2025-2026学年高一数学下学期5月期中考试模拟卷(二)（辽宁适用）

**基本信息** 2025-2026学年高一数学下学期5月期中模拟卷，覆盖人教B版必修三与解三角形内容，通过梯度化题型设计，考查数学抽象、逻辑推理及运算能力，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量坐标运算、三角函数图像变换、解三角形判定|第7题结合扇形与三角形面积计算，考查几何直观；第11题通过对称中心探究三角函数性质，体现数学思维| |填空题|3题/15分|单位向量数量积、三角恒等变换、锐角三角形最值|第14题以锐角三角形为背景求边长最小值，渗透数学建模意识| |解答题|5题/77分|向量模与数量积、三角化简求值、解三角形综合、三角函数性质|17题结合解三角形求周长范围，考查逻辑推理；19题探究三角函数对称轴与解的个数，体现创新应用，贴合高考命题趋势|

2025-2026学年高一数学下学期5月期中考试模拟卷(二) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四解三角形。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】由二倍角的余弦公式得. 2．角α的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设结合任意角三角函数定义可得答案. 【详解】因为，所以点位于第二象限，α是第二象限角， 则，，， 所以，，，则B正确，CD错误； 又，当且仅当时，， 即时，不一定成立，则Ａ错误． 3．已知，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以. 4．要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（   ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位 B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位 C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】首先根据诱导公式化为同名三角函数，再根据变换规律求解. 【详解】， 将的图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变），变为， 再向左平移个单位，得到函数. 5．已知的内角、、的对边分别为、、，若，且的面积为4，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】使用正弦定理和三角形面积公式求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理得, 所以， 当且仅当时等号成立， 又因为， 所以，， 即是等腰直角三角形， 又因为， 所以， 所以. 6．若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由已知可得角的角平分线与垂直，所以是等腰三角形，结合可得角，从而选出正确答案. 【详解】分别是非零向量同向的单位向量， 因为，所以角的角平分线与垂直， 即角的角平分线与边上的高重合，所以，即是等腰三角形. 由，得. 又，所以. 因此，是等边三角形. 7．如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，，，扇形圆心角，，则扇形区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，. 中，，，，， 由正弦定理得，解得， 扇形区域面积为. 8．已知函数的最小正周期为，将的图象向下平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的一个单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数的解析式，再根据周期求函数的解析式，根据平移和伸缩变换求的解析式，最后根据选项，利用代入法求函数的一个单调递增区间. 【详解】 最小正周期，得， 即，图象向下平移2个单位长度后得到函数，横坐标伸长到原来的2倍后得到函数， A.当，，此区间先减后增，故A错误； B. 当，，是正弦函数减区间的子集，故B错误； C. 当，，是正弦函数增区间的子集，故C正确； D.当，，此区间先增后减，故D错误； 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A选项，由， 得， 即，故A正确； B选项，，故B错误； C选项，，故C正确； D选项， ，故D错误. 10．已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．若，且三点共线，则 【答案】BCD 【分析】首先根据已知条件判断的形状，进而可判断A；通过平面向量基本定理可判断B；通过向量在向量上的投影向量公式即可判断C；通过三点共线的向量表示可判断D. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以为直角三角形， 因为，所以是上靠近点C的三等分点，如图： 对于A，， 由勾股定理知，故A错误； 对于B，由题意知， 所以，故B正确； 对于C，由B知， 所以 ， 所以向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为， 所以， 由B知，所以， 又三点共线，所以，所以，故D正确. 11．已知函数的一个对称中心为，则（    ）    A．的最小正周期为 B． C．在单调递增 D．函数在有且仅有两个最小值，则实数的范围为 【答案】ACD 【分析】根据最小正周期公式即可判断A；对于B：可得，结合的取值范围运算求角；对于C：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数最小值点运算求解. 【详解】对于选项A：因为的最小正周期，故A选项正确； 对于选项B：因为函数的一个对称中心为， 则，即， 且，则，可得，解得， 所以函数，故B错误； 对于选项C： 因为 ，则， 且在内单调递增，所以在单调递增，故C正确； 对于选项D：因为，则， 若函数在有且仅有两个最小值， 则，解得， 所以实数的范围为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知两个单位向量，的夹角为，该平面内，，则=______． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律及定义运算即可得解. 【详解】. 13．若，则的值为__________. 【答案】 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值. 【详解】 . 14．在锐角中，，，分别是角，，的对边，且，则的最小值是______． 【答案】7 【分析】利用正弦定理对进行处理得到，然后根据为锐角三角形得到，再根据诱导公式和换元法得到，最后利用基本不等式求最值即可． 【详解】对两边同乘得， 由正弦定理得， 因为，所以，因为为锐角三角形，所以， 进一步可得，解得， 得到 ， 令，则， 所以， 由基本不等式， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为7． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知平面向量，的夹角为，且，. (1)求并计算的值； (2)求； (3)若，，，且，求实数k的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量数量积公式 计算 ，利用向量数量积的分配律展开，再代入已知模长和已求得的数量积进行计算； （2）先计算，利用完全平方公式展开后，代入已知模长和数量积，最后对结果开平方； （3）根据向量垂直的性质可得. 【详解】（1）本题考查平面向量的基本运算，利用向量数量积公式、模长公式、垂直性质求解即可： 依题意， 展开待求式：； （2） 因此； （3）由题意得：， 因为，所以，代入得：， 解得. 16．（1）已知化简求值： ； （2）已知且求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据诱导公式，将所求进行化简，再分子分母同时除以，计算求值，即可得答案. （2）根据条件，求出的范围，根据同角三角函数的关系，可得，的值，根据两角差的余弦公式，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由诱导公式得. （2）因为，所以， 因为，， 所以，， 则 . 17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求B； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理将边的关系转化为角的关系，再结合同角三角函数的关系求解角B; （2）先利用正弦定理将a、c用角A、C表示，再结合三角形内角和定理将周长转化为关于单一角的函数，最后利用三角函数的性质求解取值范围. 【详解】（1）由和余弦定理，得， 则，显然，所以， 又，故. （2）因为，所以，， 又，所以，， 所以， 又，则，所以 ，所以， 所以，故的周长的取值范围为. 18．如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)若，，求的值； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可； （2）先根据余弦定理得到，，再结合可得，进而得到，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， 所以， 在中，，，， 由正弦定理得，则，解得. （2）在中，， 由余弦定理得， 在中，，， 由余弦定理得， 因为，所以，解得， 所以， 因为，所以， 所以的面积. 19．已知函数， (1)若，，求函数在上的值域； (2)若，函数在内没有对称轴，求的取值范围； (3)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入函数，由范围求相位区间，再利用正弦函数单调性，确定函数的最值，得到值域； （2）写出对称轴方程，根据区间内无对称轴的条件，列不等式求的取值范围； （3）由周期求，转化方程为相位形式，分析区间内解的个数，结合相位区间与方程解的位置，确定的范围. 【详解】（1）当时，，则， 由正弦函数单调性，，，故. （2）当时，，正弦函数对称轴满足 在无对称轴，即不存在整数使得， 即对某个整数，且，整理得： 结合，整数仅可取和，时不等式无解. 若：，得； 若：. 综上所述，的取值范围. （3）由周期，得，则， 方程的解为或，， 解得或. 当时，， 区间长度含675个周期（），贡献 1350 个解，要求在区间内恰好有一个解， 结合分析，在内的解为. 若：仅落在区间，恰好1个解，符合； 若：都落在区间，共2个解，不符合； 若：仅落在区间，恰好1个解，符合； 若：区间内无解，不符合. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期5月期中考试模拟卷(二) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四解三角形。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（   ） A． B． C． D． 2．角α的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A．1 B． C． D． 4．要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（   ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位 B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位 C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 5．已知的内角、、的对边分别为、、，若，且的面积为4，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 6．若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 7．如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，，，扇形圆心角，，则扇形区域的面积为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的最小正周期为，将的图象向下平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的一个单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．若，且三点共线，则 11．已知函数的一个对称中心为，则（    ）    A．的最小正周期为 B． C．在单调递增 D．函数在有且仅有两个最小值，则实数的范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知两个单位向量，的夹角为，该平面内，，则=______． 13．若，则的值为__________. 14．在锐角中，，，分别是角，，的对边，且，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知平面向量，的夹角为，且，. (1)求并计算的值； (2)求； (3)若，，，且，求实数k的值. 16．（1）已知化简求值： ； （2）已知且求的值. 17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求B； (2)若，求的周长的取值范围. 18．如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)若，，求的值； (2)若，，求的面积． 19．已知函数， (1)若，，求函数在上的值域； (2)若，函数在内没有对称轴，求的取值范围； (3)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $