第15章一元一次不等式综合专练 2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

第15章一元一次不等式综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解答本题的关键． 根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：A、不是不等式，故A选项不符合题意； B、不是不等式，故B选项不符合题意； C、是不等式，故C选项符合题意； D、不是不等式，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．不等式的解的情况是（    ） A．有无数个解 B．有两个解 C．只有一个解 D．无解 【答案】A 【分析】本题主要考查了解不等式、不等式的解集等知识点，正确求得不等式的解集成为解题的关键. 先求出不等式的解集，然后根据解集即可解答. 【详解】解：解不等式可得其解集为：，即有无数个解. 故选A. 3．如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可得到正确结果． 【详解】解：A、，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，，A错误； B、举反例：若，满足，此时，，B错误； C、，不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，不等式两边同时加，不等号方向不变，，C错误； D、，不等式两边同时减，不等号方向不变，，D正确． 4．若关于的不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出两个不等式的解集，再根据两个解集相同列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∴， 解得． 5．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 6．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 7．关于的不等式解集在数轴上表示如图，设，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据不等式的解集和分式有意义的条件分段讨论，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：由数轴可知关于的不等式解集为， ∵中， ∴分段讨论： ①当时，， ∴， ∴，即； ②当时，， ∴， ∴，即， 综上，的取值范围是或． 8．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】解不等式组得出关于的范围，根据不等式组有4个整数解得出的范围，继而可得整数的取值． 【详解】解：由不等式，解得， 由不等式，解得， 不等式组有且只有4个整数解， ， 解得：； 所以满足条件的整数的值有、、共3个， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解，熟练掌握解不等式组的能力，并根据题意得到关于的范围是解题的关键． 9．已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，将问题转化为解不等式是解题的关键． 由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和 约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ 。 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴ 的最大值为 ， 此时， 故最大值为， 故选：B． 10．由，，三个数字组成的进制数记作，例如．若，且．则以下关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把和展开化简，得出，代入得出，根据，列不等式，求出的值，进而求出、的值，代入各选项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是进制数， ∵， ∴， 解得：， ∵为非负整数， ∴， ∴，， ∴故A选项错误， ，故B选项正确， ，故C选项错误， ，故D选项错误． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．若关于，的方程组的解满足，则的范围是_____________ ． 【答案】 【分析】用整体法表示出，解不等式即可． 【详解】解：， ，得， ∵， ∴， 解得． 12．对于任何数，符号表示不大于的最大整数，例如：． （1）_______． （2）如果，则满足条件的所有整数的和为_______． 【答案】 6 【分析】（1）先求出，，再代入计算即可； （2）根据题意可得，解不等式组，再求和即可． 【详解】解：（1）由题意得： ． （2）∵， ∴， 解得， ∴满足条件的所有整数为和， ∴满足条件的所有整数的和为． 13．某市出租车的收费标准是：起步价14元（即行驶距离不超过3千米都付14元），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米按1千米计）．小乐从家乘出租车到商场，付了车费24元．设小乐的家到商场的距离为千米，那么的范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式求解是解题的关键．已知总车费24元大于起步价14元，说明行驶距离千米；算出超出起步价的费用为元，以及算出超出3千米的距离最多为千米，再进行分析计算，即可作答． 【详解】解：依题意，超出起步价的费用为：元， 超过3千米的距离最多为千米， ∵“不足1千米按1千米计”， ∴若超出3千米的距离不超过4千米，总车费最多为元，小于24元，不符合题意， 因此超出3千米的实际距离满足：超出的距离； 总距离超出的距离； 因此可得 即． 14．关于x的不等式组． （1）若，则不等式组的整数解是______． （2）若不等式组有解且每一个x的值均不在的范围中，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，根据不等式组的解的范围求参数的取值范围， （1）先求出不等式组的解集为 ，再代入求解整数解， （2）结合题意列出关于的不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为 ， （1）当时，解集为 ，即， 所以不等式组的整数解为； （2）不等式组有解， ， 解得 ， 不等式组的所有均不在的范围中， ∴解集 与无公共部分，分两种情况讨论 当时， 解得， ∵， ∴； 当 时， 解得， ∵， 此时无公共解 综上，的取值范围为； 故答案为：，． 15．我们定义：，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是________． 【答案】 【分析】根据新定义，推出，得到或，分类讨论求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：由题意得，，即， ∴， ∵x，y为不同的整数， ∴或， 当时，或，不符合题意，舍去； 当时，或或或， ∴或． 16．整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为______． 【答案】5 【分析】根据题意先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于的不等式，进而根据是正整数的条件求得的范围，解一元一次不等式组，根据有且仅有2个整数解，确定的范围，最后根据，为整数，舍去不符合题意的的值即可求解． 【详解】解： ①＋②得， 将代入①，得 ，是正整数， ， 解得， 解不等式③得： 解不等式④得： 有且仅有2个整数解， 解得 是整数 或 当时，，不合题意，故舍去 故答案为： 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组结合，解一元一次不等式组，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．求不等式的非负整数解． 【答案】，1，2，3，4 【分析】先去分母，然后去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1得出不等式的解集，最后写出非负整数解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的非负整数解为：，1，2，3，4． 18．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，画图见解析 【详解】解：由不等式①得： 由不等式②得： ∴不等式组的解集为，将其解集表示在数轴上，如图， 19．代数推理．下面是华师版七年级下册数学教材中的部分内容． 例2利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果，，那么； 解：因为，所以．① 又因为，所以．② 由①②，可得． (1)请类比以上推理，利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果a、b、c、d都是正数，、且，那么； (2)根据上述性质解决问题： ①若，，则的取值范围是________； ②若y是正数，且，，则________0．（填“”，“”或“”） 【答案】(1)见详解 (2)①② 【分析】（1）由不等式的基本性质得，，即可得证； （2）：①由（1）得，即可求解； ②由不等式的基本性质得，，即可得证． 【详解】（1）解：a、b、c、d都是正数，、且， ，， ； （2）解：①由题意得， ； ②y是正数，且，， ，， ， ． 20．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】先利用加减消元法求出的值，再根据建立一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， ∴， 解得． 21．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg） 500 80 原料价格/（元/kg） 10 4 (1)现配制这种饮料10kg，要求至少含有3600单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量（单位：）应满足的不等式． (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的总费用不超过65元，试写出应满足的另一个不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）所需甲种原料的质量，则所需乙种原料的质量，根据“至少含有3600单位的维生素C”可得不等式； （2）所需甲种原料的质量，则所需乙种原料的质量，根据“甲、乙两种原料的费用不超过65元”列出不等式. 【详解】（1）解：设所需甲种原料的质量，由题意得： . （2）解：根据题意，得． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式. 22．定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”． 例如：不等式组是不等式组：的“子集”． (1)若不等式组，不等式组，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填“”或“”）； (2)若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解出两个不等式组的解集，然后根据定义判断即可； （2）先解不等式组，然后根据定义解答即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得， 解不等式组，得， ∵不等式组的解集为， ∴不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解， ∴不等式组是不等式组的“子集”； （2）解：解不等式组，得， 关于的不等式组是不等式组的“子集”， ． 23．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解x，y互为相反数，求k的值； (2)若方程组的解满足，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意，解二元一次方程组，得到，，结合x，y互为相反数，求出k值即可； （2）根据，，得到，代入到不等式，解不等式，得到结果． 本题考查了解二元一次方程组，解不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键． 【详解】（1）解：， ①②得：， 解得：， 把代入②，得， ， ，y互为相反数， ， 解得； （2）解：， 方程组的解满足， ， ， 24．某社区计划组织居民外出参加一场大型公益活动，需要租车接送参与者．社区工作人员收集了以下租车信息： 信息1 豪华大巴载客量为50人，普通中巴载客量为30人，若租用3辆豪华大巴和6辆普通中巴则花费3600元；若租用6辆豪华大巴和3辆普通中巴则花费4050元． 信息2 本次活动预计有460名居民参加，租车费用预算为4900元，且租用的汽车总数为10辆． 请完成以下任务： 【任务1】请计算一辆豪华大巴和一辆普通中巴的租金分别为多少元？ 【任务2】要控制租车费用在预算范围内，在确保所有参加活动的居民能够一次性送达且不超载的前提下，请列出所有可行的租车方案并找出最省钱的方案． 【答案】[任务1] 一辆豪华大巴车的租金为500元，一辆普通中巴车的租金为350元；[任务2] 方案一：租租豪华大巴车8辆，租租普通中巴车2辆，租金为元；方案二：租租豪华大巴车9辆，租租普通中巴车1辆，租金为元，方案一最省钱 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到等量关系列出方程组是解题关键． [任务1]设一辆豪华大巴车的租金为元，一辆普通中巴车的租金为元，根据“租用3辆豪华大巴和6辆普通中巴则花费3600元；若租用6辆豪华大巴和3辆普通中巴则花费4050元”列出方程组，解方程组即可； [任务2]设租豪华大巴车辆，则租普通中巴车辆，根据“本次活动预计有460名居民参加，租车费用预算为4900元”列出不等式组，解不等式组求出的取值范围，结合为整数求出的值即可得出租车方案，再求出两种租车方案的费用比较即可． 【详解】解：[任务1]设一辆豪华大巴车的租金为元，一辆普通中巴车的租金为元， 根据题意得：， 解得， 答：一辆豪华大巴车的租金为500元，一辆普通中巴车的租金为350元； [任务2]设租豪华大巴车辆，则租普通中巴车辆， 根据题意得：， 解得， 为正整数， 或， 该社区有两种租车方案： 方案一：租租豪华大巴车8辆，租租普通中巴车2辆，租金为（元）； 方案二：租租豪华大巴车9辆，租租普通中巴车1辆，租金为（元） ， 方案一更省钱． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章一元一次不等式综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解的情况是（    ） A．有无数个解 B．有两个解 C．只有一个解 D．无解 3．如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若关于的不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 6．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 7．关于的不等式解集在数轴上表示如图，设，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 8．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 10．由，，三个数字组成的进制数记作，例如．若，且．则以下关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．若关于，的方程组的解满足，则的范围是_____________ ． 12．对于任何数，符号表示不大于的最大整数，例如：． （1）_______． （2）如果，则满足条件的所有整数的和为_______． 13．某市出租车的收费标准是：起步价14元（即行驶距离不超过3千米都付14元），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米按1千米计）．小乐从家乘出租车到商场，付了车费24元．设小乐的家到商场的距离为千米，那么的范围是_________． 14．关于x的不等式组． （1）若，则不等式组的整数解是______． （2）若不等式组有解且每一个x的值均不在的范围中，则a的取值范围是______． 15．我们定义：，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是________． 16．整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为______． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．求不等式的非负整数解． 18．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 19．代数推理．下面是华师版七年级下册数学教材中的部分内容． 例2利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果，，那么； 解：因为，所以．① 又因为，所以．② 由①②，可得． (1)请类比以上推理，利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性： 如果a、b、c、d都是正数，、且，那么； (2)根据上述性质解决问题： ①若，，则的取值范围是________； ②若y是正数，且，，则________0．（填“”，“”或“”） 20．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 21．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg） 500 80 原料价格/（元/kg） 10 4 (1)现配制这种饮料10kg，要求至少含有3600单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量（单位：）应满足的不等式． (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的总费用不超过65元，试写出应满足的另一个不等式． 22．定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”． 例如：不等式组是不等式组：的“子集”． (1)若不等式组，不等式组，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填“”或“”）； (2)若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是多少？ 23．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解x，y互为相反数，求k的值； (2)若方程组的解满足，求k的取值范围． 24．某社区计划组织居民外出参加一场大型公益活动，需要租车接送参与者．社区工作人员收集了以下租车信息： 信息1 豪华大巴载客量为50人，普通中巴载客量为30人，若租用3辆豪华大巴和6辆普通中巴则花费3600元；若租用6辆豪华大巴和3辆普通中巴则花费4050元． 信息2 本次活动预计有460名居民参加，租车费用预算为4900元，且租用的汽车总数为10辆． 请完成以下任务： 【任务1】请计算一辆豪华大巴和一辆普通中巴的租金分别为多少元？ 【任务2】要控制租车费用在预算范围内，在确保所有参加活动的居民能够一次性送达且不超载的前提下，请列出所有可行的租车方案并找出最省钱的方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $