精品解析：江西上饶市鄱阳县湖城学校2025-2026学年第二学期九年级数学期中试卷

江西上饶市鄱阳县湖城学校2025-2026学年第二学期九年级数学期中试卷 总分：120分 完卷时间：120分钟 温馨提示：请各位考生将答案写在答题卷上，答案写在本卷上一律无效！ 一、细心选一选，你一定准！（每小题3分，共18分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 在，，，0这四个数中，最小的实数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. B. 1 C. 15 D. 17 6. 如图，的中线与交于点，连接，若的周长为8，则的周长为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 二、仔细填一填，你一定行！（每小题3分，共18分） 7. 已知，，那么的值为______． 8. 若、是一元二次方程的根，则的值为_______． 9. 已知某人的身份证号是：321282201109081221，那么他出生的月份是____月． 10. 下表是某校女子排球队队员的年龄分布． 年龄/岁 13 14 15 16 频数 1 1 7 3 则该校女子排球队队员年龄的众数是______． 11. 双曲线与直线相交于A，B两点，过点B作轴于C，连接，则的面积是______． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝12，点D为BC的中点，点E为AB上一点，把△BDE沿DE翻折得到△FDE，若FE与△ABC的直角边垂直，则BE的长为 _____． 三、认真做一做，你一定棒！（本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13. （1）计算： （2）解不等式组： 14. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 15. 如图，点C是的直径延长线上一点，点D在上，，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，作，使； （2）在图2中，作一个角，使之与互余． 16. 如图，直线与直线交于点，且两直线分别与x轴交于点A，B． （1）求k，m的值． （2）求的面积． 17. 2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 （1）从这12个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； （2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享．请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，． （1）求k的值： （2）点C在这个反比例函数图像上，且，求OC的长． 19. 为了学生的心理健康，某校邀请心理健康专家为全校学生举办了讲座，科普心理知识．为了解讲座的教育效果，该校从全校学生中随机抽取部分学生，对他们在听讲座前后关于心理健康知识的了解程度（：非常了解；：基本了解；：了解较少；：一点都不了解）的情况进行了调查，并根据调查结果，绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 听讲座前学生对心理健康知识 听讲座前后学生对心理健康知识 了解程度的频数分布直方图 了解程度的折线统计图 根据图中信息回答下列问题． （1）本次被调查的学生共有___________人，听讲座前，学生对心理健康知识一点都不了解的人数占比是___________； （2）补全频数分布直方图和折线统计图； （3）若讲座能让对心理健康知识一点都不了解的学生人数清0，就认为讲座效果明显，否则不明显，请你根据补全的折线统计图，判断：讲座的效果___________；（填“明显”或“不明显”） （4）若该校共有学生4000人，请你估算，听了心理健康讲座后，该校对心理健康知识一点都不了解的学生减少了多少人． 20. 某小区门口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．闸机是高为，宽为的矩形，已知，点O到的距离为，小区门口宽度为． （1）当曲臂杆与的夹角为时，求点A到地面的距离； （2）因机器出现故障，曲臂杆最多可旋转，有一辆宽为、高为的货车可否顺利通过门口?（参考数据：，，） 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1，是半圆的直径，菱形与半圆位于直线的同侧，对角线与相交于点． （1）判断点与半圆的位置关系，并说明理由； （2）如图2，过点作，垂足为，求证：是半圆的切线； （3）如图3，若，求图中阴影部分的面积． 22. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践 把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究． 已知是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在同侧增加特殊图形． 特例研究 （1）如图1，当四边形是正方形时，点A在对角线上，，则相似比为________． （2）如图2，当四边形是矩形时，经过的中点F，与是否相似？如果相似，求出它们的相似比． 类比探究 （3）如图3，当四边形是菱形时，以为直角边，点E为直角顶点，在边右侧再作一个等腰直角三角形，连接，，求，所在直线的夹角（锐角）的度数． （4）若（3）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西上饶市鄱阳县湖城学校2025-2026学年第二学期九年级数学期中试卷 总分：120分 完卷时间：120分钟 温馨提示：请各位考生将答案写在答题卷上，答案写在本卷上一律无效！ 一、细心选一选，你一定准！（每小题3分，共18分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 在，，，0这四个数中，最小的实数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数大于零，负数小于零，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴四个数中，最小的实数是． 故选：B． 2. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先移项、合并同类项解出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示为： 故选：A． 【点睛】此题考查一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集，关键是解出不等式的解集． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法及同底数幂的除法逐项判断即可求解． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误； B．，故此选项计算错误； C．，故此选项计算正确； D．，故此选项计算错误. 故选：C． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法及同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4. “月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题关键是正确理解左视图．注意看不见的线用虚线表示. 根据左视图是从左边看得到的图形解答即可． 【详解】解：从左边看是矩形，两条看不见的线把矩形分成三个相邻的矩形． 故选：D． 5. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. B. 1 C. 15 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系，结合一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，的中线与交于点，连接，若的周长为8，则的周长为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，是中位线，得到，得到，根据相似三角形的性质，得，解答即可． 本题考查了三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是中位线， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为8， ∴， 故选：B． 二、仔细填一填，你一定行！（每小题3分，共18分） 7. 已知，，那么的值为______． 【答案】26 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用完全平方公式进行变形，再代入即可． 【详解】解： ． 故答案为：26． 8. 若、是一元二次方程的根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、代数式求值问题，首先把m代入方程，可得，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，然后整体代入代数式，据此即可求得． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，， ， 故答案为：． 9. 已知某人的身份证号是：321282201109081221，那么他出生的月份是____月． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了用数字表示事件．身份证前六位为所在地的编号，接下来四位是出生年份，后边两位为出生的月份，即第十一、十二位． 【详解】解：第十一、十二位为09，所以他出生的月份是9月． 故答案为：9． 10. 下表是某校女子排球队队员的年龄分布． 年龄/岁 13 14 15 16 频数 1 1 7 3 则该校女子排球队队员年龄的众数是______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据众数的定义解答即可. 【详解】该校女子排球队队员的年龄频数最大的是15岁，出现了7次，因此该校女子排球队队员年龄的众数是15. 故答案为：15 【点睛】本题主要考查了众数的概念：众数是指一组数据中出现次数最多的那个数.练掌握众数的概念是解题的关键. 11. 双曲线与直线相交于A，B两点，过点B作轴于C，连接，则的面积是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数k的几何意义．根据题意得点A，B关于原点对称，即可得到，由反比例函数k的几何意义得到，即可得到结果． 【详解】解：双曲线与直线相交于A，B两点， 点A，B关于原点对称， ， ， 故答案为：2． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝12，点D为BC的中点，点E为AB上一点，把△BDE沿DE翻折得到△FDE，若FE与△ABC的直角边垂直，则BE的长为 _____． 【答案】2或6或6 【解析】 【分析】分三种情况：①当FE⊥BC，如图1设射线FE交BC于点G，由△BDE沿DE翻折得到△FDE，可得∠B=∠F=30°，∠BDE=∠FDE=∠BDF，再由EF⊥BC得∠BDE =∠B=30°，于是可求出BG=DG=3，从而可求出BE的长；②当EF⊥BC时，可得BE=2GE=6；③当EF⊥AC时，可得BE=BD=6． 【详解】解：①当FE⊥BC，设射线FE交BC于点G，如图1， ∠B=30°，△BDE沿DE翻折得到△FDE， ∠B=∠F=30°，∠BDE=∠FDE=∠BDF EF⊥BC， ∠BDF=90°-30°=60° ∠BDE=∠FDE=∠BDF=30°， ∠BDE =∠B=30°， FE⊥BC， BG=DG==3， 在中，∠B=30°，BG =3， BE=； ②当EF⊥BC时，如图2， ∠B=30°，EF⊥BC， ∠BEG=60°， △BDE沿DE翻折得到△FDE， ∠BED=∠FED=∠BEG=30°， ∠BED=∠B=30°， BE=BD==6， 在中，∠DEG=30°，DG=DE=3， GE=DG= 在Rt△BEG中，∠B=30°， BE=2GE=6√3； ③当EF⊥AC时，如图3， EF⊥AC，∠C=90°， EF// BC， ∠AEF=∠B=30° ， △BDE沿DE翻折得到△FDE， ∠BED=∠FED=∠BEF=75°， ∠BDE=180°-∠BED-∠B=75°， ∠BDE=∠BED， BE=BD==6， 综上所述BE的长为2或6或6， 故答案为：2或6或6． 【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是熟练运用含30°角的直角三角形三边关系． 三、认真做一做，你一定棒！（本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13. （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，二次根式的加减运算，以及求一元一次不等式组的解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先计算零次幂，绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，再合并即可得到结果； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集． 【详解】解：（1） ． （2）， 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 14. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将代入求解． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 15. 如图，点C是的直径延长线上一点，点D在上，，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，作，使； （2）在图2中，作一个角，使之与互余． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）延长交于点E，连接即可； （2）方法一：延长交于点E，延长交于点F，连接交于点M，则为所求；方法二：延长交于点P，过点作的直径，连接，交于点F，为所求． 【小问1详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为所求． 【小问2详解】 方法一：如图， ∵为直径， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴为所求． 方法二：如图， ∵为直径， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴为所求． 16. 如图，直线与直线交于点，且两直线分别与x轴交于点A，B． （1）求k，m的值． （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）24 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，直线围成的三角形面积等知识，属于基础知识，务必牢固掌握． （1）把点C坐标代入中，可求得m的值，从而可得点C的坐标；再把点C坐标代入中，即可求得k的值； （2）求出两直线与x轴的交点，即可求得的面积． 【小问1详解】 解：把点C坐标代入中，得：， ∴， 把代入，得：， 解得：， 综上，，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 令，则；令，则， ∴， ∴， ∴． 答：的面积为24． 17. 2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 （1）从这12个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； （2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享．请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 【答案】（1）①随机；②4，1 （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）①根据必然事件、随机事件和不可能事件的概念解答即可； ②概率公式逆运用可得m的值，再由可得n的值； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：①事件“该班跑步量达标率为”是随机事件； ②∵事件“该班跑步量达标率满足”的概率为， ∴， ∴， 故答案为：①随机；②4，1； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，． （1）求k的值： （2）点C在这个反比例函数图像上，且，求OC的长． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切函数的定义可求出OB的长度，进而根据反比例函数中k值的几何意义可求得k值． （2）连接OC,过点C作轴于点H，过点A作于点M，根据（1）中结论利用矩形的性质可求出OH，CH的长度，进而利用勾股定理可得OC长度． 【小问1详解】 解： 根据k值的几何意义可知： 【小问2详解】 解：如图所示，连接OC,过点C作轴于点H，过点A作于点M． 四边形AMHB是矩形 设，则， 解得：（舍去） 则 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用，涉及到勾股定理、矩形的判定与性质、以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的k值的几何意义是解决本题的关键． 19. 为了学生的心理健康，某校邀请心理健康专家为全校学生举办了讲座，科普心理知识．为了解讲座的教育效果，该校从全校学生中随机抽取部分学生，对他们在听讲座前后关于心理健康知识的了解程度（：非常了解；：基本了解；：了解较少；：一点都不了解）的情况进行了调查，并根据调查结果，绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 听讲座前学生对心理健康知识 听讲座前后学生对心理健康知识 了解程度的频数分布直方图 了解程度的折线统计图 根据图中信息回答下列问题． （1）本次被调查的学生共有___________人，听讲座前，学生对心理健康知识一点都不了解的人数占比是___________； （2）补全频数分布直方图和折线统计图； （3）若讲座能让对心理健康知识一点都不了解的学生人数清0，就认为讲座效果明显，否则不明显，请你根据补全的折线统计图，判断：讲座的效果___________；（填“明显”或“不明显”） （4）若该校共有学生4000人，请你估算，听了心理健康讲座后，该校对心理健康知识一点都不了解的学生减少了多少人． 【答案】（1）400，10 （2）作图见解析 （3）明显 （4）减少了400人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，折线统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． （1）根据折线统计图可得听讲座前组的人数为160人，结合频数分布直方图即可求解； （2）先求出听讲座后组的人数，再补全频数分布直方图和折线统计图即可； （3）根据折线统计图即可解答； （4）根据用样本估计总体求出听讲座前对心理健康知识一点都不了解的学生人数即可． 【小问1详解】 解：根据折线统计图可得听讲座前组的人数为160人， 故本次被调查的学生共有人， 听讲座前，学生对心理健康知识一点都不了解的人数占比是， 故答案为：400；10； 【小问2详解】 解：根据题意可得听讲座后组的人数为人， 故补全频数分布直方图和折线统计图如图： 【小问3详解】 解：根据折线统计图可得讲座的效果明显， 故答案为：明显． 【小问4详解】 解：（人）． 答：听了心理健康讲座后，该校对心理健康知识一点都不了解的学生约减少了400人． 20. 某小区门口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．闸机是高为，宽为的矩形，已知，点O到的距离为，小区门口宽度为． （1）当曲臂杆与的夹角为时，求点A到地面的距离； （2）因机器出现故障，曲臂杆最多可旋转，有一辆宽为、高为的货车可否顺利通过门口?（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）可顺利通过门口 【解析】 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，于点，交于点，利用直角三角形的边角关系定理解答即可； （2）假定曲臂杆旋转至如图所示的位置，过点作于点，过点作于点，于点，交于点，通过计算曲臂杆旋转至最高位置时，点的高度与货车的高度的比较，以及点距离大门的墙壁距离与货车的宽度比较即可. 【小问1详解】 过点作于点，过点作于点，于点，交于点，如图， 由题意得： ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ∴点到地面的距离； 【小问2详解】 一辆宽为、 高为的货车可顺利通过门口，理由： 假定曲臂杆旋转至如图所示的位置， 过点作于点，过点作于点，于点，交于点， 由题意得： ， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， 货车高度, ∴， ∴， ∵小区门口宽度为， ∴点距离大门口的墙壁的距离为 ，宽为， 综上，一辆宽为、 高为的货车可顺利通过门口． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1，是半圆的直径，菱形与半圆位于直线的同侧，对角线与相交于点． （1）判断点与半圆的位置关系，并说明理由； （2）如图2，过点作，垂足为，求证：是半圆的切线； （3）如图3，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）点在半圆上，理由见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接．由，O是中点，得，即得答案； （2）连接．由，，得，由，得，即得答案； （3）连接，过点E作于点G，∵，证明,得，证明是等边三角形，得，得，得，，得，，由计算即得答案． 【小问1详解】 解：点E在半圆O上．理由： 连接． ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 又∵是半圆O的直径， ∴O是中点． ∴， 因此点E到圆心O的距离等于半径，点E在半圆O上． 【小问2详解】 证明：连接． ∵菱形中，，由（1）知， ∴， ∵， ∴， 又是半圆O的半径，且E在半圆上， 故是半圆O的切线． 【小问3详解】 解：连接，过点E作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，由（1）知，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】连接，过点E作于点G，构造直角三角形斜边上的中线，等边三角形，含30度的直角三角形． 22. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，或 （3），，， 【解析】 【分析】（1）由题意得出，．结合轴对称的性质得出，再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设中点为，则，连接．设点，则．当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，由圆周角定理得出此时为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点．则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，再分两种情况：当在抛物线上时，当在抛物线上时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，． ∵对称轴， ∴． 设抛物线解析式为 由题意得， 解得， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：存在， ∵，， ∴． 设中点为，则，连接． 设点，则． 当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上， 此时，为直角，，则， ∴， 化简得， 解得，． ∴的坐标为或时，为直角． 【小问3详解】 解：设点． 则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为， 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴时，，时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴当时，，当时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 综上，满足题意的点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践 把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究． 已知是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在同侧增加特殊图形． 特例研究 （1）如图1，当四边形是正方形时，点A在对角线上，，则相似比为________． （2）如图2，当四边形是矩形时，经过的中点F，与是否相似？如果相似，求出它们的相似比． 类比探究 （3）如图3，当四边形是菱形时，以为直角边，点E为直角顶点，在边右侧再作一个等腰直角三角形，连接，，求，所在直线的夹角（锐角）的度数． （4）若（3）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究与之间的数量关系． 【答案】（1） （2）相似，相似比为 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，结合勾股定理得出，最后再由相似三角形的性质即可得出结果； （2）由等腰直角三角形的性质可得，，由矩形的性质可得，求出，得到为等腰直角三角形，设，则，结合题意求出，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果； （3）延长交于点，交的延长线于点，证明，得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （4）由（1）可得，由相似三角形的性质可得，分两种情况：当在直线右侧时；在直线左侧时，分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵点A在对角线上，， ∴，即相似比为； 【小问2详解】 解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ∵经过的中点F， ∴， ∵，， ∴， ∴，即相似比为； 【小问3详解】 解：如图，延长交于点，交的延长线于点， ∵、为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 即，所在直线的夹角（锐角）的度数为； 【小问4详解】 解：由（1）可得：， ∴， ∴， ∵A，D，E三点在同一条直线上， ∴分两种情况：如图，当在直线右侧时， 设，则，， 作于，于， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在直线左侧时，作于， 则， 设，则， ∴， 作于， 同理可得：四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $