全册教学（课件）-2025-2026学年六年级下册数学北师大版

最新北师大版六年级数学下册 第一单元 圆柱与圆锥 第二单元 比例 第三单元 图形的运动 第四单元 正比例与反比例 数学好玩 整理与复习 总复习 北师大版 六年级下册 第一单元 圆柱与圆锥 第一课时 第二课时 点动成线 线动成面 面动成体 旋转后会得到哪个图形？ 想一想，连一连。 圆柱 圆台 球 圆锥 操作活动： 准备两块橡皮泥，捏成圆柱和圆锥；用看、滚、剪、切等多种方式探索圆柱和圆锥的特征。 1.上面一排图形旋转后会得到下面的哪个图形？ 2.找一找下面图中的圆柱或圆锥，说说圆柱 和圆锥有什么特点。 底面 底面 侧面 o o’ 高 底面 o 高 侧面 3.下面图形中哪些是圆柱或圆锥？在括号里 写出名称，并标出底面直径和高。 （ ） （ ） （ ） （ ） 4.找一个圆柱形和一个圆锥形的物体，分别 指出它们的底面和侧面，并测量出着两个 物体的高。 5.某种饮料罐的形状为圆柱 形，底面直径为6.5cm， 高为11cm。将24罐这种饮 料按如图所示的方式放入 箱内，这个箱子内部的长、 宽、高至少是多少？ 长：6.5×6＝39（cm） 宽：6.5×4＝26（cm） 高：11cm 6.如图，把下面的立体图形切开，想一想切 开后的面分别是什么形状，连一连。 “神州”号飞船有返回舱、轨道舱和推进舱。其中，轨道舱的外形为两端带有锥形的圆柱形。 北师大版 六年级下册 第一单元 圆柱与圆锥 第一课时 第二课时 如图，要做一个圆柱形纸盒。如果接口不计，至少需要用多大面积的纸板？ 10cm 30cm 底面周长 高 圆柱的侧面积＝底面周长×高 你能计算出“至少需要多大面积的纸板”吗？ 10cm 30cm 侧面积： 底面积： 表面积： 答：至少需要2512平方厘米的纸板。 2×3.14×10×30＝1884（cm2） 3.14×102×2＝628（cm2） 1884＋628＝2512（cm2） 1.连一连，并在括号中填出相应的数。 ( ) ( ) ( ) ( ) 21.98cm 4cm 9.42cm 8cm 2.求圆柱的表面积。 如图，做一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面直径为4dm，高为5dm，至少需要用多大面积的铁皮？ 侧面积＋一个底面积 侧面积： 底面积： 表面积： 3.14×4×5＝62.8（dm2） 3.14×（4÷2）2＝12.56（dm2） 62.8＋12.56＝75.36（dm2） 4dm 5dm 答：至少需要75.36平方分米的铁皮。 如图，把一个圆柱形薯片盒的商标纸展开，是一个长18.84cm，宽是10cm的长方形。这个薯片盒的侧面积是多少？表面积呢？ 10cm 18.84cm ?cm 侧面积： 18.84×10＝188.4（cm2） 底面半径： 18.84÷3.14÷2＝3（dm） 底面积： 3.14×32×2＝56.52（dm2） 表面积： 188.4＋56.52＝244.92（dm2） 3.压路机前轮直径是1.6m，长2m，它转动一周，压 路的面积是多少平方米？ 4.制作一个底面直径20cm，长50cm的圆柱形通风管， 至少要用多少平方厘米的铁皮？ 5.一个圆柱形水池，水池内壁和底部都镶上磁砖， 水池内部底面周长25.12m，池深1.2m，镶磁砖的 面积是多少平方米？ 求圆柱侧面积 求圆柱侧面积 求圆柱侧面积和一个底面积 3.14×1.6×2＝10.048（m2） 3.14×20×50＝3140（cm2） 底面积：3.14×（25.12÷3.14÷2）2＝50.24（m2） 侧面积：25.12×1.2＝30.144（m2） 表面积：30.144＋50.24＝80.384（m2） 6.油桶的表面要刷上防锈油漆，每平方 米需用防锈油漆0.2kg，漆一个油桶 大约需要多少防锈油漆？（结果保留 两位小数） 求圆柱侧面积和两个底面积 侧面积：3.14×0.6×1＝1.884（m2） 底面积：3.14×（0.6÷2）2×2＝0.5652（m2） 表面积：1.884＋0.5652＝2.4492（m2） 油漆：2.4492×0.2≈0.49（kg） 7.做一做。 ⑴ 找一个圆柱形物体，量出它的高和底面直径， 计算出它的表面积。 ⑵ 制作一个底面直径和高都是10cm的圆柱形纸盒。 8.如图，用下面的长方形硬纸卷成圆柱形小笔筒，再 给这个笔筒配一个底，想一想，至少需要多少平方 厘米的硬纸片？ 北师大版 六年级下册 第一单元 圆柱与圆锥 第一课时 第二课时 圆柱的体积＝底面积×高 圆柱底面周长的一半 圆柱的高 底面 半径 3.14×0.42×5 ＝3.14×0.16×5 ＝3.14×0.8 ＝2.512（m3） 答：需要2.512m3木材。 3.14×（6÷2）2×16 ＝3.14×9×16 ＝452.16（cm3） ＝452.16（毫升） 答：一个杯子能装452.16毫升水。 1.分别计算下列各图形的体积，再说说这几个图形 体积计算方法之间的联系。 4×3×8 ＝96（cm3） 6×6×6 ＝216（cm3） 3.14×（5÷2）2×8 ＝157（cm3） 2.计算下面各圆柱的体积。 60×4 ＝240（cm3） 3.14×12×5 ＝15.7（cm3） 3.14×（6÷2）2×10 ＝282.6（dm3） 3.这个杯子能否装下3000mL的牛奶？ 3.14×（14÷2）2×20 ＝3077.2（cm3） ＝3077.2（mL） 3077.2mL＞3000mL 答：这个杯子能装下3000mL的牛奶。 底面半径： 金箍棒底面周长是12.56cm，长是200cm。这根金箍棒的体积是多少立方厘米？ 12.56÷3.14÷2＝2（cm） 底面积： 3.14×22＝12.56（cm3） 体积： 12.56×200＝2512（cm3） 答：这根金箍棒的体积是2512cm3。 如果这根金箍棒是铁制的，每立方厘米的铁重7.9g，这根金箍棒重多少千克？ 7.9×2512＝19844.8（g）＝19.8448（kg） 答：这根金箍棒重19.8448千克。 4.光明村李大伯家挖一口圆柱形的水井，底面周长 是3.14m，深4m。挖出了多少立方米的土？ 3.14×（3.14÷3.14÷2）2×4＝3.14（m3） 5.一个装满稻谷的圆柱形粮囤，底面面积为2m2，高 为80cm。每立方米稻谷约重600kg，这个粮囤存放 的稻谷约重多少千克？ 80cm＝0.8m 2×0.8×600＝960（kg） 6.下面的长方体和圆柱哪个体积大？说说你的比较方法。 7.如图，求出小铁块的体积。 2cm 2cm 10cm 3.14×（10÷2）2×2 ＝157（cm3） 8.请你设计一个方案，测量并计算出1枚1元硬币的 体积。 9.寻找日常生活中的三个粗细不同的圆柱形物体。 ⑴ 分别估计它们的体积。 ⑵ 测量相关数据，计算它们的体积。 ⑶ 比较估计值与计算值，哪一种圆柱体的体积你容 易估计错？ 北师大版 六年级下册 第一单元 圆柱与圆锥 问题 探究 练习 拓展 准备等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器各一个。 将圆锥形容器装满沙子，再倒入圆柱形容器，看几次能倒满。 圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥的体积的3倍。 如果小麦堆的底面半径为2m，高为1.5m。小麦堆的体积是多少立方米？ ＝6.28（m3） 答：小麦堆的体积是6.28m3。 1.下图中，圆锥的体积与哪个圆柱的体积相等？说 说你是怎么想的。 2.计算下面各圆锥的体积。 3.如图，测量中经常使用铅锤。这个铅锤的体积是 多少立方厘米？ ≈26.17（cm3） 4.有一座圆锥形帐篷，底面直径约5m，高约3.6m。 ⑴ 它的占地面积约是多少平方米？ ⑵ 它内部的空间约是多少立方米？ ＝23.55（m3） 3.14×（5÷2）2＝19.625（m2） 5.张大伯家有一堆小麦，堆成了圆锥形，张大伯量 得它的底面周长是9.42m，高是2m，这堆小麦的 体积是多少立方米？如果每立方米小麦的质量为 700kg，这堆小麦约重约重多少千克？ 底面积：3.14×（9.42÷3.14÷2）2＝7.065（m2） 体积： 质量： 4.71×700＝3297（kg） 6.一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2，高是5cm。 ⑴ 如果把它捏成同样底面大小的圆锥，这个圆 锥的高是多少？ ⑵ 如果把它捏成同样高的圆锥，这个圆锥的底 面积是多少？ 5×3＝15（cm） 12×3＝36（cm2） 北师大版 六年级下册 第二单元 比例 第一课时 第二课时 根据信息画一画。 不合理 合理 在学校的东北方向400m处，有一个社区活动中心。先算一算，再在笑笑的图中标出来。 400m＝40000cm 40000÷10000＝4（cm） 社区活 动中心 400 你能说说图中线段比例尺表示什么意思？ 0 90km 比例尺 图上1cm表示 实际距离90km。 90km＝9000000cm 数字比例尺 1:9000000 1.学校一幢教学楼长42m，宽9m。在纸上画出教学 楼的示意图，并和同伴交流你是如何画的。 2.说说下面两幅图的比例尺的实际意义。 比例尺 1:9000000 图上1cm表示实际距离 9000000cm，也就是90km。 2.说说下面两幅图的比例尺的实际意义。 图上1cm表示实际距离200m。 3.北京到广州的实际距离大约是1920km，在一幅地 图上量得这两地间的距离是20cm。这幅地图的比 例尺是多少？ 1920km＝192000000cm 20:192000000＝1:9600000 图上1cm表示34000000cm，也就是1cm表示340千米。 奇思从这幅地图上量得北京到上海的距离大约是3cm。两地之间的实际距离约是多少千米？ 1 2 340×3＝1020（km） 解：设实际距离为 厘米。 3: ＝1:34000000 ＝3×34000000 ＝102000000 102000000厘米＝1020千米 答：两地之间的实际距离 约是1020千米。 图上1cm表示34000000cm，也就是1cm表示340千米。 妙想要从青岛去石家庄，量一量图上距离，算一算算青岛到石家庄的实际距离大约是多少千米。 340×1.7＝578（km） 答：青岛到石家庄的实际距离大约是578千米。 量得青岛到石家庄的距离大约是1.7cm。 A图纸：图上1cm表示实际距离2000cm，也就是 1cm表示20m。 4.两张不同的图纸，A图纸的比例尺是1:2000，B图 纸的比例尺是1:500。那么，这两张图纸上3cm长 的线段表示的实际长度各是多少米？ 20×3＝60（m） B图纸：图上1cm表示实际距离500cm，也就是 1cm表示5m。 5×3＝15（m） 5. ⑴街心花园到学校的实际距离是1000m，图上距离是 cm；那 么，图上距离1cm 表示的实际距离是 cm，这个示意图的 比例尺是 。 ⑵街心花园到健身中心的图上距离是 cm；实际距离是 m。 ⑶电影院在街心花园西偏南30°方向，实际距离为500m的地方， 请在图中标出电影院的位置。 ⑷根据示意图，请你 再提出一个数学问 题，并尝试解答。 4 250 1:25000 7 1750 6.量一量你家某一房间的长和宽，以及一些家具的 长和宽，然后以1:100的比例尺画出这一房间的 平面图。 7.找一张中国地图，用 标出你家乡的大致位置。 ⑴ 估一估，在地图上你的家乡与北京的距离大约是 cm，实际距离大约是 km。如果你的家乡是北京，找一张北京地图，估一估在北京地图上你家与天安门的距离是 cm，实际距离大约是 km。 ⑵放暑假时，你打算从 到 旅游，两地之间的实际距离大约是 km。 北师大版 六年级下册 第二单元 比例 第一课时 第二课时 12:6＝8:4 6:4＝3:2 内项 外项 3:2＝15:10 2:10＝3:15 2:3＝10:15 10:2＝15:3 1. ⑴分别写出图中两个长 方形长与长的比和宽 与宽的比，判断这两 个比能否组成比例。 ⑵分别写出图中每个长 方形与宽的比，判断 这两个比能否组成比 例。 2.哪几组的两个比可以组成比例？把组成的比例写 出来。 2.妙想要为半径为3cm的圆形小镜子围一圈丝 带，她现在有18cm长的丝带，估一估，够 吗？ 写出上节课学习的几个比例，仔细观察，你会有新的发现。 淘气的发现你同意吗？再写出几个比例验证一下。 12×4＝6×8 6×2＝4×3 3×10＝2×15 10×3＝2×15 在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。 3.应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面 哪几组的两个比可以组成比例，并写出组成的比 例。 4.根据下面的两组乘法算式，分别写出两个不同的 比例。 5.下面各表中相对应的两个量的比能否组成比例？ 把能组成的比例写出来。 6.声音在空气中的传播情况如下表。 请根据表中的数据写出三个不同的比例。 7.⑴写出下图中图A，图B两个正方形的边长与边长 的比以及周长与周长的比，这两个比能组成比 例吗？ ⑵写出两个正方形面积与面积的比，这个比与边 长之间的比能组成比例吗？ 北师大版 六年级下册 第二单元 比例 问题 探究 练习 拓展 14÷4＝3.5 3.5×10＝35（本） 4:10＝14: 14:4＝ :10 一辆小汽车换几本小人书 玩具汽车（小人书）间的倍数 解：4 ＝140 ＝35 解：4 ＝140 ＝35 答：14个玩具汽车可以换35本书。 解：0.3 ＝24×0.4 ＝9.6÷0.3 0.3 ＝9.6 ＝32 解： 7 ＝4×3.5 ＝14÷7 7 ＝14 ＝2 检验： 24:0.3＝80 30:0.4＝80 检验： 1.作业本上的6个小星星可以换2面小红旗。淘气的 作业本上已经有了15个小星星。 ⑴15个小星星可以换多少面小红旗？说说你的想法。 ⑵假设15个小星星可以换 面小红旗，你能列出比 例并解决问题吗？ 6:2＝15: 解：6 ＝30 ＝5 2.写出比例，并求出未知数。 3.解方程。 4.淘气和笑笑收集的邮票张数的比是3:5。淘气收 集了36张邮票，笑笑收集的邮票有多少张？ 5.广州塔高600m，是目前世界第一高 的电视塔。星星公司设计制作了这 座电视塔的模型，模型的高度与实 际高度的比是1:300。模型的高度 是多少米？ 北师大版 六年级下册 第二单元 比例 问题 探究 练习 拓展 “巨人”的身高与普通人 的身高的比是4:1。 该如何为“巨人”设计一间教室呢？ 按相同的比放大 如果下图中的长方形表示我们教室的大小，你能按4 :1的比将图形放大，画出“巨人”教室的大小吗？ 6 24 3 12 放大后图形 原图 放大后图形:原图 长 宽 24 6 4:1 12 3 4:1 6 24 3 3 6 6 3 12 哪种设计更合理呢？ 放大前后图形对应 线段长的比相等。 如果下图中的三角形表示巨人用的三角尺，你能将这个三角形按1:4缩小，画出我们用的三角尺吗？ 8 8 缩小后图形 原图 缩小后图形:原图 底 宽 2 8 1:4 2 8 1:4 2 2 斜边 2 8 1:4 缩小前后图形对应 线段长的比相等。 1.下面哪个图形是图A按2:1的比例放大后的图形？ 哪个图形是图A按1:2缩小后的图形？ 2.下面的每个方格表示1cm2。先按要求将图形放大 或缩小，再回答问题。 ⑴ 将下面的正方形缩小，使缩小后的图形与原图 形对应线段长的比为1:3。 想一想，缩小后的图形与原图形的面积比 也是1:3吗？ 1:9 2.下面的每个方格表示1cm2。先按要求将图形放大或缩小，再回答问题。 ⑵ 将下面的长方形放大，使放大后的图形与原图 形对应线段长的比为2:1。 想一想，放大后的图形与原图形的面积比 也是2:1吗？ 4:1 3.找一找生活中有哪些把图形或物体按比例放大与 缩小的现象，与同伴交流。 4.将下面的图形按比例放大或缩小，比一比谁画得 像？ 北师大版 六年级下册 第三单元 图形的运动 问题 探究 练习 拓展 顺时针 逆时针 逆时针旋转了90°。 顺时针旋转了90°。 ⑴ 画出线段AB绕点B顺时针旋转90°后的线段。 ⑵ 画出线段AB绕点A逆时针旋转90°后的线段。 1.⑴下面两个钟面上，时针分别从几时走到了几时？ 哪个钟面的时针旋转的角度大？ 1.⑵从9时到12时，时针绕中心点顺时针方向旋转 了多少度？从12时到16时，时针绕中心点顺时 针方向旋转了多少度？ 90° 120° 2.想一想，填一填。 一棵小树被扶起种好，这棵小树绕点O（ ） 方向旋转了（ ）度。 顺时针 90 3.画一画。 ⑴画出线段AB绕点A顺时 针旋转90°后的线段。 ⑵画出线段AB绕点B逆时 针旋转90°后的线段。 4.如图，点P是线段MN上的一点，请按下列要求分别画图。 ⑴将线段MN绕点P顺 时针旋转90°。 ⑵将线段MN绕点P逆 时针旋转90°。 M’ N’ N’ M’ 北师大版 六年级下册 第三单元 图形的运动 问题 探究 练习 拓展 顺时针旋转90° 绕点A顺时针旋转90°。 A B C B’ C’ 绕点B逆时针旋转90°。 A B C A’ C’ 1.想一想，填一填。 2.画出图中长方形①绕点M顺时针旋转90°后 的图形，再画出长方形②绕点N逆时针旋转 90°后的图形。 3.想一想，图①中的三角形绕中心点每次旋 转多少度能得到这个图案？图②中的正方 形呢？ 60° 45° ① ② 北师大版 六年级下册 第三单元 图形的运动 第一课时 第二课时 ① ① ② ② ② ② ② ② ② ② ② ② ② 请将图形A绕点O 顺时针旋转90°，得到图形B，再将图形B向右平移5格，得到图形C。画一画，说说要注意什么？ O A B C 1.观察方格纸中图形的运动，并与同伴进行交流。 ⑴图形A如何运动得到图形B？ ⑵图形B如何运动得到图形C？ ⑶你还有什么办法将图形A运动得到图形C？ A B C 2.画一画。 ⑴图形A向右平移3格得到图形B。 ⑵以直线a为对称轴，画出图形B的轴对称图形C。 A a B C 图1 图2 A B O O’ 图1 图2 A O’ B B B B B O —下1 —右1 3.你能通过卡片的平移和旋转将图2“还原”为图1 吗？请尝试用一定的方式将“还原”的过程记录 下来，并与同伴交流。 图1 图2 4.下面图1中的四个图形A，B，C，D如何运动得到图 2的圆？ A B C D 图1 图2 ? 5.剪几个相同的等腰三角形，在方格纸上摆一摆， 然后回答问题。 P A D C B Q I O ⑴图形B可以看作图形A如 何运动得到的？ ⑵图形A、图形B、图形D都 可以通过运动得到图形C， 说说分别可以怎样运动。 北师大版 六年级下册 第三单元 图形的运动 问题 探究 练习 拓展 D C A O B D C A O B 将某一图形进行平移、旋转，或者画出它关于某条直线的轴对称图形，可以设计出美丽的图案。 1.下面是笑笑和淘气设计的黑板报花边，请说说花 边是如何由阴影部分的图形得到的。 2.将图形 进行平移或旋转，设计一个美丽的 图案。 3.读一读，做一做。 荷兰艺术家埃舍尔把自己称为一个“图形艺术家”，他从图形的运动中获得创作的灵感，右图这幅作品就是巧妙利用了图形的平移、旋转等创作出来的。 你能运用图形的不同运动方式，创作出一幅自己的作品吗？ 北师大版 六年级下册 第四单元 正比例与反比例 问题 探究 练习 拓展 淘气和笑笑分别用表格和图表示了妙想6岁前的体重变化情况。 观察表格和图，想一想哪些量在发生变化，妙想6岁前的体重是如何随年龄增长而变化的？ 骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化。 ⑴一天中，骆驼体温最高是多少？最低是多少？ ⑵一天中，什么时间范围内骆驼的体温在上升？什么时间范围 内骆驼的体温在下降？ ⑶第二天8时骆驼的体温与前一天8时的体温有什么关系？ 在大自然和日常生活中有很多变化的量。你还能找出一个量随着另一个量变化而变化的例子吗？与同伴交流。 一天的气温随时间的变化而变化 汽车行驶的路程随时间的变化而变化 1.当圆柱的底面积等于10cm2时，圆柱的体积和高 的变化情况如下表。 结合上表的数据，说一说圆柱的体积与高之间的变化关系。 2.你见过摩天轮吗？ 2.人所在座舱的高度的变化情况可以用下图来表示。 ⑴转动过程中，到达的最高点是多少米？最低点时多少米？ ⑵转动第一圈的过程中，什么时间范围内高度在增加？什么时 间范围内高度在降低？ ⑶到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过几分？ 3.某地的一位学生发现蟋蟀叫的次数与气温之间有 如下的近似关系。 北师大版 六年级下册 第四单元 正比例与反比例 第一课时 第二课时 y和x 复习旧知 说一说正比例的两个量的变化情况 1、两个相关联的量。 2、一个量增加，另一个量也随着增加，一个量减少，另一个量也随着减少。 3、两个量的比值一定。 每小时做零件的个数一定，零件总数和时间是什么关系？ 零件总数÷时间=每小时做零件的个数（一定） 所以它们成正比例关系 用 表示长方形相邻两边的边长，表1是面积为24cm2的长方形相邻两边边长的变化关系，表2是周长为24cm的长方形相邻两边边长的变化关系。请把表格填写完整，并说说你分别发现了什么。（单位：cm） 表1 表2 8 6 6 4 8 3 12 2 24 1 9 8 5 7 6 6 7 5 8 4 用 表示长方形相邻两边的边长，表1是面积为24cm2的长方形相邻两边边长的变化关系，表2是周长为24cm的长方形相邻两边边长的变化关系。请把表格填写完整，并说说你分别发现了什么。（单位：cm） 表1 表2 8 6 6 4 8 3 12 2 24 1 9 8 5 7 6 6 7 5 8 4 表1和表2中，长方形相邻两边边长之间的变化规律相同吗？ 王叔叔要去游长城，不同的交通工具的速度和行驶所需时间如下。你从表中发现了什么？ 自行车 大巴车 小轿车 速度（千米/时） 10 60 80 时间/时 12 2 1.5 像这样，速度和时间两个量，速度变化，所用的时间也随着变化，而且速度与时间的积（也就是路程）一定，我们就说速度和时间成反比例。 速度是10，时间是12； 速度是60，时间是2； 速度是80，时间是1·5; `````` 速度 扩大，所需时间缩小。 速度 缩小，所需时间扩大 1、速度和所需时间是两种相关联的量， 2、所需时间是随着速度的变化而变化的 10×12=120 60×2=120 80×1·5=120 · · · 速度和所需时间的积总是一定的（都是120） 速度×时间=路程（一定） 小结： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两个量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 xy=k（一定） 判定方法： 判定两个量是不是反比例，主要是看它们的积是不是一定的。 用 表示长方形相邻两边的边长，表1是面积为24cm2的长方形相邻两边边长的变化关系，表2是周长为24cm的长方形相邻两边边长的变化关系。请把表格填写完整，并说说你分别发现了什么。（单位：cm） 表1 表2 8 6 6 4 8 3 12 2 24 1 9 8 5 7 6 6 7 5 8 4 表1和表2中，长方形相邻两边边长之间的变化规律相同吗？ 长方形相邻两边边长的积一定，相邻两边边长成反比例。 长方形相邻两边边长的积不是一个确定的值，相邻两边边长不成反比例。 ⑴把上表补充完整。 ⑵说一说看完全书所需天数与平均每天看的页数的变化关系。 ⑶平均每天看的页数与看完全书所需天数是不是成反比例？ 说明理由。 1. 平均每天看的页数 10 15 20 30 40 看完全书所需天数 12 买苹果的总钱数一定，苹果的单价与数量成反比例吗？你是怎么想的？与同伴交流。 奇思读一本书，已读的页数与剩下的页数的情况如下。 已读的页数 1 2 3 4 … 剩下的页数 79 78 77 … 已读的页数与剩下的页数成反比例吗？为什么？ 请举一个成反比例的例子，并与同伴交流。 76 5 75 2.电脑兴趣小组练习打同一份稿件，下表记录的是 每人打字所用的时间。 小敏 小峰 小英 小强 打字所用的时间/分 30 40 60 80 速度/（字/分） 80 请把上表补充完整，再回答下列问题。 ⑴不同的人在打同一份稿件的过程中，哪个量没有变？ ⑵打字的速度和所用的时间有什么关系？ ⑶李老师打这份稿件用了24分，你知道她平均每分打 多少字吗？ 3.判断下面各题中的两个量是否成反比例，并说明 理由。 ⑴行驶的路程一定，车轮的周长与车轮需要转动的圈数。 ⑵一个人跑步的速度和他的体重。 ⑶平行四边形的面积一定，它的底和高。 ⑷笑笑从家步行到学校，已走的路程和剩下的路程。 4.截止2002年年底，我国探明可直接利用的煤炭储量为2298.86亿吨。我国煤炭年均开采量与可开采年数之间的关系如下表。 判断我国煤炭年均开采量与可开采年数之间是否成反比例，并说明理由。 5.如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转 动时，大齿轮和小齿轮转动的总齿数是相同的。尝 试回答下面的问题。 ⑴大齿轮和小齿轮在同一时间内转动 时，哪个齿轮转得更快？哪个齿轮 转的圈数多？ ⑵转过的总齿数一定时，每个齿轮的 齿数和转过的圈数是什么关系？ ⑶大齿轮有40个齿，小齿轮有24个齿。如果大齿轮每 分转90圈，小齿轮每分转多少圈？ 北师大版 六年级下册 第四单元 正比例与反比例 问题 探究 练习 拓展 （1）两种相关联的量，一种量变化另一种量也随着变化，也就是一种量随着另一种量的增加而增加或减少而减少。 （2）两种量相对应量的比值不变。 复习： 1、两个量成正比例要满足什么条件？ 2、请同学们思考一下，当y=2x, y和x成正比例关系吗？为什么？ 成正比例。因为y和x是两种相关联的量，y随着x的变化而变化，y和x的比值始终等于2，所以y和x成正比例。 全班同学去看电影，看电影的人数与所付票费如下表。 人数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 票费/元 0 2 4 6 … 把上表填写完整，并判断看电影的人数与所付票费是否成正比例。 8 10 12 14 16 新授 因为（ ）和（ ）是两个相关联的量，（ ）随着（ ）的变化而变化，它们的比值即（ ）是（ ），所以它们的关系是（ ） 所付票费 看电影人数 所付票费 看电影人数 单价 一定的 正比例关系 根据上表，可以描出右图中的点，例如：（2,4）就表示2个人看电影需要付4元； 点（8,16）表示什么意思？ 点A表示有5人的票费是10元。 A 这个图表的横轴表示（ ），纵轴表示（ ）。 人数 票费 那么点A也是直线上一点，这一点表示什么含义？ 连接图上各点，你发现了什么？ 如果把这个图无限扩大，点（50，100）在这个图上吗？ 小明说点（100,200）也在这条直线上，你认为他说的对吗？ 所描的点在同一条直线上 小结 正比例关系图象的特征： 所描的点都在同一条直线上。 由此可见： 正比例关系的图象总是一条直线。 1.乘船的人数与所付船费如下表。 ⑴把上表填完整。 ⑵所付船费与乘船人数成正比例吗？ ⑶先根据上表描点，再顺次连接各 点，你发现了什么？ ⑷点（8,40）在这条直线上吗？这 一点表示什么含义？ 人数 0 1 2 3 4 5 6 7 … 船费/元 0 5 10 15 … 20 25 30 35 （成正比例） 所描的点都在同一条直线上。 在，表示8人乘船要付40元 2.在弹性范围内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量情况如 下表。判断弹簧伸长的长度与所挂物体的质量是否成正比 例，并说明理由。 物体质量/kg 1 2 3 4 5 6 弹簧伸长 的长度/cm 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 成正比例，因为弹簧伸长的长度随着物体的质量的变化而变化，并且弹簧伸长的长度与物体的质量的比值是一定的。 3.回答下列问题。 ⑴圆的周长与直径成正比例吗？为什么？ ⑵根据右图，先估计圆的周长，再实际计算。（ 取3.14） ①直径为5cm的圆的周长约 ( )cm， 计算结果为（ ）cm。 ②直径为15cm的圆的周长约（ ）cm， 计算结果为（ ）cm。 16 15·7 47 47·1 成正比例，因为圆的周长与直径的比值（ ）是一定的。 北师大版 六年级下册 第四单元 正比例与反比例 第一课时 第二课时 下面是正方形周长与边长、面积与边长之间的变化情况，把表格填写完整，并说说你分别发现了什么。 边长/cm 1 2 3 周长/cm 4 边长/cm 1 2 3 面积/cm2 1 8 12 4 16 4 9 4 16 周长与边长、面积与边长之间的变化规律相同吗？ 边长/cm 1 2 3 4 周长/cm 4 8 12 16 边长/cm 1 2 3 4 面积/cm2 1 4 9 16 周长与边长的比值不变。 面积与边长 的比值不相等。 周长随着边长的变化而变化。 面积随着边长的变化而变化。 一辆汽车以90千米/时的速度行驶，行驶的路程与时间如下。把下表填写完整，你从表中发现了什么？ 时间/时 1 2 3 4 5 6 7 路程/km 90 180 270 360 路程与时间的比值是一定的。 450 540 630 8 720 讨论： 1、表中有（ ）和（ ）两种相关联的量。 2、任意写三个相对应的路程和时间的比，并算出它们的比值。 3、比值实际上表示（ ），请用式子表示它们的关系。 时间 路程 90：1=90 180：2=90 270：3=90 速度 路程÷时间=速度（一定） 时间是1，路程是90； 时间是2，路程是180； 时间是3 ，路程是270； 时间是4，路程是360. … 时间扩大，路程也随着扩大。 时间缩小，路程也随着缩小。 路程随着时间的变化而变化。 4、说说路程是怎样随着时间的变化而变化 的？ 像这样，路程和时间两个量，时间变化，所行驶的路程也随着变化，而且路程与时间的比值（也就是速度）一定，我们就说路程和时间成正比例。 如何判断两种两个量是否成正比例？ （1）有两种相关联的量。 （2）一种量变化，另一种量也随着变化。 （3）相对应的两个数的比值一定。 这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 周长与边长、面积与边长之间的变化规律相同吗？ 边长/cm 1 2 3 4 周长/cm 4 8 12 16 边长/cm 1 2 3 4 面积/cm2 1 4 9 16 周长与边长的比值不变。 面积与边长 的比值不相等。 周长随着边长的变化而变化。 面积随着边长的变化而变化。 正方形的周长和边长成正比例。 正方形的面积和边长不成正比例。 1.学校科学小组在同一时间、同一地点进行观察实 验，测得竹竿的高与竿影的长如下表。 ⑴说一说竿影的长与竹竿的高的变化关系。 ⑵写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现？ ⑶竹竿的高与竿影的长是不是成正比例？说明理由。 竹竿的高/m 1 2 3 4 6 8 竿影的长/m 0.4 0.8 1.2 1.6 2.4 3.2 圆的面积与半径成正比例吗？ 圆的面积随着半径的变化而变化。 圆的面积 3.14 12.56 28.26 半径 1 2 3 圆的面积与半径的比值不相等。 圆的面积与半径不成正比例。 乐乐和爸爸的年龄变化情况如下，把表填写完整。 乐乐的年龄/岁 6 7 8 9 10 11 爸爸的年龄/岁 32 33 34 乐乐的年龄与爸爸年龄的比值不是一个确定的值， 他们的年龄成正比例吗？为什么？ 35 36 37 所以，他们的年龄不成正比例。 分别举一个成正比例和一个不成正比例的例子，与同伴交流。 2.根据下表中底是6cm的平行四边形的面积与高相对 应的数据，判断它们是不是成正比例，并说明理由。 平行四边形的面积/cm2 6 12 18 24 30 平行四边形的高/cm 1 2 3 4 5 3.判断下面各题中的两个量是否成正比例，并说明理由。 ⑴ 每袋大米的质量一定，大米的总质量和袋数。 ⑵ 一个人的身高和年龄。 ⑶ 宽不变，长方形的周长与长。 成 不成 不成 4. 买邮票的数量/枚 应付金额/元 1 0.8 2 1.6 3 4 5 6 7 8 把表填完整，你从中发现了什么？应付金额与所买邮票的数量成正比例吗？ 2.4 3.2 4 4.8 5.6 6.4 成正比例 北师大版 六年级下册 数学好玩 活动任务 设计方案 动手实验 交流反思 活动任务 绘制校园平面图。 设计方案 1.观察上面两张平面图，说说这些平面图有什么共 同的地方。 2.想一想，绘制校园平面图前，要先做哪些方面的 准备？ 设计方案 ⑴在校园平面图中需要绘制哪些主要建筑物？ ⑵需要收集哪些数据？如何收集这些数据呢？ ⑶如何确定这幅图的比例尺？ 3.设计绘制校园平面图的活动方案，包括主要步骤 与分工等。 1.分小组实际收集相关数据，并用适当的方式记录 下来。 动手实验 2.按照设计方案及收集到的数据，把校园的平面图 画下来。 1.全班交流一下，观察各小组绘制的平面图，每张 图是否准确、合理？哪几个小组的图有自己的特 色？ 交流反思 2.把你们最喜欢的别的小组的平面图画下来。 3.在上面的活动中，运用了哪些知识？采用了哪些 收据数据的方法？ 4.利用所绘制的校园平面图，可以帮助人们解决什 么问题？ 5.在上面的活动中，你有什么收获？还有哪些想要 进一步研究的问题？ 在这次活动中，我的表现是（请把每项后面的☆涂上颜色，涂满5个为做得最好的）： 自我评价 北师大版 六年级下册 数学好玩 如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘，它能吃到面包屑吗？ 在纸环上做个标记表示面包屑，想一想，小蚂蚁从点A出发能吃到面包屑吗？ 从A点开始涂色，不能翻过边缘一直涂下去，你发现了什么？ 用剪刀沿纸条上的虚线剪开，你又发现了什么？ 整理与复习 地面半径/cm 高/cm 圆柱 圆锥体积/cm3 侧面积/cm2 表面积/cm2 体积/cm3 2 15 6 20 2.填表。 188.4 213.52 188.4 62.8 753.6 979.68 2260.8 753.6 3.一个圆锥形谷堆，地面直径为6m，高1.2m。 （1）这堆稻谷的体积的多少立方米？ （2）如果每立方米稻谷的质量为700kg， 这堆稻谷的质量为多少千克？ ×3.14×（6÷2）2×1.2= 11.304（m3 ） 答：这堆稻谷的体积的11.304立方米。 11.304×700= 7912.8（kg） 答：这堆稻谷的体积的7912.8kg。 2×3.14×5×80×20= 50240（cm2 ） 答：至少需用500240cm2。 5.用铁皮制作一个有盖的圆柱形油桶，底面半径是3dm， 高与底面半径的比是2:1。 （1）制作这个油桶至少需要多少平方分米的铁皮？ （2）这个油桶的容积是多少升？ 3×2=6（dm） 2×3.14×3×6 3.14×32×2 =169.56（dm2） 答：制作这个油桶至少需要169.56平方分米的铁皮。 3.14×32×6= 169.56（dm3）=169.56（L） 答：这个油桶的容积是169.56升。 侧面积 + 2个底面积 ×3.14×（6÷2）2×9= 84.78（cm3 ） ×3.14×1.52×（9－4.5）= 10.5975（cm3 ） 84.78－10.5975= ×3.14×（2÷2）2×3= 3.14（cm3 ） 74.1825（cm3 ） 答：略。 12︰x =18︰12 解：18 x =12×12 x =8 y︰18 =18︰12 解：12 y =18×18 y =27 8.解方程。 5︰0.4＝6︰x 解：5x ＝0.4×6 x ＝0.48 x︰ ＝ ︰ x＝ ＝ 解：5x ＝12×4 x＝ × 解： x ＝9.6 9. 学校要建一个长方体水池，在比例尺是1:200的设计图上， 水池的长为12cm，宽为10cm，深为2cm。 （1）按图施工，这个水池的长、宽、深各应挖多少米？ （2）这个水池的占地面积是多少平方米？ 12÷ =2400（cm）=24（m） 10÷ =2000（cm）=20（m） 2÷ =400（cm）=4（m） 24×20 =480（m2） 答：略。 答：略。 答：成反比例。 答：成正比例。 答：不成比例。 3 4 2 12 8 24 答：参与分糖的人数与每人分到糖的数量成反比例。 8 16 24 32 40 0.8 x 答：现价与原价成正比例。 因为现价随着原价的增加而增加，而且现价与原价 的比值一定（比值都是0.8）。 B C E 新图形 答：图A先向右平移3格， 再向下平移2格得到图2。 答：图A先向右平移3格， 再向下平移2格得到图2。 答：图A先绕有下方的顶点顺时针旋转900， 再向下平移1格得到图3。 总复习 数与代数 1、数的认识 一、数的归类和意义 1、数的归类 自然数 正整数 零 负整数 整数 分数（小数） 正分数（小数） 负分数（小数） 数 2、数的意义 a、用来表示物体个数的0、1、2、3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示，0是最小的自然数。 b、把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。 表示其中一份的数是这个分数的分数单位。（ 分数单位是 ） （分子）（取的份数） （分数线）（平均分） （分母）（平均分成的份数） c、把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份就是十分之几、百份之几、千分之几……可以用小数表示。 循环小数的表示方法： 一般方法：0.833…… 4.3232…… 简便方法： （混循环小数） （纯循环小数） （只在循环节首末两个数字上点点） d、表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫百分率或百分比。 百分数通常用“%”来表示。（百分数的分数单位是1%，而且必须用百分数的形式表示，不能写成0.01。此处有异议。0.2%怎么解释） 二、亿以内的数的读与写。 1、整数的读法和写法 读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都 不读出来，其他数位连续有几个0的都只读一个零。 520 0080 3100 五百二十亿零八十万三千一百 亿级 万级 个级 4 0000 3200 四亿零三千二百 亿级 万级 个级 写法：从高位到低位一级一级地写，哪一个数位上一个单 位也没有，就在哪个数位上写0。 四十亿六千零六十万零五十 40 6060 0050 亿级 万级 个级 2、小数的读法和写法 读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法来读（整数部分是0的读作“零”），小数点读作“点”，小数部分一般顺次读出每个数位上的数字。 写法：写小数的时候（整数部分是零的写作“0”），小数点写在个位的右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。 3、分数的读法和写法 读法：先读出分母，再读出分子 读作:八分之五 读作：二又三分之一 写法：十二分之七 写作： 4、百分数的读法和写法 75% 读作：百分之七十五 0.05% 读作：百分之零点零五 三、数的改写 1、把一个较大的多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数，有时，还可以根据需要，省略这个数某一位后面的尾数，写成近似数。 2400，0000=2400万 732，6500=732.65万 509，8040≈510万 5600=0.56万 2、假分数与带分数或整数之间的改写 先改写成分母是10、100、1000的分数，再约分 小数点向右移动两位，再添上% 小数 去掉%，小数点向左移动两位 百分数 小数 分子除以分母 分数 3、分数、小数与百分数之间的互化。 0.412=41.2% 4%=0.04 1.2=120% 写成分数形式并约分 百分数 先写成小数或整数，再写成百分数形式 分数 注意：小数默认为保留两位小数，而百分数默认为保留一位小数。 2.3434……≈2.34 0.2727……≈27.3% 四、计数单位与数位 1、计数单位 整数的计数单位都是按照十进制计数法写出的数。 整数的计数单位：个（一）、十、百、千、万…… 小数的计数单位：十分之一、百分之一、千分之一、…… 0.1 0.01 0.001 百分数的计数单位：1% （1）7324.012是由7个千，3个百，2个十，4个一，1个0.01，2个0.001组成。 数字表示有多少个这样的计数单位。 （2）把6改写成以0.01为单位的数是6.00（6与6.00大小相等，但意义不同。6表示有6个一，而6.00表示600个0.01） 2、数位 各个计数单位所占的位置，叫做数位，数位是按一定的顺序排列的。 整数数位：个位、十位、百位、千位…… 小数数位：十分位、百分位、千分位…… 3、数级 个级：个位、十位、百位、千位 万级：万位、十万位、百万位、千万位 亿级：亿位、十亿位、百亿位、千亿位 五、数的大小比较 1、整数或小数的大小比较 由高位起依次进行比较 8、8.2、6.9、91、120 120＞91＞8.2＞8＞6.9 2、分数的大小比较 分母相同的分数，分子大的分数比较大 分子相同的分数，分母小的分数比较大 分子和分母都不相同的分数，先通分，再比较大小，或将它们的分子变成同一分子，再比较，或化成小数再比较。 例： 与 （1）通分，变成同分母分数再比较 所以 （2）变成同分子分数再比较 所以 （3）变成小数再比较 所以 3、分数、百分数、小数的混合比较 一般先将它们统一化成小数，然后按小数的大小比较方法，进行比较。 3.14、0、-2、 、 、 、 、-5、314% 4、注意：用原数进行比较和排序方法（>或<） 314%=3.14 六、数的整除 整除 倍数 公倍数 约数 公约数 最大公约数 质数 合数 质因数 能被2、3、5整除的数的特征 整除 互质数 分解质因数 最小公倍数 1、整除的意义 整数a除以整数b（b≠0）,除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除。也可以说b能整除a。（算式中都是整数） 6÷2=3 6能被2整除 2能整除6 7÷2=3.5 （×） 7能被2除尽 2÷0.5=4 （×） 2、约数（因数）和倍数。（正整数范围内） 如果整数a能被整数b整除，那么a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 6÷2=3 6是2和3的倍数 2×3=6 2和3是6的约数 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身；（自然数范围内，0除外） （非自然数范围: 1= ) 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 6÷2=3，所以6是倍数，2和3是约数。（×） 3、能被2、3、5整除的数的特征。 2：个位上是0、2、4、6、8 （12 10 28） 5：个位上是0或5 （10 15 20 25） 3：各个数位上的数的和能被3整除 （123 723 7062） 1+2+3=6 7+2+3=12 7+0+6+2=15 同时被2、5整除（2、5的共同特征）：个位是0 同时被2、3、5整除（2、3、5的共同特征）：个位是0，且各数位之和是3的倍数。 4、质数、合数、质因数、分解质因数。（正整数范围） 质数：一个数，如果只有1和它本身两个约数，叫做质数。（如：2、3、5、7、11…… 最小的质数是2） 合数：一个数，如果除了1和它本身两个因数，还有别的约数，叫合数。（如：4、6、8、9、10…… 最小的合数是4） 注意：1既不是质数，也不是合数。 质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 分解质因数的方法一般用短除法。 2 2 4 2 1 2 2 6 3 5 4 5 3 9 3 2 1 0 2 3 5 1 1 7 24=2×2×2×3 45=5×3×3 102=2×3×17 5、最大公约数和最小公倍数 几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个数叫做这几个数的最大公约数。 1是所有自然数（0除外）的公约数。（在整除范围内不包括0） 几个数公有的倍数叫做这几个数的最小公倍数。 公约数只有1的两个数叫做互质数。 6、最大公约数和最小公倍数的三种表现形式。 （1）较大的数是较小的数的倍数，则较大的数就是它们的最小公倍数，较小的数就是它们的最大公约数。 例：12，24：因为24÷12=2，所以最小公倍数是24，最大公约数是12。 （2）如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数是它们的乘积，它们的最大公约数是1。 例：9，11：最小公倍数是11×9=99，最大公约数是1。 2 3 6 4 8 2 1 8 2 4   3 9 1 2 3 4 （3）如果两个数具有公共质因数，那么，它们各自的质因数和公共质因数的乘积就是它们的最小公倍数；它们的最大公约数是它们公共质因数的乘积。（注：一直除到商是互质数为止。） 例：36和48 最小公倍数：2×2×3×3×4=144 36×4=48×3=144 最大公约数：2×2×3=12 2 3 6 4 8 2 1 8 2 4   3 9 1 2 3 4 练习：72和14 13和5 9和27 2 1 6 3 2 2 4 2 8 1 6 1 2 2 4 8 6 2 2 4 3 1 2 3 最大公因数：2×2×2=8 最小公倍数：2×2×2×2×2×3=96 （注意：求最小公倍数（而非最大公因数）时，要除到所有的商是互质数为止） 3、6和7 3 3 6 7 1 2 7 15、30和90 12、15和21 20、18和3 七、分数和小数的基本性质。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。 （分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数。） 小数的基本性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。（小数的后面×） 八、比的认识 1、比的意义： 2、比的各部分名称：6 : 4 = 1.5 3、比与除法、分数的关系 。 两个数相除，又叫做这两个数的比。 前项 比 后项 比值 号 名称 联 系 区 别 比 前项 :比号 后项 比值 除法 分数 被除数 分子 ÷（除号） —（分数线） 除数 分母 一种数 一种运算 一种关系 商 分数值 比也可以写成分数形式。 九、求比值与化简比。 （1）求比值：根据比值的意义，用前项除以后项，结果是一个数，可以是整数，小数或分数。 14:7=14÷7=2 7:2=7÷2=3.5（ ) 4、比的基本性质：比的前项和后项都乘以或除以相同的数（零除外），比值不变 500千克：1.5吨=500千克：1500千克= （2）化简比：根据比的基本性质，把比的前项和后项都乘以或除以相同的数（零除外），结果是一个比，它的前项和后项是互质数。（两个互质数都是正整数） 12：14=6:7 500千克：1吨=500千克：1000千克=1:2 (或4:3) （或8:7） 十、量的计量。 1、长度单位 1km=1000m 1m=10dm 1dm=10cm 1cm=10mm 1m=100cm 2、面积单位 1公顷=10000平方米 3、体积（容积）单位 1L=1000ml 注：1立方米是体积和容积的共用单位 4、质量单位 1吨=1000千克 1kg=1000g 1吨=1000000克 5、时间单位 （1）1世纪=100年 1年=12月=4季度 1季度=3月 　　大月（31天）有：1、3、5、7、8、10、12月共7个月 　　小月（30天）的有：4、6、9、11月共4个月 　　平年2月28天， 闰年2月29天 平年全年365天， 闰年全年366天 1月=3旬：上旬1～10日 中旬11～20日 下旬21～ 1周=7日 1日=24小时 1时=60分=4刻 1刻=15分 1分=60秒 1时=3600秒 （2）a、12时计时法：（名称+时间，且时间≤12时） 例：上午7：20 下午1：30 晚上8时30分 注:为了区分某一时刻，一般用“凌晨”、“早晨”、“上午”等来描述一天从0时起到中午12时止这段时间里的时刻；用“下午”、“晚上”、“夜里” 等来描述一天从中午12时起到晚上12时止这段时间里的时刻。 b、24时计时法：0～24时 c、12时计时法→24时计时法：（去掉数字前面的汉字，12时后时间数字+12） 例：早上7：00→7：00 下午1：00→13：00 晚上8：30→20：30 24时计时法→12时计时法：（数字前面加汉字，且12时后时间数字-12） 8：30→上午8：30 6：00→早上6：00 14时→下午2时 21时30分→晚上9时30分 d、求时间间隔用24时计时法求解。 例：早上7：50～下午1：30 解：下午1时30分=13时30分 13时30分-7时50分=5时40分 注：13：30-7：50=5：40（×）电子表表示方法只能表示某一时刻，不能表示一段时间间隔。 6：30～14：40 14时40分-6时30分=8时10分 （3）闰年 年数÷4 或整百年÷400 1742（×） 1500（×） 1996（√） 2000（√） 2004（√） 注：因为整百年要除以400，所以有时是8年一闰，而不是4年一闰。 6、名数的改写（单位换算） 名数=数字+单位 ①单名数的改写 3700米=（3.7）千米 3700÷1000=3.7 2010立方厘米=（2.01）立方分米 2010÷1000=2.01 2日=（48）时 2×24=48 2.05吨=（2050）千克 2.05×1000=2050 ×进率 高级单位的名数 ÷进率 低级单位的名数 ②复名数的改写（单位不变的数字也不变） 2.4时=（ ）时（ ）分 2560千克=（ ）吨（ ）千克 7吨60千克=（ ）吨 5吨40千克=（ ）千克 1.04米=（ ）米（ ）毫米 2 24 0.4×60=24 2 560 2560÷1000=2……560 或2560÷1000=2.560（小数部分不能省略） 7.06 60÷1000=0.06 7＋0.06=7.06 5040 5×1000=5000 5000＋40=5040 1 40 0.04×1000=40 补充：（书P44） 1、32以内3和5的公倍数：15、30 3和5的最小公倍数的倍数 2、10以内合数有（4、6、8、9、10） 10以内包括10 3、小数、分数、百分数之间的关系 小数（表示具体数值） 百分数（表示比例关系） 分数 4、分数能约分的必须要约分。 计算结果能约分的一定要约分，用分数表示阴影占几分之几的也尽量要约分。 5、小数的近似值默认为保留两位小数。 百分数的近似值默认为保留一 位小数。 6、最小的自然数是0；最小的偶数是0； 最小的一位数是1；最小的质数是2； 最小的合数是4；1既不是质数，也不是合数。 2、数的运算 一、四则运算的意义和法则 1、四则运算的意义 （1）加法的意义：把两个数合并成一个数的运算。 （2）减法的意义：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 （3）除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。 （4）A、整数乘法的意义：求几个相同加数和的简便运算。 B、小数乘法的意义：小数乘以整数的意义与整数乘法的意义相同;一个数乘以小数，就是求这个数的十分之几、百分之几……是多少 ？ C、分数乘法的意义：分数乘以整数的意义与整数乘法的意义相同;一个数乘以分数，就是求这个数的几分之几是多少 。 2、四则运算的法则 A、整数、小数 加减法：数位对齐（个位对齐或小数点对齐） 4-0.02 竖式计算 乘法：末位对齐（末尾0除外） 1.02×0.4 竖式计算 320×400 除法：除数必须化为正整数才能进行计算 0.423÷1.5=（4.23÷15） 竖式计算 B、分数（结果能约分的必须要约分－－分子和分母为互质数，即化为最简分数 ） 加减法：必须是同分母分数才能直接进行计算 乘法：分子乘分子，分母乘分母。 除法：乘以除数的倒数 二、四则混合运算 1、没有括号时，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算乘除，后算加减。 2、有括号时，先算括号内，后算括号外；先算小括号内，再算中括号内，最后算括号外。 8.5+（5.6-4.8）×13 ○里写上数字1、2、3 三、运算定律与简便算法 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： ① - - ②（ - ） ×45 ③ ×7+ ×3 ④ （51 + ） ÷ 17 = - ( + ) = ×45 - ×45 = - 1 =15-9 = =6 = ×(7+3) =51÷17+ ÷17 = ×10 =3+ =4 =3 ⑤ ×4+ － ×5 ⑥10000÷125÷25÷8÷4 = ×(4+1-5) = ×0 =0 =10000÷(125×8)÷(25×4) =10000÷1000÷100 =0.1 ⑦578+298 ⑧236－98 ⑨125×16 ⑩24×25 =578+300-2 =236-100+2 =878-2 =136+2 =876 =138 =125×8×2 =6×(4×25) =1000×2 =6×100 =2000 =600 ⑾44×25 ⑿25×（4+10） ⒀41×101 ⒁56×99 =11×(4×25) =(40+4)×25 =25×4+25×10 =11×100 =40×25+4×25 =100+250 =1100 =1000+100 =350 =1100 =41×(100+1) =56×(100-1) =41×100+41×1 =56×100-56×1 =4100+41 =5600-56 =4141 =5544 ⒂68%×4+0.68×5+ ⒃4×28+4×82－10÷ ⒄20.07×1994－19.93×2007 ⒅72×125 =0.68×(4+5+1) =4×(28+82-10) =0.68×10 =4×100 =6.8 =400 =20.07×(1994-1993) =9×(8×125) =72×1000÷8 =20.07×1 =9×1000 =9×1000 =20.07 =9000 =9000 ⒆44×25 ⒇9÷0.25 （21） × + × +2 （22）1300÷25 =11×(4×25) =(40+4)×25 =(9×4)÷(0.25×4) =11×100 =40×25+4×25 =36÷1 =1100 =1000+100 =36 =1100 = ×( + )+2 =13×(100÷25) =(1300×4)÷(25×4) = ×1+2 =13×4 =5200÷100 =2 =52 =52 （23）（0.8×99+0.8）× =[0.8×(99+1)]× =0.8×(100× ) =0.8×4 =3.2 （24）2830+450÷25×4 =2830+18×4 =2830+450÷100 =2830+72 =2830+4.5 =2902 =2834.5 25、 26、 27、 28、 29、 四、估算 注意：在乘法口诀范围内进行口算，以除尽为原则，答案可能不唯一 1、一个因数是一位数的乘法估算，另一个因数只保留最高位。 736×3≈700×3=2100 2、两位数除法的估算，把两位数看作整十数 632÷90≈630÷90=7 498÷72≈490÷70=7 3、估算方法 去尾法、进一法、四舍五入法、凑十法 、靠五法、平均法。 例：超市购物 果汁16.00元、火腿肠13.00元、蔬菜8.00元、洗发水23.00元、洗衣粉6.00元、牙膏3.00元， （1）淘气估算购物的价钱一定超过40元，他的估算对吗？ 去尾法：把最高位的数加起来 16+13+8+23+6+3≈10+10+20=40（元） 对 （2）妈妈带了100元，她带的钱够吗？（进一法） 16+13+8+23+6+3≈20+20+10+30+10+10=100（元 ） （3）淘气又估算了一次，他用的是什么方法？（四舍五入法） 16+13+8+23+6+3≈20+10+10+20+10+0=70（元） 假设法：全舍 4×6=24（元） 70+24=94（元）够 （4）妈妈是这样估算的：凑十法 16+23≈40（元） 13+8≈20（元） 6+3≈10（元） 40+20+10=70（元） （5）爸爸是这样估算的：凑十法 16+13≈15+15=30（元） 6+8+3≈15（元） 23≈25（元） 30+15+25=70（元 ） （6）平均法（殷浩然） 100÷6≈16（元） 23-16=7（元） 16-3=13（元） 例2：买一套《童话故事》156元和一套《成语故事》328元，大约需要多少钱？ 156+328≈160+330=490（元） 五、用算术法解应用题的一般步骤。 1、理解题意，明确已知条件和未知条件（所求问题） 2、分析数量关系，确定先算什么，再算什么。（确定每一步求的是什么） 3、列式计算 4、验算作答，就是检验列式过程是否合理，结果是否正确，与原题的条件是否相符，最后写出答案。 六、典型分数题 （1）甲是30，乙比甲多 ，乙是多少？ （X-30）÷30= （2）甲是30，乙比甲少 ，乙是多少？ （3）甲是30，比乙多 ，乙是多少？ (4) 甲是30，比乙少 ，乙是多少？ （5）甲是30，乙是25，甲比乙多几分之几？ （6）甲是30，乙是25，乙比甲少几分之几？ （7）甲是30，乙是25，乙是甲的几分之几？ （8）甲是30，乙是甲的，甲是多少？ （9）乙是25，是甲的 ，甲是多少？ 七、比例尺 图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺 图上距离∶实际距离 ＝ 比例尺 注意： (1)比例尺与一般的尺不同，它是一个比，且仅是长度比，不应带有计量单位。 (2)求比例尺时，前、后项的单位长度一定要化成同级单位． (3)为了计算简便，比例尺的前项或后项，一般应化简成“1”． （4）比例尺中的前项和后项不能颠倒。 （5）题中没有给出说明时，图上距离一般用厘米做单位。 补充：线段比例尺是用一条标有数字的线段来表示和地面上相对应的实际距离。 （每段长度默认为1厘米长度） 0 5 10 15km 化成数值比例尺是1cm:5km=1：500000 3、代数初步 一、用字母表示数 用字母表示数可以简明地表达数量关系，运算定律和计算公式。如S=vt a+b=b+a V=Sh 注意： 不同 4 1 2 1 3 二、简易方程 1、等式与方程 A、表示相等关系的式子，叫做等式。 B、含有未知数的等式，叫做方程。 2、方程的特征 A、方程必须是等式 B、方程必须含有未知数 3、方程的解和解方程 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 求方程的解的过程，叫做解方程。 4、解方程的方法。 主要应用加、减、乘、除法中各部分间的关系来解方程。 三、比和比例 1、比和比例的意义与性质 意义：两个数相除又叫做两个数的比。 表示两个比相等的式子叫做比例。 各部分名称：0.9 ： 0.6 = 1.5 前项 后项 比值 5 ： 6 = 20 ： 24 内项 外项 基本性质：比的前项和后项都乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。（解比例） （1）5：6=20：24 5×24=6×20 （2） 交叉相乘 5×24=6×20 2、正比例和反比例 正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 如何判断两个数量是否成正比例关系？ 反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，变化时两种量中相对应的两个数的积一定。这样两种相关联的量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。 怎么判断两个量是不是成反比例的量呢？ ① 两种量是相关联的量。 ② 一种量随另一种量的扩大而减小。 ③两种量变化时乘积一定，能用关系式表示为： 四、找规律 1、图形的变化规律 有些图形按行列方阵的形式排列，每一行每一列都有这些图形，呈循环排列。 ▲ □ ● ☆ □ ☆ ▲ ● ☆ ● □ ▲ 有些图形排成一行，每组图形呈循环排列。 ◎△□□◎△□□◎△□□…… 2、数列的变化规律 等差数列：每相邻两项的差是一定值。 1、3、5、7、9…… 等比数列：每相邻两项的商是一定值 1、3、9、27、81…… 从第3个数开始，每个数都是前两项之和 1、4、5、9、14…… 每一个数都是这个数所在项数的平方 1、4、9、16、25…… 每一个数都是这个数所在项数的立方 1、8、27、64…… 五、数量关系式 结余=收入-支出 总产量=单产量×数量 路程=速度×时间 利息=本金×利率×时间 工作总量=工效×时间 注：工效是指单位时间内的工作量。 例：某个工人8天生产了160个零件，他每天能生产多少个零件？（他的工作效率是多少？） 解1：160÷8=20（个） 解2：1÷8= 答：每天能生产20个零件；每天能生产 收入、单价、路程……叫做数量名称 例：打一份3000字的稿件。小明要10分钟才能完成，小李要15分钟才能完成，如果两人同时打这份稿件，至少要多少分钟才能完成？ 解1：3000÷10=300（字）3000÷15=200（字） 3000÷（300+200）=6（分） 解2： 六、找单位“1” 1、找关键字，确定单位“1”（单位“1”表示标准量） A、“的”前面是单位“1” B、“是、比、占、相当于”后面是单位“1” 2、找总量确定单位“1” 没有关键字时，哪个量表示总数，就以哪个量为单位“1” 3、原数量与现数量 原数量是单位“1” 例：（1）水结成冰后，体积增加了几分之几？ 水是原数量，所以水是单位“1” （2）冰融化成水，体积减少了几分之几？ 冰是原数量，所以冰是单位“1” 4、找不变量，确定单位“1”（单位“1”的转化） 找一下不变量，以这个不变量为单位“1” 例：五（2）男生人数占全班人数的 , 转走8名男生后，男生人数占全班人数的 ，原来全班有多少人？ 分析：男生（变量），女生（不变量），总人数（变量），所以以女生（不变量）为单位“1” 转走前：女生： 男生占女生： 转走后：女生： 男生占女生： 女生： 全班： 找等量关系式：以题中的某一个量列等式。 题中一共有3个量：总人数、男生人数、女生人数。其中总人数设为 ，只能以男生人数或女生人数列等量关系式。 方程解： 解：设原来全班有χ人？ 以男生人数列等式为： 方程解： 解：设原来全班有χ人？ 以女生人数列等式为: 二、空间与图形 1、图形的认识 一、图形的分类 二、图形之间的关系 等边三角形 三角形 等腰三角形 平行四边形 正方形 长方形 正方体 长方体 圆锥 立体图形 圆柱 三、线与角 直线：向两端无限延长，没有端点， 不可以度量和比较 1、线： 射线：向一端无限延长，有一个端点， 不可以度量和比较 线段：有两个端点，可以度量。（是直线的一部分） 2、角 （1）从一点引出两条射线就组成一个角。角的大小与两边的长短无关，只与两边张开的大小有关。 （2）角的分类 A、锐角：大于0°而小于90° B、直角：等于90° C、钝角：大于90°而小于180° D、平角：等于180° E、周角：等于360° 1周角=2平角=4直角 3、垂直与平行 两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 易错题：两条直线不平行，就相交（×） 四、平面图形 1、三角形 ①意义：由三条线段围成的图形叫做三角形。 ②特性：稳定性（不易变形） ③内角和等于180° ④三边关系： 任意两边之和大于第三边（两条较短边之和大于最长边） 任意两边之差小于第三边 易错题：两条边长分别是7米、5米，第三边可能有多长？（整米） 3~11 7-5=2~7+5=12 ⑤分类 2、四边形 ①平行四边形：两组对边分别平行（相等/平行且相等）的四边形叫做平行四边形。 特征：对边平行且相等；对角相等，对角线互相平分但不相等。 ②长方形：是特殊的平行四边形，且四个角都是直角。长方形的对角线相等且平分。 ③正方形：是特殊的长方形，且四条边都相等。正方形的对角线相等且平分，而且互相垂直。 ④梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 注意：三角形的边一定大于高（×） 直角三角形 梯形的边一定大于高（×） 直角梯形 五、立体图形 1、从不同位置观察物体，所看到的形状是不同的。 2、由低到高观察物体，不同位置看到的范围不一样。 由远到近看景物，看到的范围越来越小。 3、观察范围的确定：观察点（眼睛）和障碍物的有效点（临界点）连线。 2、图形与测量 一、平面图形的周长和面积。 长方形：C=(a+b)×2 S=ab 正方形：C=4a S=a2 平行四边形：S=ah 三角形：S= ah 梯形：S= (a+b)h 圆：C=πd=2πr S=πr2 二、立体图形的表面积和体积 长方体：S=(ab+ah+bh) ×2 V=abh 正方体：S=6a2 V=a3 圆柱体：S=S侧+2S底=Ch+2πr2 V=S底h=πr2h 圆锥体：V= S底h= πr2 h 6cm 2cm 4cm 平行四边形和长方形等底等高，面积相等。 都减去同一个三角形，两个梯形面积相等。 （2+6）×4÷2=16（平方厘米） 直接求解： （2+6）×4÷2=16 间接求解 求和：4×2+4×（6-2）÷2 求差：4×6-4×（6-2）÷2 4cm 4×2×4÷2-3.14×（4÷2)2= 6cm 45º 3.14×62÷8-6×（6÷2）÷2= （3.14×62÷4-6×6 ÷2） ÷2= 注：正方形的对角线相等且平分，并且互相垂直 1cm 3.14×12÷4-1×（1÷2）÷2 × 2 正方形的对角线相等且平分，而且互相垂直。 3、图形与变换 一、图形的平移和旋转。 （1）平移就是物体或图形沿直线移动（主要考虑水平和竖直方向 ）图案或者图形向任何方向移动，如果它的大小和方向没有改变，那么，这种运动叫做平移。 对应点的连线都是平行线 （2）物体旋转时是围绕一个点或一个轴作圆周运动。旋转是围绕旋转中心发生的，它也有一定的角度，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部。 对应点连成同心圆 旋转三要素：旋转点、旋转方向、旋转角度 例：图形A绕O点顺时针旋转90°得到图形B。 二、轴对称图形 1、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。 2、几种平面图形的对称轴 等腰三角形（1） 等边三角形（3） 长方形（2）正方形（4） 菱形（2） 等腰梯形（1） 圆（无数条，既任意旋转对称图形） 半圆（1） 平行四边形（不确定） 4、图形与位置 一、用“数对”表示位置的方法 先表示水平方向，再表示竖直方向，从O点往箭头方向数。 2 0 3 1 5 6 4 2 A 1 C 3 6 4 F 5 G B D E A：（0，0） B：（1，2） C：（2，1） D：（3，0） E：（4，4） F：（6，5） G：（0，6） 二、确定物体具体位置的方法。 确定任意方向上某一物体的具体位置方法：方向+距离 A B C D O A：西偏南40° 或南偏西50度 距O点4米 B：东偏南45 ° 南偏东45度 距O点6米 或东北6米处 C：东面10米处 D：东偏北30 ° 距O点8米 4米 6米 8米 10米 三、统计与概率 1、求平均数 平均数=总数量÷总份数 2、中位数的统计意义及计算方法 （1）中位数的统计意义 当一组数据中有个别数据偏大或偏小时，用中位数来代表该组数据的一般水平比平均数更合适，即中位数在数值大小上处于一组数据的最中间，主要反映了统计数据的中等水平，并且不受偏大或偏小等极端数据的影响。 （2）中位数的计算方法。 如果是奇数个数据，最中间的那个数据就为中位数，可直接在数据组中找出；如果是偶数个数据，最中间的两个数据的平均数就为中位数。 注意：在找中位数前要先给本组数据排序。 例：①5、9、4、7、2 排序：2、4、5、7、9或9、7、5、4、2 中位数：5 ②5、9、4、7 排序：4、5、7、9或9、7、5、4 中位数：（5+7）÷2=6 ③2、2、5、9、8 排序：2、2、5、8、9 中位数：5 ④4、3、6、7、7、10、12 排序：3、4、6、7、7、10、12 中位数：7 （3）众数：一组数据中出现次数最多的数。 例：2、5、4、3、4、7 众数：4 例：一组数据，去掉一个最高分和一个最低分，再计算平均分的评分方法，是否有道理，为什么？ 这是求中位数和求平均数两种方法的合用，先求中位数能避免（减少）极端数据的影响。 3、统计表 统计表分为单式统计表和复式统计表两种。制作统计表时，先将原始数据加以分类整理，按照统计要求分清类别，确定项目，设计表头，确定纵、横栏数，并根据需要计算出总计、合计、平均数或百分率。 4、统计图 分为单式和复式 条形统计图：表示具体数值的大小。 折线统计图：能表示出数量的变化趋势。 扇形统计图：能看出各部分与总数的百分比以及部分与部分之间的关系。 5、事件发生的可能性及游戏规则的公平性 （1）判断游戏公平的方法就是看事件发生的可能性是否相等。 （2）表示可能性的大小。 ①0表示不可能发生 1表示一定发生 ②用分数表示可能性大小 6、解决问题的策略 图形、寻找规律、列出所有的可能性、尝试特殊值或特殊的个案、后推广；实际操作、列方程、逻辑推理及改变观点等。 常见的解决问题的策略有画图、列表、猜想与尝试、从特例开始寻找规律。 Goodbye! $