精品解析：江苏太湖高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 2. 一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则质点A在时的瞬时速度为（单位：m/s）（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 3. 函数的极值点为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或 D. 4. 某班上午要上语文、数学、外语和体育四门课，外语老师因故不能上第三节和第四节，不同的排课方法有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 12种 D. 20种 5. 在的展开式中常数项是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数有三个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 某校6名同学打算去武汉旅游，现有黄鹤楼、古德寺、湖北省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为（ ） A. 180 B. 360 C. 540 D. 670 8. 已知函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数的导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在的展开式中（ ） A. 所有奇数项的二项式系数的和为32 B. 二项式系数最大的项为第4项 C. 有理项共有两项 D. 所有项的系数的和为1 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（） A. 第6行从左到右第3个数是15 B. 第n行的所有数字之和为 C. 第10行所有数字的平方和等于 D. 若第n行的第个数记为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中系数为________． 13. 某班4名同学去学校食堂就餐，他们在一号、二号、三号食堂都可能就餐，如果他们中有同学在一号食堂就餐，则他们在三个食堂就餐情况有__________种（用数字作答） 14. 过点的曲线的切线有2条，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 3名男生､4名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数： （1）甲不在最左边，乙不在最右边； （2）男生必须排在一起； （3）男生和女生相间排列； （4）在甲､乙两人中间必须有3人. 16. 已知函数在处取得极值． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 17. 已知的展开式中第7项为常数项． （1）求n的值； （2）求展开式中所有的有理项． 18. 已知，求证： （1）； （2）； （3）． 19. 已知函数 （1）当时，求在点处的切线方程； （2）求证：当时，函数在上单调递增； （3）若存在、，使得，且，求整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【详解】根据组合数性质，若，则或. 已知，显然，因此满足，所以. 2. 一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则质点A在时的瞬时速度为（单位：m/s）（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【详解】质点位移函数， . 令得 ，所以质点在时的瞬时速度为. 3. 函数的极值点为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或 D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 令，解得或. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递增. 所以函数在处取得极小值，极值点为. 4. 某班上午要上语文、数学、外语和体育四门课，外语老师因故不能上第三节和第四节，不同的排课方法有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 12种 D. 20种 【答案】C 【解析】 【详解】优先安排受限科目外语，外语只能排第、节，共种排法. 剩余语文、数学、体育三门课全排列，有种排法. 由分步乘法计数原理，总排课方法：种. 5. 在的展开式中常数项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】展开式通项为. 令，解得. 将代入通项得常数项：. 6. 若函数有三个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的导函数以及函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】函数，其导数， 令，解得极值点，. 时，，单调递增； 时，，单调递减，时，，单调递增. 所以极大值为， 极小值为. 因为函数有三个零点，所以，解得. 7. 某校6名同学打算去武汉旅游，现有黄鹤楼、古德寺、湖北省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为（ ） A. 180 B. 360 C. 540 D. 670 【答案】C 【解析】 【分析】分类考虑前往每个景区的人数，求出每种情况的方案数，即可得答案. 【详解】由题意，当每个景区都有2名同学前往时，此时方案有种； 当按分别有1，2，3名同学前往景区时，此时方案有种； 当按分别有1，1，4名同学前往景区时，此时方案有种； 故不同方案的种数为（种）， 故选：C 8. 已知函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为导函数在其定义域内有解，再求解即可. 【详解】函数的定义域为，导函数为. 函数存在单调递增区间，等价于存在使得. 因为，所以等价于 . 即在上有解. 对配方得，在上单调递增，. 要使在上有解，只需. 因此的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数的导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A：. 正确. 选项B：. 原式错误. 选项C：.原式错误. 选项D :. 正确. 10. 在的展开式中（ ） A. 所有奇数项的二项式系数的和为32 B. 二项式系数最大的项为第4项 C. 有理项共有两项 D. 所有项的系数的和为1 【答案】ABD 【解析】 【详解】展开式通项： A：奇数项二项式系数和,A正确. B：,展开共7项. 偶数次幂时中间项二项式系数最大. 中间项为第项,B正确. C：有理项的指数为整数,即 是3的倍数，即,共3项有理项,C错误. D：令,得所有项系数和,,D正确. 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（） A. 第6行从左到右第3个数是15 B. 第n行的所有数字之和为 C. 第10行所有数字的平方和等于 D. 若第n行的第个数记为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A. 杨辉三角第行对应二项式系数，第6行第3个数为,计算可得，与选项相符，故A正确. B. 根据二项式定理，令中，可得第行所有数和为, 并非，因此B错误. C. 先证明杨辉三角相关结论：第行各数平方和等于.代入，即得平方和为，故C正确. D. 由，将原式化为.由，可得等式成立，故D正确. 【详解】A.杨辉三角规定第行为，第行的数对应二项式系数，第行从左到右第个数对应，计算得，A正确. B.杨辉三角第行（不含第0行）的所有数为. 由二项式定理，令， 取，得，即第行数字之和为，不是，B错误. C.在“杨辉三角”中,第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字, 用数学语言表述为， 证明如下: 对应相乘可得的系数为. 而利用二项式定理可得通项公式为，当时,可得，即的系数为:，所以所以第10行所有数字的平方和等于，C正确. D.第行第个数，则求和式可替换为，令，得，由二项式定理，故，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中系数为________． 【答案】 【解析】 【详解】五次式展开， 项来自：从 个括号中选个取，剩下个取常数. 所以 的系数就是各因式中常数的和：. 13. 某班4名同学去学校食堂就餐，他们在一号、二号、三号食堂都可能就餐，如果他们中有同学在一号食堂就餐，则他们在三个食堂就餐情况有__________种（用数字作答） 【答案】65 【解析】 【分析】分在一号食堂就餐的同学有1个，2个，3个和4个同学，再分别讨论二号、三号食堂就餐的同学人数，然后综合利用组合，平均分组，排列，两个计数原理得出答案. 【详解】在一号食堂就餐的同学有1个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛3，0｝，｛1，2｝， 就餐情况共有种； 在一号食堂就餐的同学有2个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛1｝，｛2，0｝， 就餐情况共有种； 在一号食堂就餐的同学有3个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛1，0｝， 就餐情况共有种； 在一号食堂就餐的同学有4个，在二号、三号食堂就餐的同学人数集为｛0｝， 就餐情况共有有种 综上所述，他们在三个食堂就餐的情况总共有：种. 故答案为：65. 14. 过点的曲线的切线有2条，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】 设切点为,切线斜率 切线方程： 过： 化简可得 即 切线有条方程有个不等实根,即 即或即或 故 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 3名男生､4名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数： （1）甲不在最左边，乙不在最右边； （2）男生必须排在一起； （3）男生和女生相间排列； （4）在甲､乙两人中间必须有3人. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用位置分析法，结合排列的知识即可得解； （2）利用捆绑法即可得解； （3）利用插空法即可得解； （4）利用分步乘法计数原理，结合排列的知识即可得解. 【小问1详解】 依题意，先排最左边，除去甲外，有种，余下的6个位置全排有种， 但应剔除其中乙在最右边的排法数种， 则符合条件的排法共有种. 【小问2详解】 将男生看成一个整体，进行全排列，有种排法， 再与其他元素进行全排列，有种排法， 故共有种. 【小问3详解】 先排好男生，然后将女生插入男生所形成的四个空位，共有种. 【小问4详解】 从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有种， 将甲、乙看作一个整体，和其余2人排成一排的排法有种， 最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可， 共有种. 16. 已知函数在处取得极值． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）的单调递增区间为和, 单调递减区间为. （2）最大值为, 最小值为. 【解析】 【小问1详解】 对求导得. 因为在处取得极值，且在处导数存在. 所以， 即， 解得. 因此，. 令, 即, 解得或. 当时， ，单调递增; 当时，，单调递减; 当时， ， 单调递增. 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 区间端点及极值点的函数值： , , , . 因为，所以在上的最大值为，最小值为. 17. 已知的展开式中第7项为常数项． （1）求n的值； （2）求展开式中所有的有理项． 【答案】（1） （2）有理项为，，，，. 【解析】 【小问1详解】 二项式的通项公式为 . 化简得 第7项对应，即. 因第7项为常数项，故第七项的指数为，即，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，通项为，. 有理项要求为整数，即为偶数，所以易得. ； ； ； ； ， 展开式中的有理项为，，，，. 18. 已知，求证： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将题干等式两边同时求导化简即可得证； （2）由（1），令化简即可得证； （3）由（1）可得，等式两边同时求导后，令化简即可得证. 【小问1详解】 因为， 两边同时求导可得：， 所以成立； 【小问2详解】 由（1），令得， 化简可得成立； 【小问3详解】 由（1）可得，即， 两边同时求导可得， 令可得， 化简可得成立. 19. 已知函数 （1）当时，求在点处的切线方程； （2）求证：当时，函数在上单调递增； （3）若存在、，使得，且，求整数的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数结合基本不等式可得出对任意的恒成立，利用导数与函数单调性的关系可得出结论； （3）令，由化简整理得出，设，可知函数在上有零点，分析该函数的单调性可知，，其中，利用导数分析函数的单调性，求出满足的的最小整数值，即可得解. 【小问1详解】 当时，，则，所以，， 此时在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故对任意的恒成立， 故当时，函数在上单调递增. 【小问3详解】 令，因为、，则，且， 由可得， 所以，即， 整理可得， 设， 则函数在上有零点，易知， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以函数在上单调递增，故只需， 构造函数，其中，注意到， 则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，且， 因为，， 故满足的的最小整数值为，即，故， 所以整数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $