第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末检测（一）-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

2025-2026学年度高一下学期必修三第八章章末检测（一） 一、单选题 1．已知角的终边与单位圆交于点，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．已知单位向量和满足，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．已知过点的直线l：的一个法向量为，则（    ） A． B．1 C．5 D． 5．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．已知， ，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，已知，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形 8．已知,,O为坐标原点,P为x轴上一点，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若为的外心，且，则 B．若为的内心，，，（m，），则 C．若为的重心，，则 D．若为的外心，且到a，b，c三边距离分别为k，m，n，则 10．已知向量， ， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．若，则 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 三、填空题 12．边长为2的正方形中，为对角线上一动点，则______. 13．已知，和是方程的两个根，则________. 14．已知向量，，且，则在方向上的投影的取值范围是________. 四、解答题 15．已知角的终边过点，且. （1）求的值； （2）求的值. 16．已知函数，. （1）求函数f（x）的最大值及对应的x的取值集合； （2）在给定的坐标系中，画出函数y＝f（x）在[0，π]上的图象． 17．已知，. （1）若，求证：； （2）设，若，求，的值. 18．直角坐标系中，已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，且和的夹角为锐角，求的取值范围. 19．已知函数在区间单调，，且 (1)求图象的一条对称轴； (2)求的解析式； (3)在锐角中，若，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年度高一下学期必修三第八章章末检测（一）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A B A A C A ABD BC 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】由三角函数的定义结合二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】点在单位圆上，则， 所以． 故选：B. 2．A 【分析】根据两角差的正弦公式即可得出正确的选项． 【详解】． 故选：． 3．A 【分析】根据，对两边平方即可求出的值，进而求出的值，从而得出与的夹角. 【详解】解：由得：， ，且， ， 解得， . 故选：A. 【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的求解，考查学生计算能力，是中档题. 4．B 【分析】由题意可得直线斜率，即得的值，根据点在直线上可得，利用两角和的正切公式即可求得答案. 【详解】由题意可知直线l的一个方向向量为， 故直线的斜率为， 由于在直线l上，故， 则， 故选：B 5．A 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 6．A 【详解】因为，， 所以，又， 所以， 所以. 7．C 【分析】根据三角变换可得，故可得正确的选项. 【详解】因为，故， 故，故， 而，故即，故三角形为等腰三角形， 故选：C. 8．A 【解析】假设点的坐标，根据向量数量积的坐标运算，通过观察法，可得结果 【详解】设, , 即 当时,有最小值1. 故选：A 【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，属基础题. 9．ABD 【分析】根据为的外心，得到，结合，求得，可判定A正确；根据为的内心，延长交于，得到点为的中点，且，求得和的长度，得到，可判定B正确；由为的重心，得，根据题意，求得，可判定C不正确；由到三边距离为，结合三角形的面积公式和正弦的倍角公式，求得和，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为为的外心，可得， 因为，可得， 所以，所以， 所以，所以，所以A正确； 对于B中，如图所示，为的内心，连接，延长交于， 因为，则点为的中点，且， 因为，，可得， 由三角形内心的性质，可得， 即，解得，， 所以， 因为， 所以，所以B正确； 对于C中，因为为的重心，可得，所以， 因为，可得， 所以，可得， 又因为向量与不共线的非零向量，所以且， 所以，此时不是等边三角形，所以，所以C不正确； 对于D中，设的外接圆的半径为， 因为到三边距离为，可得， 且， 所以，可得， 同理可得：，所以，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：用平面向量求解平面几何问题的解答策略： 1、首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量进行表示，然后选择适当的基底向量，将相关的向量表示为基底向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题； 2、再将向量的运算的结果还原为几何关系，应用向量相关的知识，可巧妙地解决三角形四心所具备的一些特定的性质，同时也应熟记应用三角形四心的几何特征及应用； 3、向量的运算公式，若不含图形，可直接运用相应的运算法则求解；若含有图形，可将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线的性质等，把未知向量用已知向量进行表示. 10．BC 【解析】利用向量共线与垂直的判定条件即可得出． 【详解】∵，，， ∴，∴； ∵，∴． 故选：BC 【点睛】本题主要考查向量平行与垂直，属于基础题． 11．AC 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D. 【详解】利用辅助角公式化简：. 选项A，最小正周期， A正确； 选项B，若，则，即， 得：，即， 因此，B错误； 选项C，当时，令， 则在上单调递增， 因此在上单调递增，C正确； 选项D，若函数关于点中心对称，则满足， 则，D错误. 12．4 【分析】根据平面向量基本定理可知，由于､､三点共线，则存在，使得，故，再结合平面向量数量积的运算即可得解. 【详解】解：∵､､三点共线，∴存在，使得， ∴ . 故答案为：4. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的应用，考查平面向量数量积的计算，属于基础题 13． 【分析】利用韦达定理、两角和的正切展开式计算可得答案. 【详解】由题意和是方程的两个根， 则由韦达定理可知：， 所以，则，即. 14． 【详解】因，， 则在方向上的投影为 ， 因，则，故， 故在方向上的投影的取值范围是 15．(1)(2) 【分析】（1）任意角的三角函数的定义求得x的值，可得sinα和tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值； （2）利用两角和差的三角公式、二倍角公式，化简所给的式子，可得结果． 【详解】由条件知，解得，故. 故， （1）原式== （2）原式 . 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题． 16．（1）最大值为3，x的取值集合.（2）答案见解析. 【分析】（1）先利用三角恒等变换公式对函数的解析式进行化简，再依据化简后的解析式求三角函数的最值及对应的x的取值集合； （2）直接利用五点作图法画出图象即可. 【详解】（1）∵ = ． 故当即时， ∴函数f（x）的最大值为3，对应的x的取值集合. （2）由于 0≤x≤π，∴2x，列表： 2x π 2π x 0 π f（x） 1 2 0 ﹣2 0 1 画图： 【点睛】本题考查由正弦函数的性质求解最值的问题，考查了正弦型函数的图象的作法，解题的关键是对函数的解析式进行化简，以及熟练掌握正弦函数的性质，作函数的图象一般用五点法作图． 17．（1）见解析（2），. 【详解】由题意，，即，又因为，∴，即，∴ （2），∴，由此得 ，由，得，又，故， 代入得，而，∴，. 【考点定位】本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系、有道公式等基础只晒，考查运算求解能力和推理论证能力. 18．(1)1 (2) 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，可得，然后利用齐次式即可求值； （2）根据向量夹角为锐角，可得数量积小于0且不共线，代入坐标计算即可. 【详解】（1）因为，，且，所以. 因为，所以，故. （2）因为，所以，又， 所以，. 因为和的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得. 又，即， 所以的取值范围是. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由最小正周期，且且，可得图像的一条对称轴. （2）由（1）知，故，由，得，2或再由直线为图像的一条对称轴可得，又由，可得，或得出或，判断出当时从而得，即得答案. （3）因为，得，再根据三角形为锐角三角形得出B的范围，根据二倍角公式化简问题式结合对勾函数的性质计算即可. 【详解】（1）由题可知函数的最小正周期, 又因为且， 所以直线为图像的一条对称轴； （2）由（1）知，故，由，得，2或 由直线为图像的一条对称轴，所以， 因为，所以或， 若，则， 即，不存在整数，，使得，2或 若，则， 即不存在整数，，使得或3； 当时，，此时， 由，得，所以. （3）因为，所以, 因为在锐角中，，所以， 由，得，,则； 而， 当且仅当，即时，取最小值， 当或1时，，则的值域为， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：根据三角函数的图象与性质分类讨论可求解析式；由三角形为锐角三角形确定B的范围，通过二倍角公式化简结合对勾函数的性质可计算范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $