专题11 动态平衡和临界极值问题 讲义-2027届高考物理一轮复习题型精讲及课时精练

专题11 动态平衡和临界极值问题 题型一 动态平衡问题 1 题型二 平衡中的临界、极值问题 6 【基础回顾】 1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。 2.做题流程 3.解决极值和临界问题的三种方法 极限 分析法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 数学 分析法 通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值） 图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 题型一 动态平衡问题 1.“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 一个力（F1）恒定，另一个力（F2）方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化。若F1与F2不垂直，当F3⊥F2时，F3有最小值，F3min＝F1sin θ，如图乙。 2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 一力恒定（如重力），其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向平行，即三力构成的矢量三角形与△ACO几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本矢量图，如图所示 基本关系式：。 3.一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 【例题精讲】 1．（2026·北京东城·一模）如图所示，将一个铅球放在倾角为的斜面上，并用竖直挡板挡住。不考虑铅球受到的摩擦力，挡板缓慢由竖直放置逆时针旋转到与斜面垂直位置的过程中，下列说法正确的是（    ） A．斜面对铅球的支持力增大 B．挡板对铅球的支持力增大 C．挡板对铅球的支持力先减小后增大 D．斜面和挡板对铅球的合力大小不变 2．（2026·辽宁·模拟预测）武打片中经常有飞檐走壁的镜头，其实这是借助悬绳拍摄产生的效果，某演员（未画出）在下列四种拍摄场景中均在空中做匀速运动，由绳①和绳②连接演员，若忽略绳所受重力，则绳①受力最小的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河南·月考）如图所示，点为固定在竖直面内半径为的圆的圆心，点为光滑圆上的最高点，将质量为的小环（视为质点）套在圆上，一段轻绳一端固定在点，另一端系在小环上，小环静止，轻绳的长度为，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．轻绳上的拉力大小为 B．圆对小环的作用力大小为 C．假设仅减小绳长，则圆对小环的作用力增大 D．假设仅减小绳长，则圆对小环的作用力减小 4．（2026·安徽·三模）带电小球固定在竖直的绝缘杆上，有一根不可伸长的绝缘轻质细线一端连接带电小球，另一端系在绝缘杆上，平衡时两小球的位置如图所示。设小球受到细线的拉力为、库仑力为，使小球缓慢向上移动小段距离，小球再次平衡时（　　） A．、都变大 B．、都变小 C．变大，变小 D．变小，变大 5．（25-26高一下·河南漯河·月考）为了增加春节期间欢乐喜庆的氛围，很多地方都悬挂了灯笼，如图为某处悬挂的灯笼，轻绳AO和BO长度相等，A、B两点等高，灯笼静止，若仅将A、B间的距离减小些，则（　　） A．轻绳AO上的拉力减小 B．轻绳AO上的拉力增大 C．轻绳AO和BO上拉力的合力减小 D．轻绳AO和BO上拉力的合力增大 6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图所示，水平放置的木板上放有匀质光滑球，球用细绳拴在木板右端。现将木板以左端为轴，抬起右端缓慢转至竖直状态，在转动过程中绳与木板之间的夹角保持不变，则（　　） A．木板对球的支持力先增大后减小 B．木板对球的支持力先减小后增大 C．细绳对球的拉力先减小后增大 D．细绳对球的拉力先增大后减小 7．（25-26高一上·贵州毕节·期末）如图所示，不可伸长的轻绳两端分别固定在圆环上的两点，重物系在轻绳的中点处，稳定时点处于圆环中心，绳水平，绳与夹角。圆环绕点在竖直平面内缓慢转过始终保持静止状态.则在旋转过程中（    ） A．段轻绳的张力逐渐增大 B．段轻绳的张力先增大后减小 C．段轻绳的张力逐渐增大 D．段轻绳的张力先减小后增大 （多选）8．（25-26高一上·江西·月考）如图所示，轻质细线一端拴接一质量为的小球，另一端悬挂于天花板上的点，在外力、重力和细线拉力的作用下处于平衡状态，此时。初始时水平，且细线与竖直方向的夹角为，与的夹角为。下列说法中正确的是（　　） A．保持水平，逐渐缓慢增大角，与逐渐增大. B．保持小球位置及角不变，缓慢减小角直至，一直减小 C．保持大小不变，方向沿逆时针缓慢转到竖直过程中，角先增大再减小 D．保持角不变，缓慢增大角，直至悬线接近水平，先增大后减小 （多选）9．（25-26高一上·山东烟台·月考）如图，用OA、OB两根轻绳将质量为m的花盆悬于两竖直墙之间，开始时OA与竖直墙壁夹角为60°，OB绳水平。现保持O点位置不变，改变OB绳的长度使绳右端由B点缓慢上移至点，此时与OA之间的夹角。设此过程中OA、OB绳的拉力分别为、（重力加速度为g），则（    ） A．、的合力将增大 B．先减小后增大 C．先减小后增大 D．最小为 （多选）10．（25-26高一上·河南南阳·期末）如图甲所示是“中国天眼”口径球面射电望远镜维护时的照片。为不损伤望远镜球面，重力为的工作人员被悬在空中的气球拉着，当他在离底部有一定高度的望远镜球面上缓慢移动时，气球对其有竖直向上的恒力（）作用。如图乙所示，球面上点与球心的连线与竖直方向的夹角为。将人视为质点，当工作人员站在图乙中的点缓慢向点移动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．球面对人的作用力变大 B．球面对人的作用力不变 C．球面对人的支持力增大 D．球面对人的摩擦力增大 题型二 平衡中的临界、极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： （1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 （2）绳子恰好伸直，拉力F＝0。 （3）刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 （1）极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端（极大或极小），从而找出平衡的临界点和极值点。 （2）数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。 （3）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 【例题精讲】 1．（2026·四川广元·二模）如图所示，两根紧靠但无相互作用力的半圆柱体A、B静止于粗糙程度处处相同的水平地面上。现将另一根圆柱体C轻放在这两根半圆柱体上，三者均静止。已知圆柱体A、B、C的材料、长度、半径、密度均相同，不考虑它们之间的摩擦。若用水平向右的力拉半圆柱体A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面，整个过程中B均保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则半圆柱体与地面间动摩擦因数的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北·期末）如图所示，A、B、C三个物体静止叠放在水平地面上，它们的质量均为m，A、B间的动摩擦因数为 ，B、C间的动摩擦因数为，B和地面间的动摩擦因数也为。设B足够长，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。现对A施加一水平向右的拉力F，下列判断正确的是（    ） A．当力F足够大时，C的加速度大小为 B．当力F足够大时，B的加速度大小为 C．当时，A与B恰好未发生相对滑动 D．当时，C与B已经发生相对滑动 3．（25-26高一上·湖北随州·期末）如图所示，物体P、Q用轻绳连接后跨过光滑轻质定滑轮，物体P放在长木板上，物体Q悬挂在定滑轮的另一侧。长木板与水平地面的夹角为，物体P与长木板之间的动摩擦因数，物体P相对长木板静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（    ） A．物体P、Q的质量之比的最大值为 B．物体P、Q的质量之比的最小值为 C．若从60°缓慢减小到45°的过程中，物体P始终静止，则轻绳对滑轮的作用力保持不变 D．若从60°缓慢减小到45°的过程中，物体P始终静止，则物体P对长木板的作用力保持不变 4．（25-26高一上·辽宁大连·期末）如图所示，一质量为的木块紧靠质量为的长方体形空铁箱后壁（未粘连），在水平拉力的作用下保持相对静止一起在光滑水平地面上向右做直线运动。现逐渐减小拉力，木块始终没有与后壁分离，铁箱与木块之间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，从拉力开始逐渐减小（未减至0）到木块落到箱底前，下列说法错误的是（　　） A．铁箱对木块的支持力一直减小 B．铁箱和木块在水平方向上一直做加速运动 C．当时，物块与铁箱将发生相对滑动 D．铁箱对木块的摩擦力先不变再减小 5．（2026·山西太原·一模）如图所示，在攀岩训练中，某时刻运动员的一只脚尖踩在固定于竖直墙面的半圆柱的圆弧面上，接触点为，该半圆柱横截面的圆心为，连线与竖直方向的夹角为。已知脚尖与圆弧面间的动摩擦因数为，可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．为保证脚尖不打滑，只需要满足 B．半圆柱对脚尖支持力的方向竖直向上 C．若，脚尖向墙壁靠近后一定不会打滑 D．脚尖对半圆柱的作用力的方向可能竖直向下 6．（2026·河北承德·一模）在一次维修工作中，工人需要将重物提升至5楼。为防止重物在上升过程中碰撞阳台，工人采用了如图所示的装置进行提升。图中O处安装有一个定滑轮，AB为一段动摩擦因数0.75的滑轨，其水平跨度为16m，竖直高度为12m。在提升过程中，绳子与滑轨之间的夹角为α（重物在A点时，）。工人通过拉动绳子，使质量为m的重物沿滑轨匀速上升。绳子质量、滑轮与绳子之间的摩擦力均忽略不计。，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．绳上的拉力大小为 B．滑轨对重物的支持力先增大后减小 C．绳上的拉力一直增大 D．当夹角α=37°时，绳上的拉力有最小值 7．（25-26高一下·河南濮阳·开学考试）如图某同学自制了一个简易动滑轮演示仪器，柔软的轻质细绳左端固定在竖直圆环上A点，右端可在竖直圆环上自由移动，右端的位置B比左端略高，AB均高于圆心且位于竖直直径的两侧，C位置低于圆心。动滑轮下面悬挂了可视为质点的物块，不计动滑轮的摩擦，下列说法正确的是（    ） A．若绳右端缓慢下移到C的过程中，A、B等高时绳上张力最大 B．若绳右端缓慢左移至和左端重合，绳上张力先增大后减小 C．若保持右端在B位置不变，绕过圆心且垂直于圆面的轴顺时针缓慢转动圆环，直到A点运动至最高点的过程中，当左右两端等高时绳上张力最大 D．若保持右端在B位置不变，绕过圆心且垂直于圆面的轴顺时针缓慢转动圆环，直到A点运动至最高点的过程中，绳上张力持续减小 （多选）8．（25-26高一下·河南濮阳·开学考试）如图所示，质量为的物块受到水平向右的恒力F作用，在倾角的斜面上匀速运动，已知斜面的质量为，斜面始终处于静止状态，物块与斜面之间的摩擦因数为，重力加速度大小为，，，则下列说法正确的是（    ） A．物块受到斜面的摩擦力必定平行斜面向下 B．地面对斜面的摩擦力水平向左 C．地面对斜面的支持力等于150N D．斜面与地面之间的摩擦因数至少为 （多选）9．（2026·山东济宁·模拟预测）如图所示，质量为M的楔形物体ABC放置在墙角的水平地板上，BC面与水平地板间的动摩擦因数为，楔形物体与地板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。在楔形物体AC面与竖直墙壁之间，放置一个质量为m的光滑球体，同时给楔形物体一个向右的水平力，楔形物体与球始终处于静止状态。已知AC面倾角，，重力加速度为g，则（　　） A．楔形物体对地板的压力大小始终为Mg + mg B．向右的水平力F的最小值一定是零 C．当时，楔形物体与地板间无摩擦力 D．向右的水平力F的最大值为 （多选）10．（25-26高一上·湖北黄石·期中）如图所示，倾角为30°的斜面被固定在水平面上，将一原长为10cm、劲度系数为200N/m的轻弹簧一端与斜面底端的固定挡板相连，另一端放上重为10N的物体后，弹簧被压缩到8cm。已知物体与斜面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现在用一力F沿斜面向上拉物块，物块仍保持静止，则力F的取值可能为（　　） A．2N B．3N C．4N D．5N 课时精练 一、单选题 1．（2026·浙江嘉兴·二模）如图所示，一工人将质量分布均匀的直梯斜靠在光滑墙壁上，下端放在粗糙地面上。当直梯与水平方向成60°时恰好静止。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（　　） A．直梯共受到3个力的作用 B．地面与直梯之间的动摩擦因数 C．工人沿直梯向上爬时梯对地面作用力变大 D．工人可以一直爬到直梯顶部且直梯不滑倒 2．（2026·江苏·模拟预测）如图所示，不可伸长的轻绳AO、BO与弹性绳CO（遵循胡克定律）系于O点，AO另一端固定，BO水平且另一端连接着置于粗糙水平面的物体P，弹性绳CO下方悬挂一小球Q，初始时系统处于静止状态。现由于小球Q受到水平向左恒定风力作用，稳定后弹性绳CO偏离竖直方向一定夹角，此过程中物体P未发生移动，下列说法正确的是（　　） A．轻绳AO的拉力变小 B．轻绳BO的拉力变小 C．物体P受到的摩擦力不变 D．小球Q的位置一定变高 3．（山东东营市胜利第二中学等校2025-2026学年高三上学期期末物理试题）如图所示，轻杆的一端通过光滑铰链固定在地面上的O点，另一端固定一小球。不可伸长的轻绳一端与小球相连，另一端跨过O点正上方的光滑定滑轮施加一拉力F。使杆在竖直面内沿顺时针方向缓慢转动，不计滑轮质量，则下列说法正确的是（　　） A．轻杆对小球的支持力大小不变 B．轻杆对小球的支持力一直增大 C．轻杆对小球的支持力一直减小 D．轻杆对小球的支持力先减小后增大 4．（2026·浙江衢州·二模）如图所示，甲、乙两同学在课外活动中做游戏，用手分别握住两长度相等的轻绳一端A、B，轻绳的另一端系在铁块上点，两端点A、B始终在同一水平面以相同速率相向运动，保持铁块沿竖直方向匀速下落，则下列说法正确的（　　） A．一直减小 B．一直增大 C．绳子的拉力逐渐增大 D．甲同学对地面的压力逐渐减小 5．（2026·云南昭通·二模）一只质量为的蚂蚁（可视为质点）在半球形碗内从底部缓慢向上爬，某时刻处在如图所示位置，此时蚂蚁和球心的连线与竖直方向的夹角为，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．蚂蚁受到4个力的作用 B．蚂蚁继续缓慢上爬过程中受到碗的作用力始终不变 C．蚂蚁受到碗的支持力大小为 D．碗受到蚂蚁的摩擦力逐渐减小 6．（25-26高三上·甘肃兰州·月考）我国的新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世，目前新疆地区的棉田大部分是通过如图甲所示的自动采棉机采收。自动采棉机在采摘棉花的同时将棉花打包成圆柱形棉包，通过采棉机后侧可以旋转的支架平稳将其放下，这个过程可以简化为如图乙所示模型：质量为的棉包放在V型挡板上，两板间夹角为固定不变，V型挡板可绕轴在竖直面内转动。在使OB板由水平位置顺时针缓慢转动的过程中，忽略V型挡板对棉包的摩擦力，已知重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．“V”型挡板对棉包的作用力先减小后增大 B．棉包对OA板的压力先增大后减小 C．当OB板转过时，棉包对OA板的作用力大小为 D．当OB板转过时，棉包对OB板的作用力大小为 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）水平地面放有倾角为、质量为的斜面体，一可视为质点的光滑小球与长为的轻绳连接，开始轻绳的另一端位于b点正下方的a点。现将绳端缓慢从a点上移至b点后右移到与b在同一高度的c点，b、c间距离为， 绳端在b时绳与竖直方向的夹角为，。斜面体始终静止，小球始终在斜面体上。下列说法正确的是（ ） A．从a点到b点，球对斜面体的压力不变 B．从a点到b点，绳对小球的拉力逐渐减小 C．绳端在c点时绳的拉力为在b点的 D．绳端在c点时地面对斜面体的摩擦力是在b点的1.5倍 二、多选题 8．（25-26高二下·广东茂名·开学考试）如图，用与两根绳悬挂一质量分布不均（重心偏左）的矩形画框，画框底部需保持与水平地面平行。若保持绳长不变，将端左移，绳缩短至某一长度（但绳仍长于绳）后悬挂画框，画框保持原状态不动，则改变绳长前后（　　） A．绳的拉力大小总等于绳的拉力大小 B．绳的拉力大小总小于绳的拉力大小 C．绳的拉力一直变小 D．绳的拉力大小可能相等 9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，半径为的半球形、内表面光滑的碗固定在水平地面上，一根粗细均匀、质量为、长度为的筷子斜靠在碗内。当筷子处于平衡状态时，筷子与水平方向之间的夹角为。若位置和位置碗对筷子的弹力大小分别为和，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．在位置，碗对筷子的作用力大小为，作用力方向垂直筷子斜向左上 B．在位置，碗对筷子的作用力大小为，作用力方向垂直筷子斜向左上 C．筷子的总长度为 D．能达到上述平衡状态，需满足 10．（25-26高一上·四川成都·期中）图（a）为答题卡扫描仪，其内部结构如图（b）所示。扫描仪内部有一个摩擦滚轮放置在水平答题卡上方。正常工作时滚轮对顶部答题卡的正压力为F，摩擦滚轮顺时针转动，摩擦力只带动与之接触的顶部答题卡进入扫描仪内部进行逐张扫描，直至所有答题卡扫描完毕。已知每张答题卡的质量均为m，摩擦滚轮与答题卡间的动摩擦因数恒为μ=0.8，各答题卡间的动摩擦因数可能不同，但范围为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。要使该扫描仪能一直正常工作，正压力F的最小值和最大值分别为（　　） A． B． C． D． 三、解答题 11．（25-26高一上·广东湛江·月考）如图所示，倾角θ=30°的斜面体固定于水平桌面上，物块A悬挂在水平绳OP和OQ的结点О处，OQ与竖直方向的夹角α=53°、且跨过轻质光滑定滑轮与斜面体上质量mB=2 kg的物块B相连。已知B与斜面体间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6。改变物块A的质量，使A、B始终保持静止，求： (1)当B与斜面体间的摩擦力恰好为零时，绳OP的拉力大小； (2)当物块A的质量mA=0.75 kg时，求斜面体对物块B的摩擦力大小； (3)物块A质量的范围。 12．（2026·辽宁·模拟预测）如图所示，拖把由拖杆和拖把头构成，拖把头的质量为，重力加速度为，忽略拖杆质量。 (1)现沿拖杆方向推拖把，使之在水平地板上匀速移动，已知拖杆与竖直方向的夹角为，拖把头与地板之间的动摩擦因数为，求推拖把的力的大小； (2)若用大小恒定的力沿杆方向推拖把头，但未推动拖把，之后逐渐减小拖杆与竖直方向的夹角，则地面对拖把头的作用力如何变化（需要有分析过程）。 13．（25-26高一上·江苏常州·月考）如图，在粗糙水平地面放置的劈形木块，在劈形木块上有一个的小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，已知绳子与竖直方向的夹角为45°，斜面倾角为37°，整个装置处于静止状态。（，）则： (1)斜面对小球支持力的大小和轻绳对小球拉力的大小； (2)地面木块的支持力和摩擦力大小； (3)若在小球上施加一个外力F，让小球脱离劈形木块，这个外力的最小值为多少？ 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 动态平衡和临界极值问题 题型一 动态平衡问题 1 题型二 平衡中的临界、极值问题 11 【基础回顾】 1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。 2.做题流程 3.解决极值和临界问题的三种方法 极限 分析法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 数学 分析法 通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值） 图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 题型一 动态平衡问题 1.“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 一个力（F1）恒定，另一个力（F2）方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化。若F1与F2不垂直，当F3⊥F2时，F3有最小值，F3min＝F1sin θ，如图乙。 2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 一力恒定（如重力），其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向平行，即三力构成的矢量三角形与△ACO几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本矢量图，如图所示 基本关系式：。 3.一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 【例题精讲】 1．（2026·北京东城·一模）如图所示，将一个铅球放在倾角为的斜面上，并用竖直挡板挡住。不考虑铅球受到的摩擦力，挡板缓慢由竖直放置逆时针旋转到与斜面垂直位置的过程中，下列说法正确的是（    ） A．斜面对铅球的支持力增大 B．挡板对铅球的支持力增大 C．挡板对铅球的支持力先减小后增大 D．斜面和挡板对铅球的合力大小不变 【答案】D 【详解】ABC．设挡板对铅球的支持力为，斜面对铅球的支持力为，挡板缓慢由竖直放置逆时针旋转到与斜面垂直位置的过程中，对铅球受力分析，如图所示 由矢量三角形可知，挡板对铅球的支持力一直减小；斜面对铅球的支持力也一直减小，故ABC错误； D．铅球受到重力、挡板对铅球的支持力、斜面对铅球的支持力，根据平衡条件可得，斜面和挡板对铅球的合力始终与重力等大反向，即斜面和挡板对铅球的合力大小不变，故D正确。 故选D。 2．（2026·辽宁·模拟预测）武打片中经常有飞檐走壁的镜头，其实这是借助悬绳拍摄产生的效果，某演员（未画出）在下列四种拍摄场景中均在空中做匀速运动，由绳①和绳②连接演员，若忽略绳所受重力，则绳①受力最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析演员的受力，演员受到自身重力，绳①和绳②的拉力；绳②的拉力方向不变，绳①的拉力方向在变化，三个力使演员处于平衡状态，三个力构成矢量三角形，利用动态三角形进行求解，如图所示 由图可知，当与垂直时最小。 故选A。 3．（25-26高一下·河南·月考）如图所示，点为固定在竖直面内半径为的圆的圆心，点为光滑圆上的最高点，将质量为的小环（视为质点）套在圆上，一段轻绳一端固定在点，另一端系在小环上，小环静止，轻绳的长度为，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．轻绳上的拉力大小为 B．圆对小环的作用力大小为 C．假设仅减小绳长，则圆对小环的作用力增大 D．假设仅减小绳长，则圆对小环的作用力减小 【答案】A 【详解】AB．如图所示，对小环受力分析，根据相似三角形知识可知， 即轻绳上的拉力大小 圆对小环的作用力大小，选项A正确、B错误； CD．同理可知，根据，仅减小绳长l，圆对小环的作用力大小不变，选项CD错误。 故选A。 4．（2026·安徽·三模）带电小球固定在竖直的绝缘杆上，有一根不可伸长的绝缘轻质细线一端连接带电小球，另一端系在绝缘杆上，平衡时两小球的位置如图所示。设小球受到细线的拉力为、库仑力为，使小球缓慢向上移动小段距离，小球再次平衡时（　　） A．、都变大 B．、都变小 C．变大，变小 D．变小，变大 【答案】A 【详解】小球受重力，细绳拉力和库仑力处于静止状态，设点到、的距离分别为、，、的距离为，如图所示 由相似三角形可得 根据库仑定律 代入可得 向上移动，变小，减小，变大，变大 因此、都变大。 故选A。 5．（25-26高一下·河南漯河·月考）为了增加春节期间欢乐喜庆的氛围，很多地方都悬挂了灯笼，如图为某处悬挂的灯笼，轻绳AO和BO长度相等，A、B两点等高，灯笼静止，若仅将A、B间的距离减小些，则（　　） A．轻绳AO上的拉力减小 B．轻绳AO上的拉力增大 C．轻绳AO和BO上拉力的合力减小 D．轻绳AO和BO上拉力的合力增大 【答案】A 【详解】AB．A、B间的距离减小时，AO与BO间的夹角变小，根据对称性可知，轻绳AO与BO上拉力大小相等，设轻绳AO上拉力为，灯笼重力为，则 变小，变小，故A正确，B错误； CD．根据力的平衡，轻绳AO和BO拉力的合力大小始终等于，故C、D项错误。 故选A。 6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图所示，水平放置的木板上放有匀质光滑球，球用细绳拴在木板右端。现将木板以左端为轴，抬起右端缓慢转至竖直状态，在转动过程中绳与木板之间的夹角保持不变，则（　　） A．木板对球的支持力先增大后减小 B．木板对球的支持力先减小后增大 C．细绳对球的拉力先减小后增大 D．细绳对球的拉力先增大后减小 【答案】A 【详解】设绳子对球的拉力为，木板对球的支持力为，则球的重力、拉力、支持力构成矢量三角形，设绳子拉力与重力夹角为，重力与支持力夹角为，拉力与支持力夹角为，如图所示 在矢量三角形中，根据正弦定理得 将木板以底端点为轴逆时针缓慢转动过程中，不变，从0逐渐增大到，从逐渐减小到，所以拉力增大，支持力先增大后减小。 故选A。 7．（25-26高一上·贵州毕节·期末）如图所示，不可伸长的轻绳两端分别固定在圆环上的两点，重物系在轻绳的中点处，稳定时点处于圆环中心，绳水平，绳与夹角。圆环绕点在竖直平面内缓慢转过始终保持静止状态.则在旋转过程中（    ） A．段轻绳的张力逐渐增大 B．段轻绳的张力先增大后减小 C．段轻绳的张力逐渐增大 D．段轻绳的张力先减小后增大 【答案】B 【详解】结点O受三个力作用处于平衡状态，三个力可构成一个三角形，如图所示 圆环绕O点在竖直平面内缓慢转动过程中，OA、OB夹角不变，图中、的交点A沿圆周移动，从图中可看出，一直在减小，先增大后减小。 故选B。 （多选）8．（25-26高一上·江西·月考）如图所示，轻质细线一端拴接一质量为的小球，另一端悬挂于天花板上的点，在外力、重力和细线拉力的作用下处于平衡状态，此时。初始时水平，且细线与竖直方向的夹角为，与的夹角为。下列说法中正确的是（　　） A．保持水平，逐渐缓慢增大角，与逐渐增大. B．保持小球位置及角不变，缓慢减小角直至，一直减小 C．保持大小不变，方向沿逆时针缓慢转到竖直过程中，角先增大再减小 D．保持角不变，缓慢增大角，直至悬线接近水平，先增大后减小 【答案】AC 【详解】A．如图甲，初始时小球处于平衡状态，对其进行受力分析，所受的三个力首尾相连构成三角形，。保持水平，逐渐缓慢增大角的过程中，终点和的起点沿着的方向移动，它们逐渐增大，故A正确； B．如图乙，保持小球位置及角不变，缓慢减小角直至的过程中，先减小，到时与垂直，最小，之后增大，因此先减小再增大，故B错误； C．如图丙，保持大小不变，方向沿逆时针缓慢转到竖直过程中，保持起点不变，的终点C的轨迹是圆弧。终点从点沿着圆弧到点的过程中，一直增大；到时，与圆弧相切，最大；从线段转到竖直过程中一直减小，因此先增大后减小，故C正确； D．如图丁，当保持角不变，缓慢增大角，直至悬线接近水平时，线段和不变，因此它们是同一个圆的弦和圆周角。在这个过程中，的终点和的起点沿着圆弧依次经过点、和，线段是直径，圆最长的弦，因此一直增大，故D错误。 故选AC。 （多选）9．（25-26高一上·山东烟台·月考）如图，用OA、OB两根轻绳将质量为m的花盆悬于两竖直墙之间，开始时OA与竖直墙壁夹角为60°，OB绳水平。现保持O点位置不变，改变OB绳的长度使绳右端由B点缓慢上移至点，此时与OA之间的夹角。设此过程中OA、OB绳的拉力分别为、（重力加速度为g），则（    ） A．、的合力将增大 B．先减小后增大 C．先减小后增大 D．最小为 【答案】CD 【详解】A．根据平衡条件可知、的合力与花盆的重力大小相等，方向相反，所以、的合力保持不变，故A错误； BCD．以花盆为对象，受力如图所示 OB绳右端由B点缓慢上移至Bʹ点，使得OBʹ与OA之间的夹角，由图可知，一直减小，先减小后增大；当与垂直时，可知最小为，故B错误，CD正确。 故选CD。 （多选）10．（25-26高一上·河南南阳·期末）如图甲所示是“中国天眼”口径球面射电望远镜维护时的照片。为不损伤望远镜球面，重力为的工作人员被悬在空中的气球拉着，当他在离底部有一定高度的望远镜球面上缓慢移动时，气球对其有竖直向上的恒力（）作用。如图乙所示，球面上点与球心的连线与竖直方向的夹角为。将人视为质点，当工作人员站在图乙中的点缓慢向点移动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．球面对人的作用力变大 B．球面对人的作用力不变 C．球面对人的支持力增大 D．球面对人的摩擦力增大 【答案】BD 【详解】AB．球面对人的作用力等于与的合力，不会改变，故A错误，B正确； CD．工作人员受到球面对人的支持力、球面对人的摩擦力和竖直方向的与的合力，球面对人的两个互相垂直的作用力与首尾相连构成三角形，如图 工作人员由点缓慢向点移动的过程中，由受力分析图可知角度增大，增大，减小，故C错误，D正确。 故选BD。 题型二 平衡中的临界、极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： （1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 （2）绳子恰好伸直，拉力F＝0。 （3）刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 （1）极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端（极大或极小），从而找出平衡的临界点和极值点。 （2）数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。 （3）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 【例题精讲】 1．（2026·四川广元·二模）如图所示，两根紧靠但无相互作用力的半圆柱体A、B静止于粗糙程度处处相同的水平地面上。现将另一根圆柱体C轻放在这两根半圆柱体上，三者均静止。已知圆柱体A、B、C的材料、长度、半径、密度均相同，不考虑它们之间的摩擦。若用水平向右的力拉半圆柱体A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面，整个过程中B均保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则半圆柱体与地面间动摩擦因数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设半圆柱体 A、B 的质量为 ，因材料、长度、半径、密度均相同，圆柱体 C 的体积是半圆柱体的 2 倍，故C的质量为 。设C的圆心与 B 的圆心连线与竖直方向夹角为 。对 C 受力分析，由对称性知 A、B对C的支持力大小相等，设为 。竖直方向平衡有 解得 对 B 受力分析，竖直方向地面对 B 的支持力 水平方向 B 受到的静摩擦力 为使 B 保持静止，需满足 即 得 当 C 恰好降到地面时，C 的圆心离地高度为 ，B 的圆心在地面上，两圆心距离为 ，此时， 在此过程中从增大到， 单调递增，当 时 最大，为 。故 的最小值为 。 故选 C。 2．（25-26高一上·河北·期末）如图所示，A、B、C三个物体静止叠放在水平地面上，它们的质量均为m，A、B间的动摩擦因数为 ，B、C间的动摩擦因数为，B和地面间的动摩擦因数也为。设B足够长，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。现对A施加一水平向右的拉力F，下列判断正确的是（    ） A．当力F足够大时，C的加速度大小为 B．当力F足够大时，B的加速度大小为 C．当时，A与B恰好未发生相对滑动 D．当时，C与B已经发生相对滑动 【答案】B 【详解】物体A、B间的最大静摩擦力为 B、C间的最大静摩擦力为 B与地面的最大静摩擦力为 若A、B、C三个物体始终相对静止，则三者一起向右加速，对整体根据牛顿第二定律得 假设C恰好与B相对不滑动，对C由牛顿第二定律得 解得， 此时A 与B 间的摩擦力为，对A由牛顿第二定律得 解得，表明C达到临界时A 与B发生相对滑动； 又B、C间的动摩擦因数为，B和地面间的动摩擦因数也为，C与B始终不会发生相对滑动； 当物体A、B间达到最大静摩擦力时，对BC整体有 解得三者相对静止最大加速度，此时 当时，BC加速度始终为，故ACD错误，B正确。 故选B。 3．（25-26高一上·湖北随州·期末）如图所示，物体P、Q用轻绳连接后跨过光滑轻质定滑轮，物体P放在长木板上，物体Q悬挂在定滑轮的另一侧。长木板与水平地面的夹角为，物体P与长木板之间的动摩擦因数，物体P相对长木板静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（    ） A．物体P、Q的质量之比的最大值为 B．物体P、Q的质量之比的最小值为 C．若从60°缓慢减小到45°的过程中，物体P始终静止，则轻绳对滑轮的作用力保持不变 D．若从60°缓慢减小到45°的过程中，物体P始终静止，则物体P对长木板的作用力保持不变 【答案】B 【详解】A．当物体P、Q的质量之比最大时，P有下滑的趋势，此时最大静摩擦力沿斜面向上，根据平衡关系 解得，A错误； B．当物体P、Q的质量之比的最小时，P有上滑的趋势，此时最大静摩擦力沿斜面向下，根据平衡关系 可得，B正确； C．当从60°缓慢减小到45°的过程中，两轻绳间的夹角逐渐增大，绳子的拉力大小不变，则两绳的合力逐渐减少，则轻绳对滑轮的作用力逐渐减少，C错误； D．若从60°缓慢减小到45°的过程中，物体P始终静止，则物体P对长木板的作用力大小等于物体P的重力和绳的拉力的合力大小，拉力大小不变但方向变化，则物体P对长木板的作用力变化，D错误。 故选B。 4．（25-26高一上·辽宁大连·期末）如图所示，一质量为的木块紧靠质量为的长方体形空铁箱后壁（未粘连），在水平拉力的作用下保持相对静止一起在光滑水平地面上向右做直线运动。现逐渐减小拉力，木块始终没有与后壁分离，铁箱与木块之间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，从拉力开始逐渐减小（未减至0）到木块落到箱底前，下列说法错误的是（　　） A．铁箱对木块的支持力一直减小 B．铁箱和木块在水平方向上一直做加速运动 C．当时，物块与铁箱将发生相对滑动 D．铁箱对木块的摩擦力先不变再减小 【答案】C 【详解】A．木块始终没有与后壁分离，则木块和空铁箱水平方向的加速度相同，水平拉力F逐渐减小，则整体加速度a逐渐减小，铁箱对木块的支持力 逐渐减小，故A正确； B．水平地面光滑，铁箱和木块整体受到合力为拉力，拉力减小（未减至0），加速度减小（未减至0），铁箱和木块在水平方向上一直做加速运动，故B正确； C．物块与铁箱将发生相对滑动时，， 解得， 故当时，物块与铁箱未发生相对滑动，故C错误； D．木块与空铁箱相对静止时，摩擦力等于重力，不变，当木块与空铁箱相对滑动时，箱对木块的摩擦力 逐渐减小，故D正确。 本题选错误的，故选C。 5．（2026·山西太原·一模）如图所示，在攀岩训练中，某时刻运动员的一只脚尖踩在固定于竖直墙面的半圆柱的圆弧面上，接触点为，该半圆柱横截面的圆心为，连线与竖直方向的夹角为。已知脚尖与圆弧面间的动摩擦因数为，可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．为保证脚尖不打滑，只需要满足 B．半圆柱对脚尖支持力的方向竖直向上 C．若，脚尖向墙壁靠近后一定不会打滑 D．脚尖对半圆柱的作用力的方向可能竖直向下 【答案】D 【详解】B．半圆柱对脚尖的支持力N与接触面垂直，所以方向沿半径OP向外，故B错误； AC．半圆柱对脚尖的静摩擦力f，方向沿圆弧面的切线方向，用于平衡脚尖的下滑趋势，脚尖受到的其他力，将力沿OP方向和切线方向分解，沿OP方向，有 沿切线方向 不打滑的临界条件为 代入数据解得 可得 但本质上是临界条件如果运动员还受其他作用力，比如绳子拉力等，脚尖也可能打滑，但选项A中"只需要满足"的表述忽略了其他力的影响，故AC错误； D．半圆柱对脚尖的作用力是支持力N与静摩擦力f的合力。若N与f的合力方向竖直向上(平衡脚尖受到的竖直向下的力)，根据牛顿第三定律，脚尖对半圆柱的作用力的方向竖直向下，故D正确。 故选D。 6．（2026·河北承德·一模）在一次维修工作中，工人需要将重物提升至5楼。为防止重物在上升过程中碰撞阳台，工人采用了如图所示的装置进行提升。图中O处安装有一个定滑轮，AB为一段动摩擦因数0.75的滑轨，其水平跨度为16m，竖直高度为12m。在提升过程中，绳子与滑轨之间的夹角为α（重物在A点时，）。工人通过拉动绳子，使质量为m的重物沿滑轨匀速上升。绳子质量、滑轮与绳子之间的摩擦力均忽略不计。，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．绳上的拉力大小为 B．滑轨对重物的支持力先增大后减小 C．绳上的拉力一直增大 D．当夹角α=37°时，绳上的拉力有最小值 【答案】D 【详解】A．滑轨水平跨度，竖直高度，可得滑轨倾角 对重物受力分析，沿滑轨和垂直滑轨分解，沿滑轨方向有 垂直滑轨方向有 联立整理得，故A错误； B．代入化简得 重物上升过程中逐渐增大，逐渐增大，一直减小，因此支持力一直减小，故B错误； CD．对的分母用辅助角公式化简 因此 的最大值为，对应，此时最小； 重物上升过程中从逐渐增大，先减小（）后增大（），并非一直增大，故C错误，D正确。 故选D。 7．（25-26高一下·河南濮阳·开学考试）如图某同学自制了一个简易动滑轮演示仪器，柔软的轻质细绳左端固定在竖直圆环上A点，右端可在竖直圆环上自由移动，右端的位置B比左端略高，AB均高于圆心且位于竖直直径的两侧，C位置低于圆心。动滑轮下面悬挂了可视为质点的物块，不计动滑轮的摩擦，下列说法正确的是（    ） A．若绳右端缓慢下移到C的过程中，A、B等高时绳上张力最大 B．若绳右端缓慢左移至和左端重合，绳上张力先增大后减小 C．若保持右端在B位置不变，绕过圆心且垂直于圆面的轴顺时针缓慢转动圆环，直到A点运动至最高点的过程中，当左右两端等高时绳上张力最大 D．若保持右端在B位置不变，绕过圆心且垂直于圆面的轴顺时针缓慢转动圆环，直到A点运动至最高点的过程中，绳上张力持续减小 【答案】C 【详解】A．本题属于晾衣绳问题，滑轮两侧绳子与竖直方向夹角相同，当重物受重力和绳长不变时，绳子拉力只与绳子两端的水平距离有关，因此在B下移至C的过程中，当B处于圆心所在水平面时，A、B水平距离最远，绳上张力最大，A错误； B．当B向左移时，A、B水平距离持续减小，绳上张力持续减小，B错误； CD．保持B位置不动意味着AB长度固定，绕圆心旋转圆环改变AB在水平方向上的投影长度，也即A、B水平间距，设AB长为，AB与水平方向夹角为 则A、B水平间距为 当时，A、B等高，取得最大值 随着先减小后增大，先增大后减小，绳上张力先增大后减小，C正确、D错误。 故选 C。 （多选）8．（25-26高一下·河南濮阳·开学考试）如图所示，质量为的物块受到水平向右的恒力F作用，在倾角的斜面上匀速运动，已知斜面的质量为，斜面始终处于静止状态，物块与斜面之间的摩擦因数为，重力加速度大小为，，，则下列说法正确的是（    ） A．物块受到斜面的摩擦力必定平行斜面向下 B．地面对斜面的摩擦力水平向左 C．地面对斜面的支持力等于150N D．斜面与地面之间的摩擦因数至少为 【答案】BCD 【详解】物块匀速运动，合力为0。 垂直斜面方向 ，两种情况该式均成立。 沿斜面分两种运动情况： 1. 物块沿斜面向上匀速，摩擦力沿斜面向下，平衡关系 解得。 2. 物块沿斜面向下匀速：摩擦力沿斜面向上，平衡关系 解得 。 A．摩擦力方向可能沿斜面向下（物块向上运动），也可能沿斜面向上（物块向下运动），不是“必定”向下，A错误； B．把物块和斜面看成整体，整体受力平衡，水平方向受向右的恒力，因此地面对斜面的摩擦力一定向左，B正确； C．整体竖直方向受力平衡，是水平力，无竖直分量，因此地面对斜面的支持力等于物块和斜面的总重力 ，C正确； D．斜面保持静止，地面静摩擦力，最大静摩擦力需满足。的最大值为 因此最小摩擦因数： ，D正确。 故选 BCD。 （多选）9．（2026·山东济宁·模拟预测）如图所示，质量为M的楔形物体ABC放置在墙角的水平地板上，BC面与水平地板间的动摩擦因数为，楔形物体与地板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。在楔形物体AC面与竖直墙壁之间，放置一个质量为m的光滑球体，同时给楔形物体一个向右的水平力，楔形物体与球始终处于静止状态。已知AC面倾角，，重力加速度为g，则（　　） A．楔形物体对地板的压力大小始终为Mg + mg B．向右的水平力F的最小值一定是零 C．当时，楔形物体与地板间无摩擦力 D．向右的水平力F的最大值为 【答案】ACD 【详解】A．将M、m视为一个整体可知，楔形物体对地板的压力大小为，故A正确； B．斜面体受到的最大静摩擦力 当水平向右的外力最小（设为）时，斜面体可能有向左运动趋势，当时， 当时， 故B错误； C．球体对AC面的弹力大小为 当时，楔形物体水平方向上受到的合力为零，没有运动趋势，摩擦力为零。故C正确； D．当水平向右的外力最大（设为）时，斜面体有向右运动趋势，由平衡条件有 解得 故D正确。 故选ACD。 （多选）10．（25-26高一上·湖北黄石·期中）如图所示，倾角为30°的斜面被固定在水平面上，将一原长为10cm、劲度系数为200N/m的轻弹簧一端与斜面底端的固定挡板相连，另一端放上重为10N的物体后，弹簧被压缩到8cm。已知物体与斜面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现在用一力F沿斜面向上拉物块，物块仍保持静止，则力F的取值可能为（　　） A．2N B．3N C．4N D．5N 【答案】AB 【详解】压缩的弹簧对物体产生向上的推力为 物体与斜面之间最大静摩擦力大小为 重力沿斜面的分力大小为 由于物体在重力，弹簧弹力、斜面的支持力，及摩擦力作用下可以平衡，所以拉力F的最小值为零。当静摩擦力沿斜面向下达到最大时，拉力F值有最大值，此时 解得 由此可知拉力的取值范围为。 故选AB。 课时精练 一、单选题 1．（2026·浙江嘉兴·二模）如图所示，一工人将质量分布均匀的直梯斜靠在光滑墙壁上，下端放在粗糙地面上。当直梯与水平方向成60°时恰好静止。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（　　） A．直梯共受到3个力的作用 B．地面与直梯之间的动摩擦因数 C．工人沿直梯向上爬时梯对地面作用力变大 D．工人可以一直爬到直梯顶部且直梯不滑倒 【答案】C 【详解】A．墙壁光滑，对直梯无摩擦力。直梯受重力、墙壁的水平支持力、地面的竖直支持力、地面的静摩擦力，共4个力，故A错误； B．设直梯质量为，长度为，与水平夹角，以直梯下端为转轴，由力矩平衡 得墙壁弹力 水平平衡，静摩擦力 竖直平衡，地面支持力 恰好静止时 代入 得 故B错误； C．将工人和直梯视为整体，竖直方向始终满足（为工人质量） 大小不变；对下端转轴力矩平衡，工人向上爬时，工人的力臂增大，所需墙壁弹力增大，因此地面静摩擦力增大。 直梯对地面的作用力是压力与摩擦力的合力，大小为，增大则合力变大，因此梯对地面作用力变大，故C正确； D．设工人重力为，工人爬到顶端时，力矩平衡得所需摩擦力 最大静摩擦力 对比得 直梯会滑倒，故D错误。 故选C。 2．（2026·江苏·模拟预测）如图所示，不可伸长的轻绳AO、BO与弹性绳CO（遵循胡克定律）系于O点，AO另一端固定，BO水平且另一端连接着置于粗糙水平面的物体P，弹性绳CO下方悬挂一小球Q，初始时系统处于静止状态。现由于小球Q受到水平向左恒定风力作用，稳定后弹性绳CO偏离竖直方向一定夹角，此过程中物体P未发生移动，下列说法正确的是（　　） A．轻绳AO的拉力变小 B．轻绳BO的拉力变小 C．物体P受到的摩擦力不变 D．小球Q的位置一定变高 【答案】D 【详解】A．初始时，设小球的质量为，轻绳的拉力为，对小球，在竖直方向受力平衡，有 设与水平方向的夹角为，轻绳的拉力为，由平衡条件，在竖直方向，有 解得 稳定后，不变，设偏离竖直方向的角度为，由平衡条件，得弹性绳的拉力 解得 对结点，在竖直方向受力平衡，有 解得 由可知，和初始状态相比，轻绳的拉力大小不变，故A错误； B．初始时，设轻绳的拉力为，由平衡条件，在水平方向，有 解得 设风力为，稳定后，对小球，水平方向平衡，有 对结点，水平方向平衡，有 由可知，轻绳BO的拉力比原来变大，故B错误； C．物体始终处于静止状态，由平衡条件可知，物体受到的摩擦力始终与轻绳BO的拉力大小相等，因此物体P受到的摩擦力也变大，故C错误； D．设弹性绳CO的原长为，劲度系数为，根据胡克定律，可得初始时小球Q到结点的距离为 稳定后，小球到结点的竖直距离为 因为，所以 则小球的位置变高，故D正确。 故选D。 3．（山东东营市胜利第二中学等校2025-2026学年高三上学期期末物理试题）如图所示，轻杆的一端通过光滑铰链固定在地面上的O点，另一端固定一小球。不可伸长的轻绳一端与小球相连，另一端跨过O点正上方的光滑定滑轮施加一拉力F。使杆在竖直面内沿顺时针方向缓慢转动，不计滑轮质量，则下列说法正确的是（　　） A．轻杆对小球的支持力大小不变 B．轻杆对小球的支持力一直增大 C．轻杆对小球的支持力一直减小 D．轻杆对小球的支持力先减小后增大 【答案】A 【详解】设滑轮到点的高度为，杆长为，小球的重力为，轻杆对小球的支持力为，小球在三个力的作用下处于平衡状态，根据力的矢量三角形和边的三角形相似，由相似三角形规律，可得 在杆缓慢转动过程中，不变，故大小保持不变，A正确，B、C、D错误。 故选A。 4．（2026·浙江衢州·二模）如图所示，甲、乙两同学在课外活动中做游戏，用手分别握住两长度相等的轻绳一端A、B，轻绳的另一端系在铁块上点，两端点A、B始终在同一水平面以相同速率相向运动，保持铁块沿竖直方向匀速下落，则下列说法正确的（　　） A．一直减小 B．一直增大 C．绳子的拉力逐渐增大 D．甲同学对地面的压力逐渐减小 【答案】B 【详解】AB．设绳子与水平方向的夹角为，铁块匀速下落的速度为（恒定不变）。 将A端的水平速度分解为沿绳分量和垂直绳分量，沿绳分量为；铁块竖直速度沿绳方向的分量为，由于绳子不可伸长，沿绳方向速度大小相等，因此有： 整理得： 铁块下落过程中，逐渐增大，逐渐增大，因此一直增大，故A错误、B正确； C．对铁块受力分析，匀速下落受力平衡，竖直方向合力为零： 整理得拉力： 增大时，增大，因此拉力逐渐减小，故C错误； D．对甲受力分析，竖直方向受力平衡，地面对甲的支持力满足： 结合 可得 因此 支持力保持不变；根据牛顿第三定律，甲对地面的压力也不变，故D错误。 故选B。 5．（2026·云南昭通·二模）一只质量为的蚂蚁（可视为质点）在半球形碗内从底部缓慢向上爬，某时刻处在如图所示位置，此时蚂蚁和球心的连线与竖直方向的夹角为，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．蚂蚁受到4个力的作用 B．蚂蚁继续缓慢上爬过程中受到碗的作用力始终不变 C．蚂蚁受到碗的支持力大小为 D．碗受到蚂蚁的摩擦力逐渐减小 【答案】B 【详解】A．蚂蚁受到重力、碗对蚂蚁的支持力和摩擦力，共3个力的作用，故A错误； B．由平衡条件可知蚂蚁受到碗的作用力与重力等大反向，因此蚂蚁继续缓慢上爬过程中受到碗的作用力不变，故B正确； CD．以蚂蚁为研究对象，根据平衡条件可得， 根据牛顿第三定律可知碗受到蚂蚁的摩擦力大小为，由于增大，则摩擦力增大，故CD错误。 故选B。 6．（25-26高三上·甘肃兰州·月考）我国的新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世，目前新疆地区的棉田大部分是通过如图甲所示的自动采棉机采收。自动采棉机在采摘棉花的同时将棉花打包成圆柱形棉包，通过采棉机后侧可以旋转的支架平稳将其放下，这个过程可以简化为如图乙所示模型：质量为的棉包放在V型挡板上，两板间夹角为固定不变，V型挡板可绕轴在竖直面内转动。在使OB板由水平位置顺时针缓慢转动的过程中，忽略V型挡板对棉包的摩擦力，已知重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．“V”型挡板对棉包的作用力先减小后增大 B．棉包对OA板的压力先增大后减小 C．当OB板转过时，棉包对OA板的作用力大小为 D．当OB板转过时，棉包对OB板的作用力大小为 【答案】C 【详解】A．棉包处于动态平衡状态，所受外力的合力为0，则“V”型挡板对棉包的作用力与重力等大反向，即“V”型挡板对棉包的作用力不变，故A错误； B．对棉包进行受力分析，由于两板间夹角为，则OB板对棉包的支持力方向与OA板对棉包支持力方向的夹角为，作出受力三角形，可知，在三角形中重力所在的边对应的夹角为，在辅助圆中作出动态三角形，如图所示 圆周上的动点顺时针旋转，由于OB板由水平位置顺时针缓慢转动的，此时OA板恰好旋转至水平方向，可知OB板对棉包的支持力逐渐减小，OA板对棉包的支持力逐渐增大，根据牛顿第三定律可知，棉包对OB板的压力逐渐减小，棉包对OA板的压力逐渐增大，故B错误； C．当OB板转过时，作出受力分析如图所示 可知，两挡板对棉包的作用力大小相等，则有 解得 可知棉包对OA板的作用力大小为，故C正确； D．当OB板转过时，此时OA板恰好旋转至水平方向，OA板对棉包的支持力竖直向上，根据平衡条件可知OB板对棉包的支持力为0，则棉包对OB板的作用力大小为0，故D错误。 故选C。 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）水平地面放有倾角为、质量为的斜面体，一可视为质点的光滑小球与长为的轻绳连接，开始轻绳的另一端位于b点正下方的a点。现将绳端缓慢从a点上移至b点后右移到与b在同一高度的c点，b、c间距离为， 绳端在b时绳与竖直方向的夹角为，。斜面体始终静止，小球始终在斜面体上。下列说法正确的是（ ） A．从a点到b点，球对斜面体的压力不变 B．从a点到b点，绳对小球的拉力逐渐减小 C．绳端在c点时绳的拉力为在b点的 D．绳端在c点时地面对斜面体的摩擦力是在b点的1.5倍 【答案】D 【详解】AB．题意可知绳端从a到b的过程中，轻绳与竖直方向的夹角减小，轻绳与斜面间的夹角逐渐增大，小球受到重力、支持力及绳子拉力而平衡，小球所受重力不变，斜面体对小球的支持力方向不发生变化，力的矢量三角形如图所示 由于支持力与拉力间的夹角从小于逐渐减小，则斜面体对小球的支持力逐渐减小（根据牛顿第三定律可知球对斜面体的压力减小），轻绳对小球的拉力逐渐增大，故AB错误； C．对小球，绳端在b点时竖直方向有 水平方向有 绳端在c点时，设绳子与竖直方向夹角为，几何关系可知，可知绳子与斜面平行，则有 联立可得，故C错误； D．对球与斜面体整体，绳端在b点时，水平方向有 绳端在c点时，水平方向有 联立可得，故D正确。 故选D。 二、多选题 8．（25-26高二下·广东茂名·开学考试）如图，用与两根绳悬挂一质量分布不均（重心偏左）的矩形画框，画框底部需保持与水平地面平行。若保持绳长不变，将端左移，绳缩短至某一长度（但绳仍长于绳）后悬挂画框，画框保持原状态不动，则改变绳长前后（　　） A．绳的拉力大小总等于绳的拉力大小 B．绳的拉力大小总小于绳的拉力大小 C．绳的拉力一直变小 D．绳的拉力大小可能相等 【答案】CD 【详解】AB．对画框受力分析如图所示 设AB绳上的拉力与水平方向的夹角为，AC绳上的拉力与水平方向的夹角为，根据题意，保持AB绳长不变，将C端左移，AC绳缩短至某一长度（但AC绳仍长于AB绳），则可知该过程中始终不变，且根据几何关系，始终有；在水平方向根据平衡条件有 由于始终大于，因此始终大于，故AB错误； CD．重力为恒力，AB绳上力的方向始终不变，做出力的矢量三角形如图所示 由图可知，随着AC绳将C端向左移动，绳AC与竖直方向的夹角在减小，该过程中绳AC上的拉力可能先减小后增大，当绳AC垂直于绳AB时，绳AC上的拉力有最小值，因此AC绳的拉力大小可能相等；该过程中绳AB上的拉力一直变小，故CD正确。 故选CD。 9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，半径为的半球形、内表面光滑的碗固定在水平地面上，一根粗细均匀、质量为、长度为的筷子斜靠在碗内。当筷子处于平衡状态时，筷子与水平方向之间的夹角为。若位置和位置碗对筷子的弹力大小分别为和，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．在位置，碗对筷子的作用力大小为，作用力方向垂直筷子斜向左上 B．在位置，碗对筷子的作用力大小为，作用力方向垂直筷子斜向左上 C．筷子的总长度为 D．能达到上述平衡状态，需满足 【答案】BCD 【详解】如图所示，根据三力汇交原理可知弹力、和重力的作用线的延长线交于一点，且该点位于圆上，其中的方向指向圆心，的方向垂直筷子斜向左上。根据正交分解有、 由此可以解得， 根据几何知识可知， 在三角形中，根据正弦定理可得 解得 筷子的总长度为 根据 解得 显然 因此 解得 又 即 综上所述，B、C、D正确。 10．（25-26高一上·四川成都·期中）图（a）为答题卡扫描仪，其内部结构如图（b）所示。扫描仪内部有一个摩擦滚轮放置在水平答题卡上方。正常工作时滚轮对顶部答题卡的正压力为F，摩擦滚轮顺时针转动，摩擦力只带动与之接触的顶部答题卡进入扫描仪内部进行逐张扫描，直至所有答题卡扫描完毕。已知每张答题卡的质量均为m，摩擦滚轮与答题卡间的动摩擦因数恒为μ=0.8，各答题卡间的动摩擦因数可能不同，但范围为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。要使该扫描仪能一直正常工作，正压力F的最小值和最大值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】要使扫描仪正常工作，每次只能带动顶部答题卡，对顶部第一张答题卡需满足 其中，令（取最大值保证所有情况），解得 同时第二张答题卡不能动，对第二张答题卡需满足 解得 因为第二张答题卡下方的答题卡受到的正压力更大，所以当第二张答题卡不动时，第三张一定不动，直到第n张也不动。综上分析可知，要使该扫描仪能一直正常工作，正压力F的最小值和最大值分别为、。 故选AD。 三、解答题 11．（25-26高一上·广东湛江·月考）如图所示，倾角θ=30°的斜面体固定于水平桌面上，物块A悬挂在水平绳OP和OQ的结点О处，OQ与竖直方向的夹角α=53°、且跨过轻质光滑定滑轮与斜面体上质量mB=2 kg的物块B相连。已知B与斜面体间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6。改变物块A的质量，使A、B始终保持静止，求： (1)当B与斜面体间的摩擦力恰好为零时，绳OP的拉力大小； (2)当物块A的质量mA=0.75 kg时，求斜面体对物块B的摩擦力大小； (3)物块A质量的范围。 【答案】(1)8N (2)2.5N，方向沿斜面向上 (3)0.3 kg≤mA≤0.9 kg 【详解】（1）设绳OQ的拉力大小为T，对物块B受力分析，则有 对结点O受力分析，水平方向有 解得 （2）当物块A的质量mA=0.75 kg时，由平衡条件可知，绳OQ的拉力大小 假设物块B受到的静摩擦力方向沿斜面向下，对物块B受力分析，则有 解得 （3）当物块A的质量最大时，B受到的静摩擦力方向沿斜面向下且达到最大，对物块B受力分析，沿斜面方向则有 对结点О受力分析，竖直方向则有 解得 当物块A的质量最小时，B受到的静摩擦力方向沿斜面向上且达到最大，则有， 解得 综合分析，可知物块A质量的范围为0.3 kg≤mA≤0.9 kg 12．（2026·辽宁·模拟预测）如图所示，拖把由拖杆和拖把头构成，拖把头的质量为，重力加速度为，忽略拖杆质量。 (1)现沿拖杆方向推拖把，使之在水平地板上匀速移动，已知拖杆与竖直方向的夹角为，拖把头与地板之间的动摩擦因数为，求推拖把的力的大小； (2)若用大小恒定的力沿杆方向推拖把头，但未推动拖把，之后逐渐减小拖杆与竖直方向的夹角，则地面对拖把头的作用力如何变化（需要有分析过程）。 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）对拖把头进行受力分析，如图所示 根据受力分析有 联立解得 （2）若用大小恒定的力沿杆方向推拖把头，但未推动拖把，即受力平衡，则 联立解得 在逐渐减小的过程中，增大，地面对拖把头作用力会增大。 13．（25-26高一上·江苏常州·月考）如图，在粗糙水平地面放置的劈形木块，在劈形木块上有一个的小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，已知绳子与竖直方向的夹角为45°，斜面倾角为37°，整个装置处于静止状态。（，）则： (1)斜面对小球支持力的大小和轻绳对小球拉力的大小； (2)地面木块的支持力和摩擦力大小； (3)若在小球上施加一个外力F，让小球脱离劈形木块，这个外力的最小值为多少？ 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）以小球的球心为原点，沿水平和竖直两个方向建立直角坐标系，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向。以小球为研究对象，受力分析如图所示 根据平衡条件，在竖直方向有 在水平方向有 联立解得， （2）以小球和斜面整体为研究对象，设地面对木块的支持力为、摩擦力大小为，受力分析如图所示 根据平衡条件，在竖直方向有 在水平方向有 联立解得， （3）以小球为研究对象，设外力的方向与竖直向上方向夹角为，轻绳的拉力为，根据平衡条件，在竖直方向有 在水平方向有 联立解得 根据三角恒等变换有 当时，外力最小， 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 动态平衡和临界极值问题 题型一 动态平衡问题 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】AC 9．【答案】CD 10．【答案】BD 题型二 平衡中的临界、极值问题 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】BCD 9．【答案】ACD 10．【答案】AB 课时精练 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】CD 9．【答案】BCD 10．【答案】AD 11．【答案】(1)8N (2)2.5N，方向沿斜面向上 (3)0.3 kg≤mA≤0.9 kg 【详解】（1）设绳OQ的拉力大小为T，对物块B受力分析，则有 对结点O受力分析，水平方向有 解得 （2）当物块A的质量mA=0.75 kg时，由平衡条件可知，绳OQ的拉力大小 假设物块B受到的静摩擦力方向沿斜面向下，对物块B受力分析，则有 解得 （3）当物块A的质量最大时，B受到的静摩擦力方向沿斜面向下且达到最大，对物块B受力分析，沿斜面方向则有 对结点О受力分析，竖直方向则有 解得 当物块A的质量最小时，B受到的静摩擦力方向沿斜面向上且达到最大，则有， 解得 综合分析，可知物块A质量的范围为0.3 kg≤mA≤0.9 kg 12．【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）对拖把头进行受力分析，如图所示 根据受力分析有 联立解得 （2）若用大小恒定的力沿杆方向推拖把头，但未推动拖把，即受力平衡，则 联立解得 在逐渐减小的过程中，增大，地面对拖把头作用力会增大。 13．【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）以小球的球心为原点，沿水平和竖直两个方向建立直角坐标系，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向。以小球为研究对象，受力分析如图所示 根据平衡条件，在竖直方向有 在水平方向有 联立解得， （2）以小球和斜面整体为研究对象，设地面对木块的支持力为、摩擦力大小为，受力分析如图所示 根据平衡条件，在竖直方向有 在水平方向有 联立解得， （3）以小球为研究对象，设外力的方向与竖直向上方向夹角为，轻绳的拉力为，根据平衡条件，在竖直方向有 在水平方向有 联立解得 根据三角恒等变换有 当时，外力最小， 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $