2025年上海市虹口区中考数学二模同考点练习试卷

2025年上海市虹口区中考数学二模试卷 同考点练习卷 同考点练习在保持核心考点不变的条件下替换题目，在多样化的题目情境中反复巩固核心知识点。 题号 一 二 三 总分 得分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面式子中，是最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.以下是一组按规律排列的单项式：，，，，，其中第个单项式是(    ) A. B. C. D. 3.当时，下列函数值随增大而增大的是(    ) A. B. C. D. 4.如图是根据某早餐店日至日每天的用水量单位：吨绘制成的折线统计图下列结论正确的是(    ) A. 平均数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 方差是 5.如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点已知，，则的长为(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.计算： ______． 8.化简：________． 9.若关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为          ． 10.不等式组的解集为________． 11.如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点是点关于原点的对称点，连接，则的面积为______． 12.华罗庚说过：“复杂的问题要善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”可见，复杂的问题有时要“退”到本质上去研究．如图，已知抛物线的图象与的图象关于直线对称，我们把探索线的变化规律“退”到探索点的变化规律上去研究，可以得到图象所对应的关于与的关系式为若抛物线与的图象关于对称，则图象所对应的关于与的关系式为          ． 13.年中央电视台的春节联欢晚会共涉及多项非遗项目为弘扬中国文化，增强学生的文化自信，某中学团委准备从“中国书法”、“中国篆刻”、“中国剪纸”、“中国皮影戏”四个项目里随机选取两个项目进行综合实践活动，则选中“中国剪纸”和“中国皮影戏”的概率是______． 14.如图，在梯形中，，，点是边的中点，联结、交于点，设，那么用向量、表示向量是______． 15.由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为，那么小正六边形的面积为______． 16.如图，在中，，，，如果以点为圆心的与以边为直径的外切，那么的半径长是______． 17.在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点若，，则          填“”或“”；若对于，，，存在，则的取值范围是          ． 18.如图，在中，，，，点在上，且，以为旋转中心将直线绕点顺时针方向旋转，旋转后所得的直线将分成两部分，若其中一部分为等腰三角形，则该等腰三角形的面积为          ． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分计算：． 20.本小题分解方程组： 21.本小题分如图，在中，，以为直径作，交于点，是的切线且交于点，延长交于点． 求证：； 若，，求的长． 22.本小题分某工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产吨蓝莓蜜饯． 已知蓝莓的采购成本价万元吨与蓝莓的采购量吨成一次函数关系，其中的几组数据如表所示每吨原材料蓝莓的加工费为万元，减重率为蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图如图． 求与的函数解析式不写定义域； 求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； 根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得万元的利润？如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． 备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率 吨 万元吨 23.本小题分已知：如图，在梯形中，，，，的平分线交延长线于点，交于点． 求证：四边形是菱形 联结交于点，如果，求证：． 24.本小题分定义：若函数在上的最大值记为，最小值记为且满足，则称函数是在上的“极差函数”，已知函数：． 求证：函数与轴有两个不同的交点； 当时，函数是在为整数上的“极差函数”，求的值； 若函数是在上的“极差函数”，且存在整数，使得，求的值． 25.本小题分如图，矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为斜边作等腰直角三角形点在上方． 若，求的长； 当点从点运动到点的过程中，求的外接圆的圆心到边距离的最大值； 当点从点运动到点时，则点经过的路径长为______． 第6页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市虹口区中考数学二模试卷 同考点练习卷 同考点练习在保持核心考点不变的条件下替换题目，在多样化的题目情境中反复巩固核心知识点。 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面式子中，是最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，，，不是二次根式，是最简二次根式， 故选：． 2.以下是一组按规律排列的单项式：，，，，，其中第个单项式是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：罗列前四个单项式，找到系数，符号以及字母的次数的规律可知： 第个单项式是， 第个单项式是， 第个单项式是， 第个单项式是， ， 第个单项式是． 故选：． 3.当时，下列函数值随增大而增大的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，，随的增大而减小，故A选项不符合题意； B.，，在每个象限，随的增大而增大，故B符合题意； C.是二次函数，，对称轴为轴，故当时，随着的增大而减小，故C选项不符合题意； D.中，当时，随的增大而减小，故D不符合题意． 故选B． 4.如图是根据某早餐店日至日每天的用水量单位：吨绘制成的折线统计图下列结论正确的是(    ) A. 平均数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 方差是 【答案】D  【解析】解：、计算平均数可得：，故选项错误，不符合题意； B、众数为，，，，，众数有多个，不是唯一的，故选项错误，不符合题意； C、按从小到大排列这组数据可得：，，，，，判断中位数是，故选项错误，不符合题意； D、方差，故选项正确，符合题意； 故选：． 5.如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形． 【解答】 解：四边形是平行四边形， ， 对角线上的两点、满足， ，即， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 故选：． 6.如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点已知，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：过点作于点， 由作图方法可得出是的平分线， ，， ， 在和中， ≌， ， 在中，，， ， 设，则， 故在中， ， 即， 解得：， 即的长为：． 故选C． 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.计算： ______． 【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 8.化简：________． 【答案】  【解析】解：原式． 9.若关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为          ． 【答案】  【解析】 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 解得且， 为整数， 整数的最大值为， 故答案为：． 10.不等式组的解集为________． 【答案】  【解析】解不等式，得；解不等式，得该不等式组的解集为 11.如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点是点关于原点的对称点，连接，则的面积为______． 【答案】  【解析】解：如图：连接， ， 点在反比例函数的图象上，轴于点， ， 点是点关于原点的对称点， ， ， ， 故答案为：． 12.华罗庚说过：“复杂的问题要善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”可见，复杂的问题有时要“退”到本质上去研究．如图，已知抛物线的图象与的图象关于直线对称，我们把探索线的变化规律“退”到探索点的变化规律上去研究，可以得到图象所对应的关于与的关系式为若抛物线与的图象关于对称，则图象所对应的关于与的关系式为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换的有关知识，设为图象上一点，则关于的对称点为，然后代入求解即可． 【解答】 解：设为图象上一点，则关于的对称点为， 将代入得 ， 整理得： 故答案为：． 13.年中央电视台的春节联欢晚会共涉及多项非遗项目为弘扬中国文化，增强学生的文化自信，某中学团委准备从“中国书法”、“中国篆刻”、“中国剪纸”、“中国皮影戏”四个项目里随机选取两个项目进行综合实践活动，则选中“中国剪纸”和“中国皮影戏”的概率是______． 【答案】  【解析】解：将“中国书法”、“中国篆刻”、“中国剪纸”、“中国皮影戏”四个项目分别记为，，，， 列表如下： 共有种等可能的结果，其中选中“中国剪纸”和“中国皮影戏”的结果有：，，共种， 选中“中国剪纸”和“中国皮影戏”的概率为． 故答案为：． 14.如图，在梯形中，，，点是边的中点，联结、交于点，设，那么用向量、表示向量是______． 【答案】  【解析】解：点是边的中点， ． ， ， ， ，四边形为平行四边形， ，， 点是边的中点， ， ， ． 故答案为：． 15.由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为，那么小正六边形的面积为______． 【答案】  【解析】解：根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为， 小正六边形的面积为： ， 故答案为：． 16.如图，在中，，，，如果以点为圆心的与以边为直径的外切，那么的半径长是______． 【答案】  【解析】解：连接， 与外切， 经过切点， 在中，，，， ， 为的直径， ， ， ， ， 的半径长是， 故答案为：． 17.在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点若，，则          填“”或“”；若对于，，，存在，则的取值范围是          ． 【答案】 【解析】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下， ，， ， ； ，，，， ， 存在， ，，且离对称轴最远，离对称轴最近， ，即，且， ，， 且， 解得：， 故答案为：；． 18.如图，在中，，，，点在上，且，以为旋转中心将直线绕点顺时针方向旋转，旋转后所得的直线将分成两部分，若其中一部分为等腰三角形，则该等腰三角形的面积为          ． 【答案】或或或  【解析】 【详解】解：在中，，，， ， ， ， 设所在直线为， 直线与相交时，设交点为， 当时，如图，过点作于点， 则三线合一， ， ， 等腰三角形的面积为； 当时，如图，过点作于点， 则， 同理得：， ， 等腰三角形的面积为； 直线与相交时，设交点为， 当时，如图，过点作于点， 同理得：， ， ， 三线合一， 等腰三角形的面积为； 当时，如图，过点作于点， 则， 同理得：， ， 等腰三角形的面积为； 综上，该等腰三角形的面积为或或或． 故答案为：或或或． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 计算：． 【答案】．  【解析】解：原式 ． 20.本小题分 解方程组： 【答案】解：由得     分 原方程组可转化为， 解得分 解得． 所以原方程组的解为，，，．  21.本小题分 如图，在中，，以为直径作，交于点，是的切线且交于点，延长交于点． 求证：； 若，，求的长． 【答案】证明见解析；  ．  【解析】证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 是的切线 ， ； 解：连接， 是的直径， ， ， 由可知， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得， ． 22.本小题分某工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产吨蓝莓蜜饯． 已知蓝莓的采购成本价万元吨与蓝莓的采购量吨成一次函数关系，其中的几组数据如表所示每吨原材料蓝莓的加工费为万元，减重率为蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图如图． 求与的函数解析式不写定义域； 求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； 根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得万元的利润？如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． 备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率 吨 万元吨 【答案】；  万元吨；  需要采购蓝莓的重量为万吨．  【解析】解：由题意，设蓝莓的采购成本价万元吨与蓝莓的采购量吨成一次函数关系为， ． ． 与的函数解析式为． 由题意，样本中蓝莓蜜饯的平均销售价万元吨． 由题意，蓝莓的采购量吨， 利润． 令利润， ． 舍去或． 又一年最多能生产吨蓝莓蜜饯， ． ，故符合题意． 答：需要采购蓝莓的重量为万吨． 23.本小题分 已知：如图，在梯形中，，，，的平分线交延长线于点，交于点． 求证：四边形是菱形 联结交于点，如果，求证：． 【答案】证明：的平分线交延长线于点， ． 又， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 如图，连接，交于点，交于点， ， ， ． 四边形是菱形， ，， ， ， 梯形，， 四边形是等腰梯形， ． 又， ， 即， ， ∽， ， ．  24.本小题分 定义：若函数在上的最大值记为，最小值记为且满足，则称函数是在上的“极差函数”，已知函数：． 求证：函数与轴有两个不同的交点； 当时，函数是在为整数上的“极差函数”，求的值； 若函数是在上的“极差函数”，且存在整数，使得，求的值． 【答案】证明见解答；   或；   ．  【解析】证明：令， 解得：或， 即函数与轴有两个不同的交点； 解：当时，二次函数：， 为，对称轴为直线， 当时，， 当时， 当时，， 若，则， ， 解得舍去； 若，则， ， 解得舍去，； 若，则， ， 解得，舍去； 若，则， ， 解得舍去， 综上所述，或； 解：， ， ， 二次函数的对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时取得最大值，时取得最小值， 函数是在上的“极差函数”， ， ， 则， ，为整数，且， 的值为， ． 25.本小题分 如图，矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为斜边作等腰直角三角形点在上方． 若，求的长； 当点从点运动到点的过程中，求的外接圆的圆心到边距离的最大值； 当点从点运动到点时，则点经过的路径长为______． 【答案】； ； ．  【解析】解：四边形为矩形， ， ， ， ， ． ，，， ， 在和中， ， ≌， ， ． 为等腰直角三角形， ； ， 的外接圆的圆心在斜边的中点处． 设的外接圆的圆心为，过点作于点，如图， ，， ， ， 为的中位线， ． 设，则， 由知：，， ∽， ， ， ， ， 当时，有最大值为． 的最大值为． 的外接圆的圆心到边距离的最大值为． 过点作于点，于点，连接，如图， ，，， 四边形为矩形，， 为等腰直角三角形， ，， ，， 在和中， ， ≌， ，， 四边形为正方形， ， 点在的平分线上运动， 当点从点运动到点时，则点经过的路径长为当最大时线段的长， ． 由知：设，则，， 设，则，， ， ， 的最大值为， 点经过的路径长为． 故答案为：． 第6页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $$