第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末检测（二）-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

2025-2026学年度高一下学期必修三第八章章末检测（二） 一、单选题 1．已知平面向量，，若与为单位正交基底，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D．1 2．已知，，则（    ） A．3 B．1 C． D． 3．平面向量与的夹角为，，，则 A． B． C． D． 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．在矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则（    ） A． B．4 C． D． 6．下列命题正确的有（    ） A．使得等式成立 B．都有 C．已知为第一象限角，若则 D．若，则角是第一象限角 7．在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点A(x1,y1)和第二象限内的点B(x2,y2)都在单位圆O上，，∠AOB＝θ，其中sinθ＝，cosθ＝，若y2＝，则x1的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知平面向量， 则（    ） A． B． C． D． 10．下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在平面四边形中，，，，，若点为线段上的动点（包含端点），则的取值可能为（    ） A．4 B． C．3 D． 三、填空题 12．写出一个与向量垂直的非零向量=____． 13．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值他可以用表示.若实数n满足，则___________. 14．若对任意恒成立，则的最大值为________． 四、解答题 15．设函数． （1）化简；（2）若，求值． 16．求值： (1)求 的值； (2)求 的值. 17．已知. （I）化简； （II）若，且是第二象限角，求的值. 18．已知函数，，相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求的单调递增区间； (2)在锐角中，若，求的取值范围. 19．已知. (1)求函数的单调增区间； (2)设，求函数，的值域； (3)设且，将函数的图像上的点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像.若存在常数，使得关于恒成立，求满足条件的和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年度高一下学期必修三第八章章末检测（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C C A A B BCD AC 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】直接由向量的夹角公式求解即可 【详解】解：由题意得，设与的夹角为，则 ， 故选：A 2．D 【详解】因为， 又， 故， 因此. 3．A 【详解】试题分析：∵平面向量与的夹角为，，， ∴， ∴， 故选A. 考点：平面向量数量积的运算. 4．C 【分析】先由诱导公式及商数关系求出，再由倍角公式和齐次分式求值即可. 【详解】由，则，可得， 则. 故选：C. 5．C 【分析】根据题意得到，代入计算得到答案. 【详解】， 所以 . 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力. 6．A 【分析】通过举例判断ABC，利用两角和的正弦公式，正弦函数的性质判断D． 【详解】时，，A正确； 时，不成立，B错误； ，，它们都是第一象限角，满足，但，C错； 由得，， 若是第一象限角，即，， ，D错误． 故选：A． 7．A 【详解】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，计算求得x1的值 【分析】∵第一象限内的点A(x1,y1)和第二象限内的点B(x2,y2)都在单位圆O上， ，∠AOB＝θ，设，其中，， 若，则， 则 故选：A 8．B 【解析】将角拆分成及特殊角的形式，利用诱导公式、倍角公式进行进一步的处理可得答案. 【详解】， 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知角的某种三角名称值，求其相关角的三角名称值问题，把题目中已知的角做整体及特殊角一起，去构造需要求解的角，再利用诱导公式、倍角公式进行处理. 9．BCD 【分析】应用向量数量积的坐标运算可得，由向量坐标的线性运算求、，即可得答案. 【详解】由题设，，故，A错误，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD 10．AC 【分析】A由即可计算判断，B由即可计算判断，C由即可计算判断，D由化简即可求得. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：AC 11．BCD 【分析】由已知条件可得，设，则，由，展开后，利用二次函数性质求解即可 【详解】 , 因为，，， 所以， 连接，因为， 所以≌，所以， 所以，则， 设，则， 延长CB，DA交于点O，则，即， ，，，， 所以， 因为，所以， 对于A，，所以A错误， 对于B，，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D正确， 故选：BCD 12．(2，1) 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】设，因为， 所以，当时，， 所以与向量垂直的非零向量可以是， 故答案为： 13．2 【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、降次公式、诱导公式求得正确答案. 【详解】根据题中的条件可得： . 故答案为： 14． 【分析】首先由，辅助角公式及正弦函数的图像得出，则，设，由同角三角形函数的平方关系得出，即可将原不等式变形为，再根据函数在的单调性求出最小值，即可得出的最大值． 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 设， 因为， 所以， 则， 设，， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以在上单调递减， 所以， 所以，即的最大值为， 故答案为：． 15．（1）；（2）. 【分析】（1）本题可通过诱导公式以及二倍角公式得出结果； （2）本题可通过二倍角公式以及同角三角函数关系得出结果. 【详解】（1） ， 故. （2）， 因为，所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦的和差角公式即可求解， （2）根据辅助角公式以及同角之间的关系即可化简求解. 【详解】（1）由得 （2） 17．（I）；（II）. 【分析】（I）利用诱导公式和商数关系求解； （II）由，进而得到，再利用二倍角公式和两角和的余弦公式求解. 【详解】（I）原式； （II）若，且是第二象限角， 所以， 所以，， 所以， . 18．(1)，； (2) 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简函数，结合题意整体代入求解；（2）将所求转化为只含一个角的三角函数，再根据锐角三角形中角的范围确定该三角函数的取值范围. 【详解】（1）， ∵相邻两条对称轴之间的距离为， ∴， ∵，∴，∴， ∵的单调递增区间为，， ∴， 得， 故单调递增区间为，； （2）， ∵，∴， ，得， ∴， ∵∴，∴， ∴， 的取值范围为. 19．(1) (2) (3)​ 或 【分析】（1）化简函数，根据正弦函数的单调性求解即可. （2）换元法，再结合二次函数的最值求解即可. （3）根据题意得到，再利用两角和的正弦公式把，进而分析出. 【详解】（1）. 令，解得. 单调增区间为 . （2）当时，，因此. 令，则，，该函数开口向上，对称轴为. 最小值：.令，则，时. 则值域. （3）横坐标变为原来的倍，. 由对任意恒成立，得. 展开整理得对任意恒成立， 因此系数均为0，即.​ 由同角三角函数关系得，即. 若，，得，即. 若，，即，得，即. 综上，​ 或 . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $