第8章 章末综合检测(二)向量的数量积与三角恒等变换（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

章末综合检测(二) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简：－＝(　　) A．2sin 4　　　　　　 B．－2sin 4 C．2cos 4 D．－2cos 4 解析：选C.因为－ ＝－， 又＜4＜，所以cos 4＞sin 4，sin 4＋cos 4＜0， 所以原式＝cos 4－sin 4－[－(sin 4＋cos 4)]＝2cos 4.故选C. 2．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2，1)，a＋3b＝(5，4)，则sin θ＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.设b＝(x，y)， 则a＋3b＝(2＋3x，1＋3y)＝(5，4)， 所以解得即b＝(1，1)， 所以cos θ＝＝， 所以sin θ＝＝. 3．已知α∈(，π)，且sin(α＋)＝，则cos α＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.因为α∈(，π)，所以α＋∈(，). 又sin (α＋)＝， 所以cos (α＋)＝－ ＝－，故cosα＝cos ＝cos (α＋)cos ＋sin (α＋)sin ＝－×＋×＝.故选A. 4．已知|a|＝1，|b|＝2且a⊥(a＋b)，则a在b上的投影的数量为(　　) A．－1 B．1 C．－ D． 解析：选C.因为a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0，所以a·b＝－1，所以a在b上的投影的数量为＝－.故选C. 5．已知cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝，则tan αtan β的值为(　　) A． B．－ C．－ D． 解析：选B.由cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，联立方程组，可得cos αcos β＝，sin αsin β＝－，又由tan αtan β＝＝－.故选B. 6．如果α∈，且sin α＝，则sin －cos (π－α)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B.sin －cos (π－α)＝sin α＋cos α＋cos α＝sin α＋cos α.因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－.所以sin α＋cos α＝×－×＝－. 7．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选B.由向量的平行四边形法则，知当|＋|＝||时，∠A＝90°.又||＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－. 8．若＝，则tan (α＋)＝(　　) A．3 B． C．－3 D．－ 解析：选B.由题知，当cos α＝0时，原等式不成立，故cos α≠0， 对原式左侧分子、分母均除以cos α，可得＝，所以tan α＝2，所以tan (α＋)＝＝＝.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知α，β为锐角，cos (α＋β)＝，tan α＋tan β＝1，则(　　) A．sin αcos β＝ B．cos (α－β)＝1 C．tan αtan β＝ D．tan 2(α＋β)＝－ 解析：选BCD.因为α，β为锐角，cos (α＋β)＝， 可得sin (α＋β)＝＝＝，① 由tanα＋tan β＝1， 得＋＝＝1，② 由①②得cos αcos β＝， 又cos (α＋β)＝，得sin αsin β＝， 则cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1，B正确； tan αtan β＝＝，C正确； 又cos (α＋β)＝，sin (α＋β)＝， tan (α＋β)＝＝， 从而tan 2(α＋β)＝＝＝－，D正确； 由B知cos(α－β)＝1， 则有α－β＝2kπ，k∈Z，β＝α－2kπ，k∈Z， sin αcos β＝sin αcos (α－2kπ)＝sin αcos α＝sin 2α， 又sin (α＋β)＝， 则sin (α＋α－2kπ)＝sin 2α＝， 所以sin αcos β＝，A错误． 10．设a，b，c是三个向量，下列命题正确的是(　　) A．a，b反向⇔a·b＝－|a||b| B．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c C．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 D．(a·b)c－(c·a)b＝0 解析：选AC.A中，因为a与b反向，所以夹角为180°，因此a·b＝|a||b|cos 180°＝－|a||b|，反之也成立，故A正确；B中，a·b－a·c＝a·(b－c)＝0，又a≠0，则b＝c或a⊥(b－c)，故B错误；C中，左边＝9a2－4b2＝9|a|2－4|b|2＝右边，故C正确；D中，由于数量积是实数，因此(a·b)c，(c·a)b分别表示与c，b共线的向量，运算结果不为0，故D错误． 11．已知向量m＝(2cos2x，)，n＝(1，sin2x)，设函数f(x)＝m·n，则下列关于函数f(x)的性质的描述正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝对称 B．f(x)的图象关于点对称 C．f(x)的最小正周期为 D．f(x)在上单调递增 解析：选AD.f(x)＝2cos2x＋sin2x＝cos 2x＋sin 2x＋1＝2sin ＋1. 当x＝时，sin ＝sin ＝1， 所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，选项A正确； 当x＝时，sin ＝0，所以函数f(x)的图象关于点对称，不关于点对称，选项B错误； 函数f(x)的最小正周期为T＝＝π≠，选项C错误；当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在上单调递增，选项D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知sin ＝，则sin ＝________. 解析：sin ＝sin ＝cos ＝cos ＝1－2sin2＝1－＝. 答案： 13．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则|2a－b|＝________． 解析：因为a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝2，所以a·b＝3.因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝28，所以|2a－b|＝2. 答案：2 14．已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin B＝，则A＋B＝________. 解析：因为sin2＋cos＝＋cos A－sin A＝，所以sin A＝. 又sin B＝，A，B均为钝角， 所以cos A＝－，cos B＝－， 所以cos (A＋B)＝cos Acos B－sin A sin B＝(－)×(－)－×＝. 又π＜A＋B＜2π，所以A＋B＝. 答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知向量a与向量b的夹角为，且|a|＝1，|2a－b|＝. (1)求|b|；(7分) (2)若a⊥(a－λb)，求实数λ的值．(6分) 解：(1)由|2a－b|＝，得4|a|2－4a·b＋|b|2＝7， 则|b|2－2|b|－3＝0，解得|b|＝3或|b|＝－1(舍去)， 所以|b|＝3. (2)由a⊥(a－λb)，得a·(a－λb)＝0， 所以a2－λa·b＝0，所以1－λ＝0，所以λ＝. 16．(本小题满分15分)已知α，β∈(0，)，cos α＝，cos (α＋β)＝. (1)求sin β的值；(8分) (2)求cos (α＋2β)的值．(7分) 解：(1)因为α，β∈，所以0＜α＋β＜π. 又cos α＝，cos (α＋β)＝， 所以sin α＝＝， sin(α＋β)＝＝. 所以sin β＝sin [(α＋β)－α] ＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝×－ ×＝. (2)由(1)可知，cos β＝＝， 所以cos(α＋2β)＝cos [(α＋β)＋β] ＝cos (α＋β)cos β－sin (α＋β)sin β ＝×－×＝. 17．(本小题满分15分)某小区拟用一块半圆形地块(如图所示)建造一个居民活动区．已知半圆形地块的直径AB＝4千米，点O是半圆的圆心，在圆弧上取两点C，D，使得BC＝DC，把四边形ABCD建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段AB，BC，CD和DA组成的塑胶跑道．设∠COB＝θ，且≤θ<. (1)求塑胶跑道的总长l关于θ的函数关系式；(7分) (2)当θ为何值时，塑胶跑道的总长l最长，并求出l的最大值．(8分) 解：(1)由已知得BC＝CD＝2OB sin ＝4sin ， ∠AOD＝π－2θ， 故DA＝2OA sin ＝4sin (－θ)＝4cos θ， 所以l＝AB＋BC＋CD＋DA＝4＋8sin ＋4cos θ，≤θ<. (2)由(1)知，l＝4＋8sin ＋4cos θ＝4＋8sin ＋4(1－2sin2) ＝－8sin2＋8sin＋8＝－8(sin －)2＋10≤10，≤θ<， 所以当且仅当sin ＝， 即θ＝时，l取得最大值10千米． 18．(本小题满分17分)已知＝(4，0)，＝(2，2)，＝(1－λ)＋λ(λ2≠λ). (1)求·及在上的投影的数量；(5分) (2)证明A，B，C三点共线，并在＝时，求实数λ的值；(5分) (3)求||的最小值．(7分) 解：(1)·＝8，设与的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， 所以在上的投影的数量为||cos θ＝4×＝2. (2)＝－＝(－2，2)，＝－＝(1－λ)－(1－λ)＝(λ－1)， 因为与有公共点B， 所以A，B，C三点共线． 当＝时，λ－1＝1，所以λ＝2. (3)||2＝(1－λ)2||2＋2λ(1－λ)·＋λ2||2＝16λ2－16λ＋16＝16＋12. 所以当λ＝时，||取到最小值2. 19．(本小题满分17分)已知向量a＝(1，－)，b＝，函数f(x)＝a·b. (1)若f(θ)＝0，求的值；(8分) (2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．(9分) 解：(1)因为a＝(1，－)，b＝， 所以f(x)＝a·b＝sinx－＝sinx－cos x． 因为f(θ)＝0，即sin θ－cos θ＝0， 所以tan θ＝， 所以＝＝＝＝－2＋. (2)由(1)知f(x)＝sin x－cos x＝2sin ， 因为x∈[0，π]，所以x－∈， 当x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－； 当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2， 所以当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $