专题01 一元一次不等式的实际应用（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题01 一元一次不等式的实际应用 【题型1】 和差倍分问题 【题型2】 分配问题 【题型3】 销售及利润问题 【题型4】 方案选择问题 【题型5】 其他应用问题（工程行程问题、积分问题、分段计费问题、新定义问题） 题型01 和差倍分问题 题型点拨：“和差倍分问题”与“经济销售”、“方案选择”等不属于一个维度的分类。它是指一道题目里含有几个未知量且彼此之间含有“和差倍分”关系，解决此类题目时要尽可能少的设未知数，充分利用这些关系用一个量去表示其他量。和差倍分问题解决其他所有问题的基础. 【典例1】（24-25七年级下·上海·期末）3月12日是我国的植树节，某校学生会组织七年级和八年级共65名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植2棵树，八年级学生平均每人植4棵树，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需（ ） A．50名 B．45名 C．40名 D．35名 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）为了丰富学生的阅读资源，上外松外图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元． (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【变式2】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）年度“涟商大会”在国家级地质公园湄江举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“湄江焕彩，涟商倾情”的绘画比赛，并购买A、两种徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个种徽章需元；购买4个A种徽章和5个种徽章需元． (1)每个A种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进A、两种徽章共个，已知购进的A种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过元，那么购进A种徽章的个数是多少？ 【变式3】（24-25七年级下·上海松江·期末）某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 【变式4】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）学校每年的3月14日举行数学节“”，为了给本次“”做准备，小海和小华到文具店去购买、两种魔方，文具店里、两种魔方的单价分别为16元和22元．下面是小海与小华的对话： 小海：购买两种魔方共30件； 小华：购买的种魔方的数量不少于种魔方的数量； 根据小海和小华的对话，完成下面的问题： 小海和小华最多购买几个种魔方？ 题型02 分配问题 题型点拨：分配问题的灵魂在于：“总量不变”.东西分出去，每组数量多了，组数就少了。但核心是总量不变，常见的数量关系有：总量=每组数量组数+余量；总量=每组数量组数-空量. 【典例1】（24-25六年级下·上海·期末）实验中学组织七年级学生赴龙岗红色基地研学旅行，报名人数超过630人，在安排住宿时发现，若每间住8人，则有120人无法入住；若每间宿舍住10人，则只有一间宿舍不空也不满，则参加研学的学生人数为__________人． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． 该校七年级共有多少人参加春游？ 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）某山区学校为部分离家远的学生安排住宿．如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满，问共有宿舍_______间． 【变式4】（24-25七年级下·上海崇明·期中）社会实践活动中，辅导员组织一批进行游戏，若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，问参加游戏的同学的组数和人数． 题型03 销售及利润问题 题型点拨：销售及利润问题在初中数学应用题中属于“核心必考，综合度高，应用性强”的关键板块。重点是要搞清楚成本、售价、利润、利润率之间的基本关系。核心关系式有： 利润=售价-成本，总利润=单件利润销售量； 利润率=，利润=成本利润率； 实际售价=标价折扣. 【典例1】（24-25七年级下·上海青浦·期末）一件商品的成本是50元． (1)如果售价是58元，那么盈利率是多少？ (2)如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 【变式1】（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元． (1)求该商店第一次购进该款服装的数量； (2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元． 【变式2】（23-24六年级下·上海·期中）一件商品售价为120元，如果按售价的九折出售，获利不超过百分之二十；如果按售价的七折出售，那么出现亏本．求商品成本价的范围． 答：商品成本价的范围为大于等于90元且小于等于120元． 【变式3】（24-25七年级下·上海静安·期中）静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） (2)顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 【变式4】（22-23七年级下·全国·课后作业）甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更合算？ 题型04 方案选择问题 题型点拨：一元一次不等式中的方案选择问题是初中数学从基础计算迈向实际应用与优化思维的重要转折点。此类问题有益于培养学生的建模能力与逻辑分析能力。解题策略是：先建模、再比较、最后做选择. 【典例1】（24-25七年级下·上海闵行·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 【变式2】（23-24六年级下·上海青浦·期末）某工厂只生产甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲机器和一台乙机器所需A、B两种材料的数量和售后利润如下表所示： 机器型号 A种材料（千克） B 种材料（千克） 售后利润 （万元） 甲 55 20 5 乙 40 36 6 (1)若生产甲、乙两种机器9台，共获利润50万元，问甲：乙两种机器各生产了多少台？ (2)若库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克， 计划生产甲、乙两种机器共200台，要使工厂所获利润最大，请你帮忙规划一下，如何安排生产？最大利润是多少？ 【变式3】（2024六年级下·上海·专题练习）为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表所示．如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少？ 甲种货车 乙种货车 载货量（吨辆） 45 30 租金（元辆） 400 300 【变式4】（24-25九年级下·江西赣州·月考）为了丰富同学们的业余生活和培养同学们学习数学的兴趣，学校将举行一年一度的数学文化节，在数学文化节倒计时30天之际，学校计划购买A、B两种文化节的奖品作为纪念品．已知购买1件A种奖品与2件B种奖品共需要70元，购买2件A种奖品与3件B种奖品共需要120元． (1)求A种奖品和B种奖品的单价分别为多少元？ (2)学校计划购买A种奖品和B种奖品共200件，总费用不超过5000元，那么最多能购买A种奖品多少件？ 题型05 其他问题 题型点拨：一元一次不等式应用的其他问题有行程问题、工程问题、比赛积分问题、新定义等等问题。解题的策略关键就是要注意关键词句，如“不足”，“至少”等等。 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）“垃圾分类知多少”知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错扣5分，不答不扣分．小明得分要超过90分，且有2道未答．他至少要答对多少道题？若设小明答对了道题，则由题意可列不等式为______． 【变式1】某市一种出租车起步价是5元（路程在3km以内均付5元），达到或超过3km，每增加0.5km加价0.7元（不足0.5km按0.5km计）．某乘客坐这种出租车从甲地到乙地，下车时付车费14.8元，那么甲地到乙地的路程是多少？ 【变式2】（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）阅读材料，回答问题： 已知，符号表示大于或等于的最小正整数，例如，，，… (1)填空：______； (2)若，则的取值范围是______； (3)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费9元，超过的，每超过加收2元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：）时，（元） 当（单位：）时，（元） 某乘客乘车后付车费33元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【变式3】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，这是某电影院的价目表．某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料．如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 【变式4】（24-25七年级下·上海·期中）已知：数a、都是关于x的不等式的解． (1)是该不等式的解吗？为什么？ (2)是该不等式的解吗？为什么？ (3)是该不等式的解吗？为什么？其中． (4)设数a、b、在数轴上对应的点分别为A、B、C，通过计算发现，由此可知C为线段的二等分点．设在数轴上对应的点分别为D，仿照上面的过程，说明D为线段的三等分点． (5)根据（4）的提示，试着从几何意义的角度解释（1）和（2）中的结论． 1．一辆匀速行驶的汽车在上午距离A地，要在中午之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是，根据题意可列不等式（  ） A． B． C． D． 2．“守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．我市蓝天实验学校七年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4名本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校七年级共有（    ）个班级． A．8 B．7 C．6 D．5 3．第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（   ） A． B． C． D． 4．我区某初中举行“针圣故里，康养衢江”知识抢答赛，总共道抢答题，对于每一道题，答对得分，答错或不答扣分，选手小华想使得分不低于分，则他至少答对多少道题（    ） A．15 B．18 C．20 D．22 5．如图，有一容积为的容器，在容器中倒入的水，此时刻度显示为，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．一个大玻璃球的体积为，放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围．设一个小玻璃球的体积为，根据题意可以列不等式组为（    ） A． B． C． D． 6．一种荔枝的进价是每千克元，销售中估计有的荔枝正常损耗（包含剪枝），商家把售价至少定为每千克_______元，才能避免亏本． 7．有十名花匠，每人可种郁金香30盆或玫瑰20盆，已知郁金香每盆获利5元，玫瑰每盆获利8元，要使总获利不低于1560元，则最多安排________人种郁金香． 8．某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元，店庆期间商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但要保证利润率不低于，则最多可打___________折． 9．我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有3个小学生分不到书籍，还有一个小学生得到的书不足4本． 则共有小学生________人． 10．4月26日我校将迎来一年一度的科技节，科技节是我校为学生搭建科技创新平台，展现实中师生科技创新形象及科学素养的重大节日．数学组将组织开展“数学知识”竞赛，各班选派一名同学参加，其中某一环节共有25道题，答对一题得4分，答错或不答每题扣2分，得分不低于80分将有奖品赠送．如果皓皓想在本环节中获得奖品，则他至少需要答对多少道题？ 11．（24-25七年级下·上海·期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？并写出方案． 12．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）母亲节前夕，某店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为，单价和为210元． (1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进B种礼盒最多36个，A种礼盒数量的2倍不超过B种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由． 13．（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 14．（24-25七年级下·上海·月考）综合与实践：猜数游戏在日常生活中有着广泛应用，与数学有着密切的关联． 小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写了什么数． 游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8，，， ，解得：，正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是 ，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是 ； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是 ； 游戏拓展：小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．模仿上述求解过程，求出小丽在4张纸片上各写了什么正整数． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次不等式的实际应用 【题型1】 和差倍分问题 【题型2】 分配问题 【题型3】 销售及利润问题 【题型4】 方案选择问题 【题型5】 其他应用问题（工程行程问题、积分问题、分段计费问题、新定义问题） 题型01 和差倍分问题 题型点拨：“和差倍分问题”与“经济销售”、“方案选择”等不属于一个维度的分类。它是指一道题目里含有几个未知量且彼此之间含有“和差倍分”关系，解决此类题目时要尽可能少的设未知数，充分利用这些关系用一个量去表示其他量。和差倍分问题解决其他所有问题的基础. 【典例1】（24-25七年级下·上海·期末）3月12日是我国的植树节，某校学生会组织七年级和八年级共65名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植2棵树，八年级学生平均每人植4棵树，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需（ ） A．50名 B．45名 C．40名 D．35名 【答案】B 【分析】本题考查用一元一次不等式解决实际问题，解题关键是根据题意列出不等式．设需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为名，由“保证植树总数不少于220棵”列出不等式求解即可． 【详解】解：设需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为名， 由题意得， ， 解得，， ∴八年级学生参加活动的人数至少需45名． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）为了丰富学生的阅读资源，上外松外图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元． (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【答案】(1)每本文学名著和人物传记各25，20元 (2)33本 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设每本文学名著和人物传记各x元、y元，根据30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设人物传记买m本，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设每本文学名著和人物传记各x元、y元，依题意，得 ， 解得：， 答：每本文学名著和人物传记各25，20元． （2）设人物传记买m本，依题意，得 ， 解得：， ∴m取最大整数为33． 答：人物传记至多买33本． 【变式2】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）年度“涟商大会”在国家级地质公园湄江举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“湄江焕彩，涟商倾情”的绘画比赛，并购买A、两种徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个种徽章需元；购买4个A种徽章和5个种徽章需元． (1)每个A种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进A、两种徽章共个，已知购进的A种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过元，那么购进A种徽章的个数是多少？ 【答案】(1)每个A种徽章的价格为元，每个B种徽章的价格为元 (2)购进A种徽章的个数是 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式组应用，理解题意并列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购进个A种徽章，则购进个种徽章，再根据题意列出不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格分别为元； （2）解：设购进个A种徽章，则购进个种徽章， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：购进A种徽章的个数是． 【变式3】（24-25七年级下·上海松江·期末）某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 【答案】最少需要54名七年级学生参加活动 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设需要x名七年级学生参加活动，则需要名六年级学生参加活动，根据要保证垃圾分类助力总次数不少于360次，可列出关于x的一元一次不等式，解得x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设需要x名七年级学生参加活动，则需要名六年级学生参加活动， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为54． 答：最少需要54名七年级学生参加活动． 【变式4】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）学校每年的3月14日举行数学节“”，为了给本次“”做准备，小海和小华到文具店去购买、两种魔方，文具店里、两种魔方的单价分别为16元和22元．下面是小海与小华的对话： 小海：购买两种魔方共30件； 小华：购买的种魔方的数量不少于种魔方的数量； 根据小海和小华的对话，完成下面的问题： 小海和小华最多购买几个种魔方？ 【答案】最多购买个种魔方 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用． 设购买种魔方件，则购买种魔方件，根据种魔方的数量不少于种魔方的数量即可解答； 【详解】解：设购买种魔方件，则购买种魔方件， 根据题意， 解得：， 为正整数， x的最大值为15， 答：最多购买个种魔方； 题型02 分配问题 题型点拨：分配问题的灵魂在于：“总量不变”.东西分出去，每组数量多了，组数就少了。但核心是总量不变，常见的数量关系有：总量=每组数量组数+余量；总量=每组数量组数-空量. 【典例1】（24-25六年级下·上海·期末）实验中学组织七年级学生赴龙岗红色基地研学旅行，报名人数超过630人，在安排住宿时发现，若每间住8人，则有120人无法入住；若每间宿舍住10人，则只有一间宿舍不空也不满，则参加研学的学生人数为__________人． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，设宿舍有间，则学生数有人，若每间宿舍住10人，有一间宿舍不空也不满.用总人数-其他（x-1）间住的学生人数就是不空也不满的那间宿舍的人数. 【详解】解：设宿舍有间，则学生数有人，则 0<(8x+10)-10(x-1)<10， 解得， ∵为整数， ∴， ∴（人） 则参加研学的学生人数632人． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． 该校七年级共有多少人参加春游？ 【答案】该校七年级共有288人参加春游； 【分析】本题考查了不等式组的应用． 设租36座的车辆，则租42座的客车辆．总人数为36x人，租42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人，据此列不等式求解即可； 【详解】解：设租36座的车辆． 据题意得：30<36x-42(x-1)<42， ． 是整数， ． 则春游人数为：（人）． 答：该校七年级共有288人参加春游； 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 【答案】学生最少有5名，奖品至少有22个 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键．设学生有x人，则有奖品本，再根据如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学生有名，根据题意得： 3x+7-5(x-1)<3， 解得：x>4.5， 因为为学生人数，只能为正整数， 所以学生最少有5名， 当学生最少有5名时，将代入，可得奖品数量为：（个）， 答：学生最少有5名，奖品至少有22个． 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）某山区学校为部分离家远的学生安排住宿．如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满，问共有宿舍_______间． 【答案】5或6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组并正确求出整数解是解题关键． 设共有宿舍x间，根据如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，最后一间宿舍不空也不满，列出一元一次不等式组，求出解集，再由x为整数，即可解答． 【详解】解：设共有宿舍x间，依题意，得 解①得 ， 解②得 ， ∴原不等式的解集为， ∵x为整数， ∴x可以为5或6． 故答案为：5或6． 【变式4】（24-25七年级下·上海崇明·期中）社会实践活动中，辅导员组织一批进行游戏，若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，问参加游戏的同学的组数和人数． 【答案】参加游戏的同学的组数为、人数为． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设参加游戏的同学的组数为，则人数为，根据若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设参加游戏的同学的组数为，则人数为， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ， ， 答：参加游戏的同学的组数为、人数为． 题型03 销售及利润问题 题型点拨：销售及利润问题在初中数学应用题中属于“核心必考，综合度高，应用性强”的关键板块。重点是要搞清楚成本、售价、利润、利润率之间的基本关系。核心关系式有： 利润=售价-成本，总利润=单件利润销售量； 利润率=，利润=成本利润率； 实际售价=标价折扣. 【典例1】（24-25七年级下·上海青浦·期末）一件商品的成本是50元． (1)如果售价是58元，那么盈利率是多少？ (2)如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 【答案】(1) (2)或元 【分析】本题主要考查了有理数的运算以及一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组解题的关键． （1）根据盈利率等于售价减去成本再比上成本，即可求解； （2）设商品的原价（正整数）是元，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 答：如果售价是58元，那么盈利率是． （2）解：设商品的原价（正整数）是元，根据题意得， ， 解得：， ∵是正整数，则或， 答：商品的原价（正整数）是或元． 【变式1】（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元． (1)求该商店第一次购进该款服装的数量； (2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元． 【答案】(1)该商店第一次购进100件该款服装 (2)每件服装的标价至少是150元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装，根据第二批购进每件的价格比第一次购进的价格贵了20元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设每件服装的标价是y元，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合总利润不低于9500元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该商店第一次购进100件该款服装； （2）解：设每件服装的标价是y元， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最小值为150. 答：每件服装的标价至少是150元． 【变式2】（23-24六年级下·上海·期中）一件商品售价为120元，如果按售价的九折出售，获利不超过百分之二十；如果按售价的七折出售，那么出现亏本．求商品成本价的范围． 【答案】大于等于90元且小于等于120元 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，设商品成本价为x元，根据“按售价的九折出售，获利不超过百分之二十；如果按售价的七折出售，那么出现亏本．”列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：设商品成本价为x元， 则 解得， 答：商品成本价的范围为大于等于90元且小于等于120元． 【变式3】（24-25七年级下·上海静安·期中）静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） (2)顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）由甲商店所购商品按原价打八五折，即可得出结果； （2）先算出顾客选择乙商店的优惠活动购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时的实际付款，再根据如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款为：元， 故答案为：； （2）解：在时，选择乙商店的优惠活动后实际付款为：元， 由题意得：， 解得：， ． 【变式4】（22-23七年级下·全国·课后作业）甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更合算？ 【答案】当购买的椅子少于360把时，选择甲厂家合算 【详解】根据题意，得，解得． 答：当购买的椅子少于360把时，选择甲厂家合算． 题型04 方案选择问题 题型点拨：一元一次不等式中的方案选择问题是初中数学从基础计算迈向实际应用与优化思维的重要转折点。此类问题有益于培养学生的建模能力与逻辑分析能力。解题策略是：先建模、再比较、最后做选择. 【典例1】（24-25七年级下·上海闵行·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元 (2)该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知： 解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出： 解得： ∵m为正整数， ∴或11或12， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为3辆， 此时利润为：（万元） 综上：该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元． 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 【答案】(1)A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元 (2)该企业购买方案有2种：①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台；②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用． （1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，根据信息一的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台，根据要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台， 由题意得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴，6， ∴该企业购买方案有2种： ①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台； ②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台． 【变式2】（23-24六年级下·上海青浦·期末）某工厂只生产甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲机器和一台乙机器所需A、B两种材料的数量和售后利润如下表所示： 机器型号 A种材料（千克） B 种材料（千克） 售后利润 （万元） 甲 55 20 5 乙 40 36 6 (1)若生产甲、乙两种机器9台，共获利润50万元，问甲：乙两种机器各生产了多少台？ (2)若库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克， 计划生产甲、乙两种机器共200台，要使工厂所获利润最大，请你帮忙规划一下，如何安排生产？最大利润是多少？ 【答案】(1)生产甲机器4台，生产乙机器5台 (2)生产甲机器77台，乙机器123台，利润最大为1123万元 【分析】本题考查了不等式组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设生产甲机器x台，则生产乙机器台，根据“总利润为50万元”列方程求解即可； （2）设生产甲机器m台，则生产乙机器台，根据“库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克”列不等式组，求出整数m的值，然后求出每一种方案的利润，最后比较即可． 【详解】（1）解：设生产甲机器x台，则生产乙机器台， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：生产甲机器4台，生产乙机器5台； （2）解：设生产甲机器m台，则生产乙机器台， 根据题意，得， 解得， ∴整数m有77，，7，79，80， ∴生产方案如下： ①生产甲机器77台，乙机器123台，利润为（万元）； ②生产甲机器78台，乙机器122台，利润为（万元）； ③生产甲机器79台，乙机器121台，利润为（万元）； ④生产甲机器80台，乙机器120台，利润为（万元）； ∵， ∴生产甲机器77台，乙机器123台，利润最大为1123万元． 【变式3】（2024六年级下·上海·专题练习）为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表所示．如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少？ 甲种货车 乙种货车 载货量（吨辆） 45 30 租金（元辆） 400 300 【答案】最省钱的租车方案是租甲型货车4辆，乙型货车2辆，费用是2200元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，先设租甲型货车辆，则乙型货车辆，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，再根据为正整数，求出租车方案，再分别求出每种方案的费用，即可得出答案，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系列出不等式组，注意为正整数． 【详解】设租甲型货车辆，则乙型货车辆，根据题意得： ， 解得：， 为正整数， 共有两种方案， 方案1：租甲型货车4辆，乙型货车2辆， 方案2：租甲型货车5辆，乙型货车1辆， 方案1的费用为：元； 方案2的费用为：元； ∵， 则选择方案1最省钱， 即最省钱的租车方案是租甲型货车4辆，乙型货车2辆． 【变式4】（24-25九年级下·江西赣州·月考）为了丰富同学们的业余生活和培养同学们学习数学的兴趣，学校将举行一年一度的数学文化节，在数学文化节倒计时30天之际，学校计划购买A、B两种文化节的奖品作为纪念品．已知购买1件A种奖品与2件B种奖品共需要70元，购买2件A种奖品与3件B种奖品共需要120元． (1)求A种奖品和B种奖品的单价分别为多少元？ (2)学校计划购买A种奖品和B种奖品共200件，总费用不超过5000元，那么最多能购买A种奖品多少件？ 【答案】(1)A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元 (2)最多能购买100件A种奖品 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是关键． （1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，购买1件A种奖品与2件B种奖品共需要70元，购买2件A种奖品与3件B种奖品共需要120元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，根据总费用不超过5000元列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， 根据题意得， 解得． 答：A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元； （2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为100． 答：最多能购买100件A种奖品 题型05 其他问题 题型点拨：一元一次不等式应用的其他问题有行程问题、工程问题、比赛积分问题、新定义等等问题。解题的策略关键就是要注意关键词句，如“不足”，“至少”等等。 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）“垃圾分类知多少”知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错扣5分，不答不扣分．小明得分要超过90分，且有2道未答．他至少要答对多少道题？若设小明答对了道题，则由题意可列不等式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，此类题目注意提取不等关键词是解题的关键． 根据题意可得，小华答对题的得分：；小华答错的得分：然后根据华得分要超过90分列不等关系即可． 【详解】解：设小明答对了道题， 根据题意，得． 故答案是：． 【变式1】某市一种出租车起步价是5元（路程在3km以内均付5元），达到或超过3km，每增加0.5km加价0.7元（不足0.5km按0.5km计）．某乘客坐这种出租车从甲地到乙地，下车时付车费14.8元，那么甲地到乙地的路程是多少？ 【答案】甲地到乙地的路程大于9.5km且不超过10km． 【分析】根据起步价与超过3千米以后的车费的和是支付的车费，设出未知数，列出不等式组解答即可． 【详解】设从甲地到乙地的路程是xkm， 根据题意，得：14.8﹣0.7＜5+1.4（x﹣3）≤14.8， 解得：9.5＜x≤10， 答：甲地到乙地的路程大于9.5km且不超过10km． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式在实际中的应用，注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际；理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 【变式2】（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）阅读材料，回答问题： 已知，符号表示大于或等于的最小正整数，例如，，，… (1)填空：______； (2)若，则的取值范围是______； (3)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费9元，超过的，每超过加收2元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：）时，（元） 当（单位：）时，（元） 某乘客乘车后付车费33元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）按材料上提供的计算方法确定答案即可； （2）按材料上提供的计算方法确定的取值范围算即可； （2）直接把代入，求出的范围即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：1； （2）若，则的取值范围是． 故答案为：； （3）因乘车费用，故该乘客乘车路程超过， 根据题意，可得 ， 解得， ∴， ∴． 答：该乘客所行的路程的取值范围为． 【变式3】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，这是某电影院的价目表．某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料．如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 【答案】最多可买４盒爆米花 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，设可以买x盒爆米花，利用总价=单价数量，结合总价不超过1600元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】解：设可以买x盒爆米花，根据题意得： ， 解得，， 所以，最多可买４盒爆米花． 【变式4】（24-25七年级下·上海·期中）已知：数a、都是关于x的不等式的解． (1)是该不等式的解吗？为什么？ (2)是该不等式的解吗？为什么？ (3)是该不等式的解吗？为什么？其中． (4)设数a、b、在数轴上对应的点分别为A、B、C，通过计算发现，由此可知C为线段的二等分点．设在数轴上对应的点分别为D，仿照上面的过程，说明D为线段的三等分点． (5)根据（4）的提示，试着从几何意义的角度解释（1）和（2）中的结论． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 (3)是，理由见解析 (4)见解析 (5)见解析 【分析】本题考查了数轴与不等式． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可； （3）根据不等式的性质求解即可； （4）根据题干已知方法进行说明即可； （5）根据不等式的几何意义进行解答即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ，， ， 也是该不等式的解； （2）解：是，理由如下： ，， ， 是该不等式的解； （3）解：是，理由如下： ，， ， 是该不等式的解； （4）解：， 是AB的三等分点； （5）解：，B都在25右侧， 它们的中点和三等分点也都在25右侧． 1．一辆匀速行驶的汽车在上午距离A地，要在中午之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是，根据题意可列不等式（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列不等式．设车速是，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：分钟小时， 设车速是，根据题意可列不等式． 故选：A． 2．“守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．我市蓝天实验学校七年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4名本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校七年级共有（    ）个班级． A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等组的应用．设学校七年级共有x个班级，根据题意，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：设学校七年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， 答：学校七年级共有6个班级． 故选：C． 3．第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据打折出售，得出折后的售价为，再结合利润率的公式，进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，打折出售，得出折后的售价为 ∵每件进价为200元，且每件衣服的利润率不低于， ∴， 故选：B． 4．我区某初中举行“针圣故里，康养衢江”知识抢答赛，总共道抢答题，对于每一道题，答对得分，答错或不答扣分，选手小华想使得分不低于分，则他至少答对多少道题（    ） A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设他答对道题，则答错或不答有道题，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解，理清题意，根据不等关系列出不等式是解题的关键． 【详解】解：设他答对道题，则答错或不答有道题， 依题意得：， 解得：， 答：他至少答对22道题， 故选D． 5．如图，有一容积为的容器，在容器中倒入的水，此时刻度显示为，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．一个大玻璃球的体积为，放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围．设一个小玻璃球的体积为，根据题意可以列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 设一个小玻璃球的体积是，根据“放入27个大玻璃球后，放入5颗小玻璃球，水面没有溢出，再放入一颗小玻璃球，水面会溢出容器”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】设一个小玻璃球的体积为， 放入27个大玻璃球后，放入5颗小玻璃球，水面没有溢出， ， 再放入一颗小玻璃球，水面会溢出容器， ， 综上所述：， 故选：B． 6．一种荔枝的进价是每千克元，销售中估计有的荔枝正常损耗（包含剪枝），商家把售价至少定为每千克_______元，才能避免亏本． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，设商家把售价定为每千克元，则，解出，即可． 【详解】解：设商家把售价定为每千克元， ∴， 解得：， ∴商家把售价至少定为每千克元，才能避免亏本 故答案为：． 7．有十名花匠，每人可种郁金香30盆或玫瑰20盆，已知郁金香每盆获利5元，玫瑰每盆获利8元，要使总获利不低于1560元，则最多安排________人种郁金香． 【答案】4 【分析】设安排x人种郁金香，则安排人种玫瑰，根据总获利不低于1560元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：设安排x人种郁金香，则安排人种玫瑰，根据题意得： ， 解得：， 即最多安排4人种郁金香． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了不等式的应用，解题的关键是根据不等关系，列出不等式． 8．某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元，店庆期间商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但要保证利润率不低于，则最多可打___________折． 【答案】8/八 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解． 设该自行车能打x折，则根据利润率不低于，可得出不等式，解出即可得出答案． 【详解】解：设该自行车能打x折， 由题意得 解得：， 即最多可打8折． 故答案为8． 9．我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有3个小学生分不到书籍，还有一个小学生得到的书不足4本． 则共有小学生________人． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，设出未知数，找出不等关系：还有一个小学生得到的书不足4本，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：设有小学生x个，根据题意得： 由①得： 由②得： ∴ ∵ x为正整数， ∴（个）， 共有书：（本）， 答：共有小学生8人． 故答案为： 10．4月26日我校将迎来一年一度的科技节，科技节是我校为学生搭建科技创新平台，展现实中师生科技创新形象及科学素养的重大节日．数学组将组织开展“数学知识”竞赛，各班选派一名同学参加，其中某一环节共有25道题，答对一题得4分，答错或不答每题扣2分，得分不低于80分将有奖品赠送．如果皓皓想在本环节中获得奖品，则他至少需要答对多少道题？ 【答案】皓皓至少答对22道题 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，先设皓皓答对x道题，再根据“某一环节共有25道题，答对一题得4分，答错或不答每题扣2分，得分不低于80分将有奖品赠送”，列式，再解不等式，即可作答． 【详解】解：设皓皓答对x道题， 根据题意得：， 解这个不等式得， 为正整数， 的最小整数解为22． 答：皓皓至少答对22道题 11．（24-25七年级下·上海·期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？并写出方案． 【答案】(1)乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元 (2)有三种购买方案：学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副；学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副；学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解应用题，读懂题意，准确列出方程组、不等式组求解是解决问题的关键． （1）设乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设学校准备购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，由题意列出一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元，则 ， 解得， 答：乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元； （2）解：设学校准备购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，则 ， 解得， 为正整数， 可取， 即有三种购买方案： 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副； 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副； 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副． 12．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）母亲节前夕，某店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为，单价和为210元． (1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进B种礼盒最多36个，A种礼盒数量的2倍不超过B种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由． 【答案】(1)种礼盒的单价为120元，种礼盒的单价为90元． (2)2种进货方案，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用，准确找出数量关系是解题的关键． （1）利用“、两种礼盒单价比为”，设单价为元，单价为元．依据“单价和为210元”，列方程，求解，进而得出、的单价． （2）设购进种礼盒个，根据“恰好用去4800元”表示出种礼盒数量．结合“种礼盒最多36个”，“种礼盒数量的倍不超过种礼盒数量”，列出不等式组，求出的取值范围．根据礼盒个数为正整数，对在取值范围内取值验证，确定符合条件的值，从而得出进货方案数量． 【详解】（1）解：设种礼盒的单价为元，种礼盒的单价为元，根据题意得 解得． 则种礼盒的单价为（元）， 种礼盒的单价为（元）． 答：种礼盒的单价为120元，种礼盒的单价为90元． （2）设购进种礼盒个，购进种礼盒个，根据题意得， ， 解得． ∵两种礼盒个数均为正整数， ∴为正整数，即是的倍数． 当时，（符合条件）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（符合条件）． ∴购进A种礼盒13个，购进种礼盒36个，或种礼盒16个，购进种礼盒32个，共有种进货方案． 13．（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 (2)该公司可以采购A种机器人数量的范围 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据“用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人”列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个， 根据题意得， 解得， ∴该公司可以采购A种机器人数量的范围． 14．（24-25七年级下·上海·月考）综合与实践：猜数游戏在日常生活中有着广泛应用，与数学有着密切的关联． 小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写了什么数． 游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8，，， ，解得：，正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是 ，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是 ； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是 ； 游戏拓展：小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．模仿上述求解过程，求出小丽在4张纸片上各写了什么正整数． 【答案】游戏分析：；；给出结论：或；游戏拓展：纸片上的数可能是或 【分析】本题考查的是不等式组的应用， 游戏分析：根据题意分析计算求和进而写出结论； 给出结论：根据分析内容汇总得出结论； 游戏拓展：结合上面的分析及结论，类别写出即可． 【详解】解：游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8， ，， ，解得：， 正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是或； 故答案为：；；或； 游戏拓展：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为m、n、e、f，其中． 最小的两个数的和为6，最大的两个数的和为9， ，， ，解得：， 正整数，2，3． 当时，，则不满足最大的两个数的和为9这一条件，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是； 当时，，若，，但它们的和出现的数6，9，不符合题意； 当时，，若，，它们的和出现的数； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是或； 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $