精品解析：2026年上海市虹口区九年级（中考二模） 数学试题

初三数学 （满分150分，时间100分钟） 注意： 1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列各式中，的有理化因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只需找到与相乘后积不含根号的选项． 【详解】解：∵两个含有根式的代数式相乘，若它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式． 又∵，结果不含根号，符合有理化因式的定义． 其余选项与相乘后，结果仍含有根号，不符合要求． 2. 已知氧原子的直径大约是毫米，那么数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 3. 下列函数中，函数值随着 增大而减小的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不同函数的增减性，只需根据各类函数的性质，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：对选项A：是开口向下的二次函数，对称轴为， 当时，随 增大而增大，A不符合要求； 对选项B：是反比例函数，， 在每个象限内随 增大而增大，且在整个定义域不满足随 增大而减小，B不符合要求； 对选项C：是一次函数，比例系数为，在全体实数范围内，随 增大而减小，C符合要求； 对选项D：是常函数，函数值不随 变化而改变，D不符合要求． 4. 一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，如果搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，那么红球的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设红球个数为 ，根据摸到白球的概率列方程求解即可． 【详解】解：设红球的个数为 ，则袋子中总球数为个， ∵摸到白球的概率等于白球个数除以总球数，已知摸到白球的概率为， ∴可得方程， 解得 ，经检验， 是原方程的解， ∴红球的个数为2． 5. 如图， 中， ，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了作图——复杂作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质等，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键． A选项中，由作法知，可判断A；B选项中，由作法知 是的平分线，根据角平分线的定义和三角形内角和定理得出，根据等腰三角形的定义即可判断B；C选项中，由作法知所作图形是线段 的垂直平分线，可判断C；D选项中，由作法知，所作图形是线段 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断D． 【详解】解：选项A、由作法知， 是等腰三角形，故选项A不符合题意； 选项B、由作法知 是的平分线， 即， ∵ ，， ∴， 故， ∴， 是等腰三角形，故选项B不符合题意； 选项C、由作法知，所作直线是线段 的垂直平分线， ， 不能判定 是等腰三角形，故选项C不符合题意； 选项D、由作法知，所作直线是线段 的垂直平分线， ， 是等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：C． 6. 如图，在中， ，，．以点 为圆心，为半径作圆，当点 在内且点 在外时，的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理可得 ，再根据“点 在内且点 在外”可得，由此即可得出答案． 【详解】解： 在中， ，，， ， 点 在内且点 在外， ，即， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 2的相反数是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：的相反数是． 8. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 9. 将二元二次方程化为两个一次方程为______． 【答案】和 【解析】 【分析】二元二次方程的中间项，根据十字相乘法，分解即可． 【详解】解：， ， ∴，． 故答案为：和． 【点睛】本题考查了高次方程解法和分解因式的能力．熟练运用十字相乘法，是解答本题的关键． 10. 请写出一个常数的值，使得关于 的方程有两个不相等的实数根，那么的值可以是______． 【答案】0（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出的取值范围，即可得到符合要求的的值． 【详解】解： 关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得， 那么的值可以是：0（答案不唯一，满足即可）． 11. 将二次函数的图象向左平移个单位后经过原点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律“左加右减”是解题的关键．根据二次函数图象平移规律“左加右减”，得到平移后的函数解析式，再代入原点坐标求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移个单位后，新函数解析式为． 由于图象经过原点，代入点得：， 即， 整理得， 或， 或， ， ． 故答案为：． 12. 为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，这20个数据的中位数是______． 书籍数量/本 人数/人 【答案】8 【解析】 【分析】根据中位数的定义，先确定20个数据从小到大排列后中位数的位置，再找到对应位置的数据计算即可得到结果． 【详解】解：一共有20个数据，将数据从小到大排列后，中位数为第10个和第11个数据的平均数． 分享4本的累计人数为， 分享6本的累计人数为， 分享8本的累计人数为， 因此第10个和第11个数据都为 ， 则中位数为． 13. 如图，已知小明调查了团队中每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了不完整的扇形统计图和条形统计图，那么喜欢黄色的同学有______人． 【答案】 【解析】 【分析】根据条形统计图和扇形统计图中蓝色部分的数据求出调查的总人数，再计算出红色部分的人数，最后用总人数减去绿、红、蓝三部分的人数即可得出喜欢黄色的人数． 【详解】解：由统计图可知，喜欢蓝色的有人，占总人数的，则调查的总人数为（人）． 喜欢红色的人数为（人）． 喜欢黄色的人数为（人）． 14. 如图，在矩形 中，，， 经过点 、 和 边上的点 ，如果 的半径是5，那么 的长是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，，利用的圆周角所对的弦是直径可得为直径，在中利用勾股定理求出 的长，最后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵在矩形 中，，， ∴，， 如图：连接， ∵， ∴是 的直径，即， ∴， ∴． 15. 如图，以正六边形的顶点 为圆心， 的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为，那么该正六边形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵正六边形的内角是，阴影部分的面积为， 设正六边形的边长为， ∴ ， 解得． 则正六边形的边长为3． 16. 如图，在中，对角线、交于点， 为 的重心，连接并延长交 于点 ，设，，那么用向量、表示是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质三角形法则求出，根据重心的性质，相似三角形的判定与性质求出，即可求解． 【详解】解：∵在中，对角线、交于点，，， ∴，，， ∴， ∵ 为 的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，在中，， ，．点 在边 上，点 在边 上，联结 ，把沿 翻折得到，联结、 ，如果四边形为平行四边形，那么的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】 设 与 交于点 ，根据正切的定义得到，求出，根据勾股定理得到，根据翻折的性质得到，，设，根据平行四边形的性质得到，，，通过证明，得到，列出关于 的方程，求出 的值，得到，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设 与 交于点 ， 在中，， ∴， ∴， ∵沿 翻折得到， ∴，， 设，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴， 在中，， 即的长是2． 18. 已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用二次函数顶点解析式以及待定系数法进行求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 根据题意得，， 将代入解析式得， 解得或． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 先化简，再求值：．其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 20. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①得： 解不等式②得： 不等式两边同乘2得 ∴不等式组的解集为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线经过顶点 和边上的一点 ，，．设边与 轴正半轴的夹角为，且． （1）求双曲线的表达式； （2）如果轴，求点 的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图：过C作轴于D，解直角三角形可得、，即；再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，如图：过A作轴于E， 再解直角三角形可得，即点A的纵坐标为；再根据轴可得点B的纵坐标为，然后再求点B的横坐标即可解答． 【小问1详解】 解：如图：过C作轴于D， ∵，． ∴，即，解得：， ∴， ∴， 设双曲线的表达式为， ∵C在双曲线上， ∴，解得：， ∴双曲线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 如图：过A作轴于E， ∵，． ∴，即，解得：， ∴点A的纵坐标为， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∵点B在双曲线上， ∴点B的横坐标为， ∴． 22. 根据以下素材，完成任务． 素材一 如图1，如果平面镜 ，入射光线 经平面镜 反射，得到反射光线，那么反射角等于入射角，即． 素材二 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻……”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示． 素材三 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点 ，墙角记为点 ，邻居记作点 ，镜子（平面镜）记作 ，于点，入射光线经平面镜 反射，得到反射光线，于点 ，又作为入射光线通过水盆 反射得到反射光线 ，进入观察者的眼中（抽象为点 ）．已知于点 ，，，水盆到墙角的距离米． 素材四 参考数据：，，． 问题解决： （1）任务一：求邻居 到墙角 的距离； （2）任务二：如果入射光线不变，将镜子 绕点顺时针旋转 ，在左侧的观察者仍能通过水盆 看到邻居 ，那么水盆 应向左还是右平移？平移多少米？ 【答案】（1） （2）水盆B应向左平移，且平移 【解析】 【分析】（1）先求出，，再解直角三角形得出，再根据，求出即可； （2）先证明此时 与重合，解直角三角形得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即邻居A到墙角P的距离为； 【小问2详解】 解：当镜子 绕点顺时针旋转 后，如图所示： 此时， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴此时 与重合， ∴此时， ∴， ∴点B向左移动，且移动距离为：． 23. 如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、，，延长交于点 ，交于点 ． （1）求证：四边形为正方形； （2）如果，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， ∵在 和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形为正方形． （2）证明：连接， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， 由勾股定理得： ， ∵ ， ∴， 即， ∵， ∴， ∵由（）知 ，即， ∴， ∵是的外角， ∴， 在中，由内角和定理： ， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴，即，代入， 得：． 【解析】 【分析】（）先利用已知的两个直角，通过减去公共角，推导出；再结合，用证明，得到；接着结合，判定四边形是矩形，最后根据邻边，得出四边形为正方形； （）连接，先由（）中正方形的性质，结合勾股定理得到；再利用等腰直角 的角度关系和外角定理，推导出；随后通过两角对应相等证明，得到比例式，交叉相乘后结合，证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知抛物线． （1）画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时和之间的数量关系； 1 2 2 （2）已知点 为抛物线与轴的交点，点 、 在抛物线上，连接、、 和． ①如果四边形为正方形，那么的值是 ，和之间的数量关系是 ； ②如图，当时，已知四边形为菱形，．点 在抛物线上且横坐标为2，连接、 ，如果的面积为，求抛物线的表达式． 【答案】（1）抛物线的对称轴是， （2）①， ② 【解析】 【分析】（1）根据表中两个点的坐标可知，抛物线经过点和，并且这两点对称，所以可知对称轴为； （2）根据正方形的性质可知抛物线的对称轴是，所以；根据正方形的对角线互相平分且相等，把点 、 的坐标表示出来，并表示出 的长度，根据找出和的关系； （3）根据菱形的性质，可知点 的坐标，把点 的坐标代入抛物线的解析式，可得抛物线的解析式为，点 的坐标，点 的坐标为，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点 的坐标，从而可知，根据的面积为，可得，解方程求出的值，再根据求出的值，从而得到抛物线的解析式． 【小问1详解】 解：由表可知，抛物线经过点和， 抛物线的对称轴是， ， 抛物线的解析式是， 把点的坐标代入可得： 【小问2详解】 ①解：当时，可得：， 点 的坐标为， 四边形是正方形， 是正方形的对角线， 点 、 关于 对称， 抛物线的对称轴是， ； ，点 、 的纵坐标是， 可得：， 整理得：， 解得：， 点 的坐标为，点 的坐标为， ， 可得：， ， 解得：或（不符合题意，舍去）； ②解：如下图所示，连接 ，、， 四边形为菱形， ，，， ， ， ， ，， 点 的坐标是， 把点 的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为，点 的坐标， 点 的横坐标为， ， 点 的坐标为， 设直线的解析式是， 则有， 解得： ， 直线的解析式是， 当时，可得：， 点 的坐标为, ， ， ， ， ， 抛物线的解析式为． 25. 如图，在扇形中，，点 是弧 上一点，点 是半径上的点，连接 ，的平分线和的平分线相交于点 ，连接 ． （1）求证： ； （2）连接 （如图）．如果，，的外接圆与扇形所在的圆 相交． ①当时，求与 的公共弦的长； ②连接 和，交于点 ，当时，求的值和 的长． 【答案】（1） 解：∵平分，平分， ，， ，，， ， ， 在中， ， 即， ， ∴， ； （2）①； ②， 【解析】 【分析】（）连接，由平分，平分，得，，进而可证，得，即得 ，得到，即可求证； （）①由得，由（）知，由得，，即得，​，利用​可求出、 ，进而利用勾股定理可求出圆半径，设两圆另一交点为 ，由得劣弧的圆心角 ，又由垂直平分公共弦，可得点 、 、  共线，为圆 直径，再利用等腰直角三角形的性质等腰求出即可求解；②延长 交圆于点 ，由垂径定理得，，由得，即得，再证明，得 ，​，即得，延长交 于 ，由三线合一得 为 中点，可得​，​，得到​，再证明，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①， ，即， 由（）结论可得，， ， ，， ， ​， ∴​， 设，则​， ，即​​， ∴​​， 设圆半径为 ，则，​​， 在 中，， 即​， 解得​， 设圆与圆 的另一个交点为 ，连接、， 是两圆的公共弦， ，优弧所对的圆心角为， 劣弧所对的圆心角， ， 又垂直平分公共弦， ， ，，且 为公共点， 、 、 三点共线， 过圆心 ，即是圆 的直径， 、 都在圆上， ​， 是等腰直角三角形， ， ， 与 的公共弦长为； ②延长 交圆于点 ， ， 垂直平分弦， ，， ， ， ， ， 是圆心，是圆 的弦， ，即 是的垂直平分线， ， 平分，即， ∵，， ∴， ， ，， ∴， ，即， ， 在和中， ，，， ， ，， ， 延长交 于 ， 平分，， ， 为 中点， ​， ∵是等腰直角三角形， 为 中点， ∴， ​， ∴在中，​， ∵，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 （满分150分，时间100分钟） 注意： 1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列各式中，的有理化因式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知氧原子的直径大约是毫米，那么数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，函数值随着 增大而减小的是（） A. B. C. D. 4. 一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，如果搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，那么红球的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图， 中， ，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中， ，，．以点 为圆心，为半径作圆，当点 在 内且点 在 外时，的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 2的相反数是______． 8. 计算：______． 9. 将二元二次方程化为两个一次方程为______． 10. 请写出一个常数 的值，使得关于 的方程有两个不相等的实数根，那么 的值可以是______． 11. 将二次函数的图象向左平移个单位后经过原点，则 的值为__________． 12. 为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，这20个数据的中位数是______． 书籍数量/本 人数/人 13. 如图，已知小明调查了团队中每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了不完整的扇形统计图和条形统计图，那么喜欢黄色的同学有______人． 14. 如图，在矩形 中，，， 经过点 、 和 边上的点 ，如果 的半径是5，那么的长是______． 15. 如图，以正六边形的顶点 为圆心， 的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为，那么该正六边形的边长是______． 16. 如图，在中，对角线 、 交于点 ， 为 的重心，连接并延长交 于点 ，设，，那么用向量、表示是______． 17. 如图，在 中，，，．点 在边 上，点 在边上，联结 ，把沿 翻折得到，联结 、，如果四边形为平行四边形，那么的长是______． 18. 已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 先化简，再求值：．其中． 20. 解不等式组： 21. 如图，在平面直角坐标系 中，已知双曲线经过顶点 和边上的一点 ，，．设边与 轴正半轴的夹角为，且． （1）求双曲线的表达式； （2）如果轴，求点 的坐标． 22. 根据以下素材，完成任务． 素材一 如图1，如果平面镜 ，入射光线 经平面镜 反射，得到反射光线，那么反射角等于入射角，即． 素材二 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻……”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示． 素材三 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点 ，墙角记为点 ，邻居记作点 ，镜子（平面镜）记作 ，于点 ，入射光线经平面镜 反射，得到反射光线，于点 ，又作为入射光线通过水盆 反射得到反射光线，进入观察者的眼中（抽象为点 ）．已知于点 ，，，水盆到墙角的距离米． 素材四 参考数据：，，． 问题解决： （1）任务一：求邻居 到墙角 的距离； （2）任务二：如果入射光线不变，将镜子 绕点 顺时针旋转，在左侧的观察者仍能通过水盆 看到邻居 ，那么水盆 应向左还是右平移？平移多少米？ 23. 如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接 、，，延长 交于点 ，交 于点 ． （1）求证：四边形为正方形； （2）如果，求证：． 24. 已知抛物线． （1）画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时 和 之间的数量关系； 1 2 2 （2）已知点 为抛物线与轴的交点，点 、 在抛物线上，连接、 、 和． ①如果四边形为正方形，那么 的值是 ， 和 之间的数量关系是 ； ②如图，当时，已知四边形为菱形，．点 在抛物线上且横坐标为2，连接、，如果的面积为，求抛物线的表达式． 25. 如图 ，在扇形中，，点 是弧 上一点，点 是半径上的点，连接 ，的平分线和的平分线相交于点 ，连接 ． （1）求证： ； （2）连接（如图 ）．如果，，的外接圆与扇形所在的圆 相交． ①当时，求与 的公共弦的长； ②连接和，交于点 ，当时，求的值和的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $