﹣∠ DAE ＝45 °﹣ 15 ° ＝30 ° ， 故选： A ． ) 6．已知|a|＝4，，且，则a+b的值为（　　） A．﹣2或﹣10 B．2或10 C．10 D．﹣10 ( 【解答】 解： ∵ | a |＝4， ， ∴ a ＝ ± 4， b ＝ ± 6， ∵ ， ∴ a ﹣ b ＜0， ∴ a ＝4， b ＝6或 a ＝ ﹣ 4， b ＝6， ∴ a + b ＝10或2， 故选： B ． ) 7．一次函数y1＝ax+b与一次函数y2＝bx﹣a（a，b均为常数，且ab≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） ( 【解答】 解： A ：函数 y 1 ＝ ax + b 的图象经过第一、三、四象限，则 a ＞0， b ＜0，函数 y 2 ＝ bx ﹣ a 的图象经过第二、三、四象限，则 a ＞0， b ＜0，故选项 A 符合题意； B ：函数 y 1 ＝ ax + b 的图象经过第一、二、三象限，则 a ＞0， b ＞0，函数 y 2 ＝ bx ﹣ a 的图象经过第一、二、四象限，则 a ＜0， b ＜0，故选项 B 不符合题意； C ：函数 y 1 ＝ ax + b 的图象经过第一、三、四象限，则 a ＞0， b ＜0，函数 y 2 ＝ bx ﹣ a 的图象经过第一、二、四象限，则 a ＜0， b ＜0，故选项 C 不符合题意； D ：函数 y 1 ＝ ax + b 的图象经过第一、二、四象限，则 a ＜0， b ＞0时，函数 y 2 ＝ bx ﹣ a 的图象经过第二、四象限，则 a ＝0， b ＜0，故选项 D 不符合题意． 故选： A ． )A．B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝5，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC以每秒1个单位长度的速度匀速向终点C运动，设运动时间为t秒．下列说法正确的有（　　） ①线段EF的长度先减小后增大；②当时，EF的值最小；③当t＝6时，EF＝5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ( 【解答】 解： ① 如图，连接 AP ， ∵ PE ⊥ AB 于点 E ， PF ⊥ AC 于点 F ， ∠ A ＝90 ° ， ∴ 四边形 AEPF 是矩形， ∴ EF ＝ AP ， ∴ 在点 P 的运动过程中，线段 AP 的值先减小，后增大， ∴ 在点 P 的运动过程中，线段 EF 的值先减小，后增大，故 ① 符合题意； ) ( ③ ∵ t ＝6， ∴ BP ＝6， 如图，连接 EF ，或 A 作 AH ⊥ BC 于 H ， 则 BH ＝ ， AH ＝ ， ∴ PH ＝ BP ﹣ BH ＝ ， ∴ EF ＝ AP ＝ ＝ .故 ③ 不符合题意； 故选： C ． ) ( ② 当 AP ⊥ BC 时，线段 AP 的值最小， ∴ 线段 EF 的值最小， ∵∠ A ＝90 ° ， ∠ C ＝30 ° ， ∴∠ B ＝60 ° ， ∵∠ APB ＝90 ° ， ∴∠ BAP ＝30 ° ， ∴ BP ＝ ＝ ， ∴ ， ∴ 当 时， EF 的值最小，故 ② 符合题意； ) 9．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝4，CE＝2，H是AF的中点，那么CH的长为（　　） A． B． C． D． ( 【解答】 解：连接 AC 、 CF ，如图， ∵ 四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形， BC ＝4， CE ＝2， ∴∠ ACD ＝45 ° ， ∠ FCG ＝45 ° ， ， ， ∴∠ ACF ＝45 ° +45 ° ＝90 ° ， 在Rt △ ACF 中， ， ∵ H 是 AF 的中点， ∴ ． 故选： A ． ) 10．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A．乙用6分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D．甲乙两人之间的最远距离是960米 ( 【解答】 解：由图知，10 ﹣ 4＝6（分）， ∴ 乙用6分钟追上甲， ∴ A 正确，不符合题意； 甲的速度为240 ÷ 4＝60（米/分）， 乙追上甲时，二人离终点的距离为3000 ﹣ 60 × 10＝2400（米）， ∴ 乙追上甲后，再走2400米才到达， ∴ B 正确，不符合题意； 乙的速度为60 × 10 ÷ （10 ﹣ 4）＝100（米/分）， 乙到达终点所用的时间为3000 ÷ 100＝30（分）， 当乙到达终点时甲走的路程为60 × （30+4）＝2040（米）， 当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为3000 ﹣ 2040＝960（米）， ∴ D 正确，不符合题意； ∵ 当乙到达终点时甲走的路程为2040米， ∴ 甲还需要（3000 ﹣ 2040） ÷ 60＝16（分）到达终点， ∴ 甲到终点时，乙已经在终点处休息了16分钟， ∴ C 错误，符合题意， 故选： C ． ) 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．若是正比例函数，则（a﹣b）2025的值是 　﹣1　 ． ( 【解答】 解： ∵ 是正比例函数， ， 解得 ， ∴ （ a ﹣ b ） 2025 ＝（1 ﹣ 2） 2025 ＝ ﹣ 1， 故答案为： ﹣ 1． ) 12．已知，则a2026﹣b2026的值是　0　 ． ( 【解答】 解：由题意得： a ﹣ 1 ≥ 0，1 ﹣ a ≥ 0， 则 a ＝1， ∴ b ＝ ﹣ 1， ∴ a 2026 ﹣ b 2026 ＝1 2026 ﹣ （ ﹣ 1） 2026 ＝0， 故答案为：0． ) 13．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则EF的长为　2　 ． ( 【解答】 解：如图，延长 AC ， BE 交于点 M ， ∵ AE ⊥ BE ， AE 平分 ∠ CAB ， ∴ BE ＝ EM ， ∠ ABE ＝ ∠ AME ， ∴ AB ＝ AM ＝10， 又 ∵ F 是 BC 的中点， ∴ EF 为 △ BCM 的中位线， ∴ EF ＝ MC ＝ （ MA ﹣ CA ）＝2． ) 14．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，C是OA上的一点，若△ABC将沿BC折叠，点A恰好落在y轴上的点A'处，则点C的横坐标是 　　 ． ( 【解答】 解：一次函数 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点， 当 x ＝0时， y ＝3，当 y ＝0时， x ＝ ﹣ 4， ∴ A （ ﹣ 4，0）， B （0，3）， ∴ ， ∵△ ABC 将沿 BC 折叠，点 A 恰好落在 y 轴上的点 A '处， ∴△ ABC ≌△ A ' BC ， AB ＝ A ′ B ， AC ＝ A ′ C ， ∴ OA '＝ A ' B ﹣ OB ＝5 ﹣ 3＝2， 设 OC 为 x ，那么 AC ＝ A ' C ＝4 ﹣ x ， ∵ A ' O 2 + OC 2 ＝ A ' C 2 ，即2 2 + x 2 ＝（4 ﹣ x ） 2 ， 解得： ， ∴ ， ) 15．如图①，一种圆环的外圆直径是8cm，环宽1cm．如图②，若把2个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为　14　 cm；如图③，若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为ycm，则y与x之间的关系式是y＝6x+2　 ． ( 【解答】 解：由题意可得， 把2个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为：8+（8 ﹣ 1 ﹣ 1）＝14 cm ， 把 x 个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为 y 与 x 之间的关系式是： y ＝8+（8 ﹣ 1 ﹣ 1）（ x ﹣ 1）＝6 x +2， 故答案为：14， y ＝6 x +2． ) 16．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB＝CD，∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠GEF的大小是　 25° ． ( 【解答】 解： ∵ E ， G 分别是 AD ， BD 的中点， ∴ EG 是 △ ADB 的中位线， ∴ EG ＝ AB ， EG ∥ AB ， ∴∠ EGD ＝ ∠ ABD ＝20 ° ， 同理可得： FG ＝ CD ， FG ∥ CD ， ∴∠ DGF ＝180 °﹣∠ BDC ＝110 ° ， ∴∠ EGF ＝ ∠ EGD + ∠ FGD ＝130 ° ， ∵ AB ＝ CD ， ∴ EG ＝ FG ， ∴∠ GEF ＝ × （180 °﹣ 130 ° ）＝25 ° ) 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）计算： ①． ②． ( 【解答】 解： ① ＝ ＝ ＝ ﹣ 5． ) ( ② ＝ +3+4 ﹣ 4 ﹣ 2+2 ＝2+3+4 ﹣ 2 ﹣ 2 ＝7 ﹣ 2 ． ) 18．（10分）如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点． （1）求证：四边形DEFG为平行四边形； （2）若DG⊥BH，AD＝4，EF＝3，求线段HG的长度． ( 【解答】 （1）证明： ∵ 点 D 、 E 分别为 AB 、 AC 的中点，点 G 、 F 分别为 BH 、 CH 的中点， ∴ DE 是 △ ABC 的中位线， GF 是 △ HBC 的中位线， ∴ DE ∥ BC ， ， GF ∥ BC ， ， ∴ DE ∥ GF ， DE ＝ GF ， ∴ 四边形 DEFG 为平行四边形； （2）解： ∵ 四边形 DEFG 为平行四边形， ∴ DG ＝ EF ＝3， ∵ DG ⊥ BH ， ∴∠ DGB ＝90 ° ， ∴ ， ∵ G 为 BH 中点， ∴ 线段 BH 的长度为 ， ∴ GH ＝ ． ) 19．（8分）为加强劳动教育，落实五育并举，郑州市中原区某校在校园内建立了一处劳动教育基地．现学校选定基地中土壤水平及光照时长相同的一块地，来种植甲、乙两种菜苗．从种植开始，每隔两天记录一次数据．数据记录如下： 已种菜苗天数x/天 0 2 4 6 8 … 甲种菜苗高度y1/cm 3 6 9 12 15 … 乙种菜苗高度y2/cm 8 10 12 14 16 … 通过分析数据，我们可以得到甲、乙两种菜苗的高度y1，y2（单位：cm）与已种菜苗天数x（单位：天）均为一次函数关系． （1）在平面直角坐标系中分别画出甲、乙两种菜苗的高度y1，y2关于已种菜苗天数x（x≥0）的函数图象，并求出y1，y2关于x的函数关系式； （2）根据实践经验可知：这两种菜苗均在高度达到60cm时成熟，请问哪种菜苗先成熟，并说明理由． ( 【解答】 解：（1） y 1 ， y 2 关于 x 的函数图象如图所示： 设 y 1 关于 x 的函数关系式为 y 1 ＝ k 1 x + b 1 （ k 1 、 b 1 为常数，且 k 1 ≠ 0）， 将坐标（0，3）和（2，6）分别代入 y 1 ＝ k 1 x + b 1 ， 得 ， ) ( 解得 ， ∴ y 1 关于 x 的函数关系式为 y 1 ＝ x +3； 设 y 2 关于 x 的函数关系式为 y 2 ＝ k 2 x + b 2 （ k 2 、 b 2 为常数，且 k 2 ≠ 0）， 将坐标（0，8）和（2，10）分别代入 y 2 ＝ k 2 x + b 2 ， 得 ， 解得 ， ∴ y 2 关于 x 的函数关系式为 y 2 ＝ x +8． （2）甲种菜苗先成熟．理由如下： 当 y 1 ＝60时，得 x +3＝60， 解得 x ＝38； 当 y 2 ＝60时，得 x +8＝60， 解得 x ＝52， ∵ 38＜52， ∴ 甲种菜苗先成熟． ) 20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在边BC上，点F在边BC的延长线上，四边形AEFD的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，且PD＝PE，DE平分∠ADF． （1）求证：四边形AEFD是菱形； （2）如果BC＝EF，∠EDC＝∠EFP，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． ( 【解答】 （1）证明： ∵ AD ∥ EF ， ∴∠ ADP ＝ ∠ FED ， ∵ DE 平分 ∠ ADF ， ∴∠ ADP ＝ ∠ FDE ， ∴∠ FDE ＝ ∠ FED ， ∴ DF ＝ EF ， 在 △ ADP 与 △ FEP 中， ， ∴△ ADP ≌△ FEP （ ASA ）， ∴ AD ＝ EF ， ∴ 四边形 AEFD 是平行四边形， ∵ DF ＝ EF ， ∴ 四边形 AEFD 是菱形； （2）解：四边形 ABCD 为矩形， 理由： ∵ AD ＝ EF ， AD ∥ EF ， BC ＝ EF ， ∴ AD ∥ BC ， AD ＝ BC ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∵ DF ＝ EF ， PD ＝ PE ， ∴ FP ⊥ DE ， ∵∠ EDC ＝ ∠ EFP ， ∠ CQF ＝ ∠ DQP ， ∴∠ DPQ ＝ ∠ FCQ ＝90 ° ， ∴∠ BCD ＝90 ° ， ∴ 四边形 ABCD 为矩形． ) 21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A和点C的坐标分别为（0，2）和（﹣1，0），直线AB的表达式为y＝kx+b，与x轴交于点N． （1）点B的坐标为 　（﹣3，1）　 ． （2）求直线AB的函数表达式． （3）在x轴上有一点D，已知直线AD把△AON的面积分为1：2两部分，请直接写出点D的坐标． （4）在线段AN上是否存在点P，使△ACP的面积为4？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． ( 【解答】 解：（1）过点 B 作 BH ⊥ x 轴于点 H ，如图所示： 则有 ∠ BHC ＝90 ° ， ∵ A （0，2）， C （ ﹣ 1，0）， ∴ OA ＝2， OC ＝1， ∵∠ ACB ＝90 ° ， AC ＝ BC ， ∴∠ ACO + ∠ BCH ＝90 ° ， ∵∠ ACO + ∠ CAO ＝90 ° ， ∴∠ BCH ＝ ∠ CAO ， 在 △ ACO 和 △ CBH 中， ， ∴△ ACO ≌△ CBH （ AAS ）， ∴ CH ＝ OA ＝2， BH ＝ OC ＝1， ∴ OH ＝3， ∴ B （ ﹣ 3，1）， 故答案为：（ ﹣ 3，1）； ) ( （2）将点 A （0，2），点 B （ ﹣ 3，1）代入 y ＝ kx + b ， 得 ， 解得 ， ∴ 直线 AB 的解析式为 y ＝ x +2； （3）令 y ＝ x +2＝0， 解得 x ＝ ﹣ 6， ∴ 点 N 坐标为（ ﹣ 6，0）， ∴ ON ＝6， ∴ S △ AON ＝ ON • AO ＝ × 6 × 2＝6， 设 OD ＝ x ， 分情况讨论： ① S △ AOD ： S △ AND ＝1：2时， 即 × 2 x ＝ × 6， 解得 x ＝2， ∴ 点 D 坐标为（ ﹣ 2，0）； ② S △ AOD ： S △ AND ＝2：1时， 即 × 2 x ＝ × 6， 解得 x ＝4， ∴ 点 D 坐标为（ ﹣ 4，0）， 综上所述，满足条件的点 D 坐标为（ ﹣ 2，0）或（ ﹣ 4，0）； （4）存在点 P ， 设点 P 坐标为（ p ， p +2）， ∵ N 点坐标为（ ﹣ 6，0）， C 点坐标为（ ﹣ 1，0）， ∴ CN ＝5， ∵ S △ ACP ＝ S △ AON ﹣ S △ NCP ﹣ S △ ACO ， 根据题意，得6 ﹣ × 5（ p +2） ﹣ × 2 × 1＝4， 解得 p ＝ ﹣ ， ∴ 点 P 坐标为（ ﹣ ， ）． ) 22．（12分）为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，1棵成年的阔叶树种（例如杨树）和1棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收282千克二氧化碳，而5棵成年的阔叶树种（例如杨树）和6棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收1520千克二氧化碳． （1）每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ （2）某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． ①求w与a的函数关系式； ( 【解答】 解：（1）设每棵成年的针叶树种每年大约吸收的二氧化碳 y 千克，每棵成年的阔叶树种每年大约吸收的二氧化碳 x 千克， 根据题意得 ， 解得 ， 答：每棵成年的阔叶树种每年大约吸收的二氧化碳172千克，每棵成年的针叶树种每年大约吸收的二氧化碳110千克； 解：（2） ① 由题意得， w ＝172 a +110（100 ﹣ a ） ＝172 a +11000 ﹣ 110 a ＝62 a +11000； ② 由题意得 ， 解得 ， 由 ① 得， w ＝62 a +11000， ∴ w 随 a 的增大而增大， ∵ a 为正整数， ∴ 当 a ＝33时， w 有最大值， 此时100 ﹣ 33＝67（棵）， 答：采购杨树33棵、冷杉67棵，一年内吸收的二氧化碳总量最大． )②杨树会产生较多的飘絮，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 23．（12分）阅读以下的例题求解：例：已知x＞0，求函数y＝x+的最小值． 解：令a＝x，b＝，则有a+b≥2，得y＝x+≥2＝4，当且仅当x＝时，即x＝2时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题： ①已知x＞0，则当x＝　　 时，函数y＝2x+取到最小值，最小值为　2　 ； ②用篱笆围一个面积为100m2的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆周长是多少？ ( 【解答】 解： ① ∵ 令 a ＝2 x ， b ＝ ，则有 a + b ≥ 2 ， ∴ y ＝2 x + ≥ 2 ＝2 ，当且仅当2 x ＝ 时，取等号， ∴ x ＝ 时，函数有最小值，最小值为2 ． 故答案为： ，2 ； ② 设这个矩形的长为 xm ，篱笆周长是 ym ， ∵ 面积为100 m 2 ， ∴ 宽为 m ， ∴ y ＝2（ x + ） ≥ 4 ＝40，当且仅当 x ＝ 时，即 x ＝10时，函数有最小值，最小值为40， ∴ 这个矩形的长为10 m 、宽为10 m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆周长是40 m ． ③ ∵ y ＝ ＝ ＝ ， 又 ∵ x + ≥ 2 ＝6，当且仅当 x ＝ 时， x + 有最小值， ∵ x ＞0， ∴ 当 x ＝3时， x + 有最小值，最小值为6， ∴ 此时 y 有最大值，最大值为： y ＝ ＝ ； ∴ 当 x ＝3时，函数 取到最大值，最大值为 ． )③已知x＞0，则自变量x取何值时，函数取到最大值，最大值为多少？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $