5.3.1 函数的单调性（第1课时）教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《5.3.1 函数的单调性（第1课时）》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求 结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，能求出函数的单调区间；了解函数与其导函数图象之间的联系，提升直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养. 课标分析 本节课是人教A版2019选择性必修第二册《一元函数的导数及应用》的核心内容，是导数概念与运算的实际应用，也是后续研究函数极值、最值的基础，在导数知识体系中起到承上启下的关键作用.课标强调几何直观和实例探究，要求学生从具体问题（如高台跳水）出发，建立导数符号与函数单调性的内在联系，摒弃单纯的公式记忆，注重数学思维的培养.同时，课标要求学生能将导数与函数单调性的关系灵活应用，既会用导数判断单调性、求单调区间，也能结合图象分析原函数与导函数的关联，实现“数”与“形”的结合，落实数学核心素养的培养目标. 2、 教材分析 “函数的单调性与导数”是导数应用的开篇内容，建立在导数的概念、几何意义及导数运算的基础之上，将导数的“瞬时变化率”意义与函数的单调性这一宏观性质建立联系，实现了对函数单调性研究的“定量”刻画，弥补了必修阶段用定义、图象研究单调性的“定性”局限.教材以高台跳水问题为情境，从具体函数的图象和导数符号入手，逐步抽象出一般结论，再通过例题、练习巩固应用，符合“从特殊到一般，再从一般到特殊”的认知规律.同时，教材注重原函数与导函数图象的关联分析，为后续学习导数的其他应用奠定了数形结合的思想基础，是培养学生数学抽象、直观想象和逻辑推理素养的优质素材. 3、 学情分析 学生在必修第一册已学习过函数单调性的定义，掌握了用定义法、图象法、性质法判断简单函数的单调性，具备一定的数形结合思想；在本章前两节又学习了导数的概念、几何意义和基本初等函数的导数公式、四则运算法则，能完成简单函数的求导运算，为本节课的学习奠定了知识基础.但学生对“导数的符号与函数单调性的内在联系”理解存在抽象性障碍，难以从“瞬时变化率”的角度解释函数的宏观单调变化；同时，在利用导数求含参数函数的单调区间时，对参数的分类讨论容易出现遗漏，在分析原函数与导函数图象的对应关系时，也容易混淆二者的特征.不过学生已具备一定的自主探究和逻辑推理能力，教师可通过情境引导、实例分析、小组讨论等方式，帮助学生突破难点，深化理解. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：通过高台跳水问题和具体函数实例，抽象概括出函数单调性与导数符号的一般关系，理解导数刻画函数单调性的本质，提升从具体到抽象的思维能力. 1. 逻辑推理素养：从导数的几何意义出发，推导线数符号与函数单调性的关系，能利用导数严谨判断函数单调性、求单调区间，培养逻辑推理和论证能力. 1. 数学运算素养：熟练掌握函数求导的基本方法，能准确求导并根据导数符号确定函数单调区间，提高运算的准确性和严谨性. 1. 直观想象素养：借助函数和导函数的图象，直观分析二者的对应关系，能通过图象判断函数单调性或导函数符号，增强数形结合的思考能力. 1. 数学建模素养：将实际问题（如高台跳水的运动状态）转化为导数与函数单调性的数学模型，体会导数在刻画实际问题中的应用价值，提升数学建模意识. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：函数单调性与导数符号的关系；利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间；原函数与导函数图象的关联分析. 1. 难点：从导数的几何意义和瞬时变化率角度理解导数与函数单调性的关系；含参数函数单调区间的求解（参数的分类讨论）；原函数与导函数图象的相互转化. 六、教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题，要求学生口答并简要说明思路： · (1) 求函数的导数，答案：. · (2) 观察函数的图象，其在上的单调性为___，求导得___，答案：单调递增，. · (3) 已知函数，其导数___，结合图象判断其单调性为___，答案：，在上单调递增. 对回答正确的学生给予肯定，对求导错误、单调性判断失误的学生，引导其分析错误原因（如求导公式记错、图象特征把握不准），及时纠正. 环节二：引入课题 1. 随机提问学生，回顾以下知识： 函数单调性的定义：给定区间上的函数，若对任意，且，都有（或），则称在上单调递增（或递减）. 导数的几何意义：函数在处的导数，表示函数图象在点处的切线斜率. 基本求导公式：，，，. 1. 对学生回答点评，强调“导数是瞬时变化率” “单调性是函数的区间性质”，为引入新课做铺垫. 环节三：合作探究 1. 情境探究：导数符号与函数单调性的直观联系（5分钟） 提出问题：高台跳水运动员的重心高度随时间变化的函数为，其导数为，结合和的图象，思考： (1) 求时的值，答案：（即教案中的）. (2) 当时，的符号是什么？的变化趋势如何？答案：，单调递增（运动员上升）. (3) 当（为的正根）时，的符号是什么？的变化趋势如何？答案：，单调递减（运动员下落）. 引导学生通过画图、计算分析，得出初步结论：函数的单调性与导数的正负有关，导数正，函数上升；导数负，函数下降. 2. 抽象概括：函数单调性与导数的一般关系（5分钟） 1. 给出3个常见函数，让学生小组讨论，完成下表： 原函数 导函数 导函数符号 原函数单调区间 恒正 在上单调递增 时；时 单调递减，单调递增 （） 余弦函数周期变号 上递增；上递减 1. 从导数的几何意义推导一般结论： · 若，则函数图象在处的切线“左下右上”，附近函数单调递增； · 若，则函数图象在处的切线“左上右下”，附近函数单调递减. 1. 抽象出核心定理： · 一般地，在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增； · 如果，那么函数在区间上单调递减. 1. 补充两个重要结论，组织学生讨论验证： · (1) 若在区间上恒有，则为常函数； · (2) 若在区间上仅有有限个点使，其余点均有（或），则在上仍单调递增（或递减），如，，时，但在上单调递增. 3. 方法归纳：利用导数判断单调性的步骤（5分钟） 引导学生结合上述实例，类比定义法判断单调性的步骤，归纳利用导数判断函数单调性的一般步骤： 1. 求定义域：确定函数的定义域（分式、对数函数需特别注意）； 1. 求导数：计算，化简导函数表达式； 1. 判符号：解不等式和，确定导数的正负区间； 1. 定单调：根据导数符号，写出函数的单调递增、递减区间. · 强调：单调区间是定义域的子集，区间之间用“，”分隔，不能用“∪”. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟）：利用导数判断单调性、求单调区间 让学生独立完成，教师巡视指导，及时纠正错误，完成后统一讲解. 例1 利用导数判断下列函数的单调性，并求出单调区间. (1) 解：定义域为，. 令，解得或；令，解得. 结论：在和上单调递增，在上单调递减. (2) 解：定义域为，. 令，解得；令，解得. 结论：在上单调递减，在上单调递增. (3) （） 解：定义域为，. 因为时，恒成立，所以. 结论：在上单调递减. 2. 综合练习（7分钟）：导函数与原函数图象的关联、含参数简单问题 例2 已知函数的图象如图所示，试判断其导函数的图象大致为（）（答案：D） 选项： A. 图象在上负，上正，上负 B. 图象在上正，上正，上负 C. 图象在上正，上负，上负 D. 图象在上负，上正，上正 分析：原函数在上递减，；在上递增，；在上递增，，故选D. 例3 已知导函数的信息：当时，；当时，，求函数的单调区间，验证结论. 解：定义域为，. 令，得；令，得. 结论：在上单调递减，在上单调递增，与导函数信息一致. 例4 求函数（为常数）的单调区间. 解：定义域为，. 令，得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 结论：的单调递减区间为，单调递增区间为. 讲解时强调：分析原函数与导函数图象的关键是“原函数上升则导函数正，原函数下降则导函数负”；含参数函数求单调区间，需根据参数确定导数零点，再判断零点两侧的导数符号. 小试牛刀： 1.求证:函数在区间上单调递增,在区间上单调递减. 2.求下列函数的单调区间: (1); (2). 3.已知函数，讨论函数的单调性. 4. 已知函数在上不单调,则的取值范围是________. 5.若函数有单调递减区间,则实数的取值范围是________. 环节五：课堂小结 1. 请学生自主回顾本节课所学内容，同桌间相互交流，主要包括： 函数单调性与导数符号的核心关系； 利用导数判断单调性、求单调区间的四步法则； 原函数与导函数图象的对应特征； 常函数、有限个点导数为0的函数的单调性结论. 1. 教师补充完善，构建知识体系： 导数的运算导数符号函数单调性单调区间求解/图象分析，强调数形结合和定义域优先的思想，指出本节课是导数研究函数性质的基础，后续将学习利用导数求函数的极值和最值. 环节六：布置作业 1. 书面作业：完成课本P87练习题1、2、3；完成课时达标检测5.3.1（第1课时），巩固利用导数判断单调性、求单调区间的方法. 1. 拓展作业：结合生活实际，寻找一个能用“导数符号刻画变化趋势”的实例（如物体的运动速度、气温的变化率），记录下来并简要分析. 预习引导：预习下一课内容，思考“导数为0的点是否一定是函数的极值点？”，结合、的图象进行分析，为学习函数的极值做准备. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课以高台跳水问题为情境，从具体到抽象构建了导数与函数单调性的关系，注重几何直观和学生的自主探究，符合学生的认知规律.教学中需注重引导学生理解导数刻画单调性的本质，避免学生仅机械记忆“导数正增、负减”，而忽视导数的几何意义和瞬时变化率的内涵.在练习环节，发现学生容易忽略定义域、对含参数函数的分类讨论存在障碍，在后续教学中需增加针对性的基础练习，强化解题步骤的严谨性.同时，要注重原函数与导函数图象的对比分析，通过更多实例让学生体会数形结合的思想，提升学生的直观想象素养.此外，课堂讨论环节需进一步调动学生的积极性，让更多学生参与到结论的推导和方法的归纳中，真正实现学生的主体地位. 学科网（北京）股份有限公司 $