第16章相交线与平行线综合专练 2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

第16章相交线与平行线综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、两个角有公共顶点但两角的对应边不在各自的反向延长线上，不是对顶角，选项不符合题意； B、两个角没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； C、两个角有公共顶点但两角的对应边不在各自的反向延长线上，不是对顶角，不符合题意； D、两个角有公共顶点并且任一个角的对应边在各自的反向延长线上，是对顶角，符合题意． 2．下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 利用命题的定义、余角的性质、对顶角的定义及平行公理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、取线段的中点，不是命题，不符合题意； B、同角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，符合题意； D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 3．如图，直线相交于点．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是考查关于角度运算问题．熟练掌握角的和差关系，平角性质，对顶角性质，是解题的关键． 运用平角求出的度数；即可得到的度数． 【详解】解: ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．如图，直线相交于点O，过点O作，且在内部，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直的定义和角平分线的定义进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵平分． ∴， ∴ 5．已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据命题的结构和真假命题的定义，依次判断三位同学的说法，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：∵当，时，满足，但， ∴原命题是假命题，甲同学判断错误． “若题设，则结论”是命题的标准形式，该命题的结论为， ∴乙同学判断正确． 添加条件都大于零后，命题变为“若且，则”， ∵两个正数的平方相等，正数本身必然相等， ∴该命题是真命题，丙同学判断正确． 综上，正确的判断共有个． 6．在南海海域巡航任务中，我国海警船在某观察点A处，发现其北偏东的方向B处，有一艘不明船只，我国另外一艘处于C处的海警船也发现了其北偏西方向的B处的不明船只，此时C处在A处的南偏东，则两艘海警船与不明船只的连线夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 7．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质以及翻折的性质得到，再根据平角的性质进行求解即可． 【详解】解：延长到， 对边互相平行的纸带， ， 由折叠可得， ， ， ， ， ． 8．下列命题中： 相等的角是对顶角； 直角三角形两个锐角互余； 如果，则； 如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等． 逆命题是真命题的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与逆命题，判断命题真假，分别写出四个命题的逆命题，并逐一判断其真假即可，掌握命题与逆命题是解题的关键． 【详解】解：命题的逆命题：“对顶角相等”，对顶角一定相等，故逆命题为真； 命题的逆命题：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，若两锐角之和为，则第三个角为，故三角形为直角三角形，逆命题为真； 命题的逆命题：“若，则”，绝对值相等时，与可能相等或互为相反数，逆命题为假； 命题的逆命题：“到线段两端距离相等的点是中点”，该点可能在线段的垂直平分线上而非线段上，故逆命题为假； 综上，逆命题为真的有个， 故选：． 9．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．根据点到直线的距离，即可求解． 【详解】解：如图： 符合条件的直线共有4条； 故选：D． 10．如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作平行线，利用平行线的性质将角进行转化，结合角平分线的定义，推导出与的数量关系． 【详解】解:如图，过点作，过点作． ∵ ， ∴， ∴，． ∵ ，分别平分，， ∴，，， ∴． ∵ ， ∴， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，解题关键是通过作平行线将角进行转化，结合角平分线的定义建立角之间的数量关系． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．把命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式：____________________． 【答案】如果两个角是同位角，那么这两个角相等 【详解】解：把命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式：如果两个角是同位角，那么这两个角相等． 12．下列说法正确的是______（填写序号） ①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②等角的补角相等；③不相等的角一定不是对顶角；④同位角相等；⑤过直线外一点做这条直线的垂线段，则这条垂线段叫作这个点到这条直线的距离． 【答案】①②③ 【分析】根据垂直的性质，补角的性质，对顶角的定义，平行线的性质，点到直线的距离的定义，逐一判断每个说法的正误. 【详解】解：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①正确； ②根据补角的性质，等角的补角相等，故②正确； ③对顶角一定相等，因此不相等的角一定不是对顶角，故③正确； ④只有两直线平行时，同位角才相等，缺少前提条件，故④错误； ⑤点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身，故⑤错误． 13．如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为________________________（写出每组具体名称），则的值是____________． 【答案】 与，与，与，与 14 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 先根据同位角、内错角、同旁内角的定义，分别找出图中这三类角的具体组合并数出对数，再将三类角的对数相加得到结果． 【详解】解：同位角有与，与，与，与，与，与，所以； 内错角有与，与，与，与，所以； 同旁内角有与，与，与，与，所以， 所以． 故答案为：与，与，与，与；14． 14．如图，平分，，则三个角的数量关系为___________ 【答案】 【分析】由平行线的传递性可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出和，结合角平分线的定义和垂直定义，即可得出三个角的数量关系． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴，， ∵平分，， ∴，， ∴， 即 ∴． 15．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】过点作于点，利用等面积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 解得， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小，即最小值为． 16．如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为________． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质与角平分线的定义；解题的关键是利用平行线间的折线模型，推导角之间的数量关系，再结合角平分线计算．过点、分别作平行线，分两种情形讨论,利用平行线的“折线模型”，先由得到或，再根据角平分线定义，得到，从而求出的度数． 【详解】解：过点作，过点作，分两种情形讨论: 情形一:如图, ∵ ， ∴ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分，平分， ∴ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ． 情形二,如图, ∵ ， ∴ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分，平分， ∴ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ． 故答案为：或。 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．如图，P是的边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为； (2)填空： ①线段___________的长度表示点P到直线的距离； ②______ ；（填“”“”或“”） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）①根据垂线的定义解题即可； ②根据垂线段最短解题即可． 【详解】（1）解：如图，、即为所求； （2）解：①线段的长度表示点P到直线的距离； ②因为垂线段最短，则． 18．如图，直线，相交于点，，垂足为，若，求的度数． 【答案】 【分析】根据得到，结合得到，最后根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．已知：如图，，于点G． (1)请说明； (2)若，试说明； (3)在（2）的基础上，与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由内错角相等，两直线平行进行判定，即可求解； （2）等量代换得，由同位角相等，两直线平行进行判定，即可求解； （3）由两直线平行，同位角相等得，即可求解； 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ， ． 20．如图，点E、F分别在线段和上，且于G，于H，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明 得出，从而可证得，即可由平行线的判定定理得出结论。 （2）设，根据，得出，结合，得出，根据，得出，求解即可。 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， y， ∴， ∵， ∴， 解得 ， ∴． 21．2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行公理得到，则由平行线的性质可求出的度数，进而可得的度数，再由两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 22．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【答案】(1)假命题，见解析； (2)假命题，见解析； (3)真命题，证明见解析； (4)假命题，见解析． 【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可 根据真命题和假命题的定义判断并说明即可． 【详解】（1）解：是假命题，反例： 当时， ，， ∴结论不成立； （2）解：是假命题，反例： 当时， ， ∴结论不成立； （3）解：是真命题，证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）解：是假命题，反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 23．【问题情境】数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行直线”为背景展开数学活动．如图，已知直线，． 【操作发现】 (1)如图①，若 求的度数； (2)如图②，创新小组的同学把三角板的位置进行了调整，当点在直线之间，点在直线的上方时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由． (3)【探究】如图③，开拓小组继续调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，点在直线上方时，他们得出的结论是 ，开拓小组的结论是否正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)开拓小组的结论正确，见解析 【分析】（1）根据平行线的性质进行解答即可； （2）根据平行线的性质进行解答即可； （3）根据平行线的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：∵ 直线， ∴ ， ∵ ， ∴ （2）解：． 理由：如图②，过点 B 作， ∵， ∵ ∴ ∴ （3）解：开拓小组的结论正确． 理由：如图③所示，过点 A 作， ∵ 即 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴开拓小组的结论正确． 24．如图1，直线，直线与分别交于点．将一个含角的直角三角板按图1放置，使点分别在直线上，． (1)若，则___________°； (2)如图2，延长交于点，在内作射线交直线于点．若，求的度数； (3)将三角板沿直线左右移动，保持，过点作射线平分交直线于点，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）过P作直线，根据平行公理，有，再根据平行线的性质，即可得解； （2）先证明，结合，得，根据平行线的性质，得，再根据，求出，最后再根据平行线的性质，等量代换，即可得解； （3）根据平移三角形分类讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当N，M分别在点G，H的左侧，根据平行线的性质，角平分线的定义即可作答． 【详解】（1）解：过点P作直线，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当N，M分别在点G，H的右侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴； ②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 综上所述，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章相交线与平行线综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 3．如图，直线相交于点．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线相交于点O，过点O作，且在内部，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．在南海海域巡航任务中，我国海警船在某观察点A处，发现其北偏东的方向B处，有一艘不明船只，我国另外一艘处于C处的海警船也发现了其北偏西方向的B处的不明船只，此时C处在A处的南偏东，则两艘海警船与不明船只的连线夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．下列命题中： 相等的角是对顶角； 直角三角形两个锐角互余； 如果，则； 如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等． 逆命题是真命题的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 10．如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．把命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式：____________________． 12．下列说法正确的是______（填写序号） ①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②等角的补角相等；③不相等的角一定不是对顶角；④同位角相等；⑤过直线外一点做这条直线的垂线段，则这条垂线段叫作这个点到这条直线的距离． 13．如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为________________________（写出每组具体名称），则的值是____________． 14．如图，平分，，则三个角的数量关系为___________ 15．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为_______． 16．如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为________． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．如图，P是的边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为； (2)填空： ①线段___________的长度表示点P到直线的距离； ②______ ；（填“”“”或“”） 18．如图，直线，相交于点，，垂足为，若，求的度数． 19．已知：如图，，于点G． (1)请说明； (2)若，试说明； (3)在（2）的基础上，与有怎样的位置关系？请说明理由． 20．如图，点E、F分别在线段和上，且于G，于H，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的大小． 21．2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 22．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 23．【问题情境】数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行直线”为背景展开数学活动．如图，已知直线，． 【操作发现】 (1)如图①，若 求的度数； (2)如图②，创新小组的同学把三角板的位置进行了调整，当点在直线之间，点在直线的上方时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由． (3)【探究】如图③，开拓小组继续调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，点在直线上方时，他们得出的结论是 ，开拓小组的结论是否正确？请说明理由． 24．如图1，直线，直线与分别交于点．将一个含角的直角三角板按图1放置，使点分别在直线上，． (1)若，则___________°； (2)如图2，延长交于点，在内作射线交直线于点．若，求的度数； (3)将三角板沿直线左右移动，保持，过点作射线平分交直线于点，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $