第八章 向量的数量积与三角恒等变换（单元自测·基础卷）数学人教B版必修第三册

2025-2026学年高一数学单元自测 第八章 向量数量积与三角恒等变换·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，即， 所以，. 2．，，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 故选：D. 3．设非零向量，，则“或”，是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为. 若或可得； 但不能得到或. 所以“或”，是“”的充分不必要条件. 4．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得， 又，所以，， 所以 5．已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以， 则在上的投影向量为. 6．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当，等式左边，等式右边， 此时，故等式不成立，所以， 所以变形得：， 即， 因为，所以， 所以，又，所以当时，. 7．已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 又因为、，所以，， 则，，所以， 因为， 所以，故. 故选：B. 8．在中，，，若，，，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 又与共线，可设，则， 同理与共线，设，又 所以 又 所以，解得 故 所以 又 故 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知向量，，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D． 【答案】BD 【详解】A选项：由，则，则， 即，A选项错误； B选项：由，则，则， 即，B选项正确； C选项：由，则，则， 即与的夹角为，C选项错误； D选项：由已知，则， 即，则，D选项正确； 故选：BD. 10．使函数为奇函数的的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】， 若为奇函数，则，得， 当时，；当时，；则BD正确； 而，均位于内，故AC错误. 故选：BD 11．如图，在中，，BM交CN于点E，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】如图， 取CN的中点H，连接MH，则，且，所以，且，所以，所以，即． 对于A，，故A选项正确； 对于B，，故B选项正确； 由，可得， 即， 即，所以， 当且仅当，即时， 取得最小值为，故C选项错误，D选项正确． 故选:ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知向量，，若，则___________． 【答案】4 【详解】由，可得，， 由可得， 所以，解得. 故答案为：4 13．已知锐角中，，则的值是__________． 【答案】/ 【详解】由题意，可得， 又因为， 所以， 在锐角中，， 所以， 则，即，. 14．已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】因为点是圆上一点，，所以， 因为， 所以， 设与的夹角为，， 则，所以， 又，所以， 又点是圆内部一点，所以， 综上； ， 因为，所以，则， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 【详解】（1），B，P三点共线，． 2分 ，，，． 4分 （2），，． 7分 （3）若是锐角，则，且，不共线． ，，， 10分 且，解得，且． 13分 16．（15分）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的值域； (3)已知为锐角，且，求的值． 【详解】（1）， 2分 令， 4分 所以的单调递增区间为，； 5分 （2）当时，所以， 所以，所以的值域为； 8分 （3）因为，设， 则， 10分 由于，故，所以， 13分 所以，， 故. 15分 17．（15分）已知，. (1)求和的值； (2)若，为锐角，求的值； (3)若，为锐角，求角. 【详解】（1）因为，且所以， 又，所以， 2分 因此， 3分 ； 5分 （2）因为，，所以， 又，则， 则 ， 则， 8分 所以； 10分 （3）因为，，则，且， 12分 则， 又，所以. 15分 18．（17分）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，，分别是与轴、轴同方向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做在仿射坐标系中的斜坐标. (1)若，，，求； (2)若，，，求在上的投影向量的斜坐标； (3)若，，，，求的最大值. 【详解】（1）由题意得，， 2分 因为，则存在实数使得，即， 因为，不共线，所以，得； 5分 （2）由题意得，，且， 则， ， 8分 则在上的投影向量为， 故在上的投影向量的斜坐标为； 11分 （3）由题意得，， 设夹角为，则， 则， ， ， ， 则 因为，所以，得， 14分 则， 则，因为， 所以，则， 16分 则的最大值为. 17分 19．（17分）某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 【详解】（1）在，中，由， 得，， 又中，由勾股定理得， 3分 因， 5分 当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，， 所以函数关系式为，定义域为. 6分 （2）由（1）知，， 因此， 8分 于是. 9分 （3）依题意，要使费用最低，只需最小即可， 由（1）得，， 设，则， ， 12分 ，由，得， ， , 于是， 15分 令，函数在上为增函数， 则当时，最小，且最小值为，此时， 所以当米时，照明装置费用最低，最低费用元. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高一数学单元自测 第八章向量的数量积与三角恒等变换·基础通关（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 2 3 5 6 7 8 A D A D B B B B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 10 11 BD BD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.4 13.812 14.「3,25 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15、【详解】(1)A,B,P三点共线，B1/BF 2分 AB=(2,-4)BP=(1,)21+4=0,t=-2 4分 1 (2）1Bp,÷A丽BP=2-41=0,1= 2·… 7分 （3)若∠B1P是锐角，则B·P>0,且而，P不共线. :AB=(2,-4)AP=(3,t-4).6-4(t-4)>0 10分 11 且1-2，解得1K2,且1-2 13分 16.【详解】(1) )=3sinc0sim2x-2-3.1-coscosim2x-2-sim2x-cos2x 2 2 =2sin 2x-I 2分 116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令2ki≤2x元<+2k三石m≤xs+m 62 4分 所以f)的单调递增区间为6T3T」，kZ;5分 两u-副哥4的w: 8分 (3)因为（2，设 则10-2。 13 √13,10分 由0ma<,改2e0. 2W5 所以cos= 13,13分 所以sin2a=45 13,cos2a=,、] 放/20=2n40-引-2na+君-ma9+oma2a}得 21315分 sina 17.【详解】(1)因为sin'a+cos2au-1,且 10所 cos'a=49 50, (3π 7N2 ae4π 所以cosa= 10,… 2分 因此ana=sin& 1 cosa 7 3分 7 sin2a =2sinacosa = 255分 216 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2因为停.〔引，所a+a年别 又sina+A)=-25, ，则cos(a+B=-5 5 sin B=sin((+B)-a)=sin(B)cosa-cos()sina 2{8}}0 则cosB=0 108分 防ao-阴=如aoB-an月=将 7N2310115 1010 10 10 25;10分 12分 则tan(a+2pB)= tana+tan 2B 1-tan a tan 2B 又a+2BE 3π4π 4’3, 所以+2B=5n 4… 15分 18.【详解】(1)由题意得，a=g+26,b=2g+g 2分 因为ab,则存在实数x使得6=xa,即(2-g=(2x-列g, 因为9,6不共线，所以2-x=0,2x-元=0，得x=2,1=4 … 5分 （2)由题意得，日=G+2g,万=-8+6，且g=cos60=2, 则a-6=(9+26-g+8=-g+2g-g6=-1+2-}} 22 =2=(-g+G=G2+g2-2g-6名=1+1-1-l,8分 316 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则。在6上的投影向量为 [11 故ā在五上的投影向量的斜坐标为2'2： …11分 (3)由题意得， a=e+e,b=3e +e,c=2e-e 设9,6夹角为0，则96=c0s8, 则i-6=8+g小3g+g=362+6+4e6=3+1+40s0=4cos0+4 1凤=VG+e=VG+g2+2g~e=+1+2c0s9=V2os0+2, 同-V3g+6=V9e+6+6ge,=V9+1+6cos9=6os0+10, 同=2g-e-V4e+e-4e-e,=4+1-4cs9=5-4cos0, 则cosa,6= a.b 4c0s0+4 =2 cos0+1 cos0+1 =2 5 2cos0+2.6cos0+10 V3cos0+5 3(cos0+1+2 因为s5,所以5-4cs0≤2得c0s0 4… 14分 则cos0+1≥Z Γ4， 则cosa,6=2 1 3+2 cos0+1 因为0<打号 2√72 所以3<3+ cos0+1s7，则cosa,6∈ 2 .29 29'3, 16分 na.6的最大值为， 2W7 V29 则 √29 39 17分 19.【详解】(I)在RtBOE,RtsAOF中，由∠BOE=∠AFO=a, cosa,OF、20 得OE=20 sina’ 4/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ）2 2 又Rt△EOF中，由勾股定理得EF=VOE2+OF2 20 20 20 cosa sina sina.c0s0,3分 =OE+OF+EF=- 20,20 20 20(1+sina +cosa) 因 cosa sina sina·cosa sina·cosa 5分 当点F在点O时，此时。的值技小，。-名，当点E在点c时，此时a的值说大，a=子， 20(1+sina +cosa) π元 1= 所以函数关系式为 sina·cosa 定义域为6’3」 6分 20 (2)由(1)知EF= tana= ina·cosa’ 2’ 因此sina·cosa= sina·cosa tand 2 in2a+cos2atan2a+15’… 8分 于是E℉=50.4444444449分 (3)依题意，要使费用最低，只需OE+OF最小即可， 由(1)得， OE+OF20(sina+cosa) sina·cosa, 设sina+cosg='则sina-cosa=/ 2, OE+OF= 20t40t40 -1-1-1, l2分 2 t 5u+1 ,+π7π 412, 64 4， sin 7-sin 12 (34 3 4 3 44， √3+1 于是2≤1sV2 ，15分 516 6学科网好课 单元速记：巧练 www.zxxk.com WWW ZXXKCOM 知识归纳梳理，测试巩固提升 令=1-，函数=1在0，+切上为增函数， 则当：=√2时，OE+OF最小，且最小值为40N2,此时0=4， 所以当8E=4F=20米时，照明装置费用最低，最低费用C=50(OE+0F)=2000N5 元17分 ⊙ 6/6………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第八章 向量数量积与三角恒等变换·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．，，（   ） A． B． C． D． 3．设非零向量，，则“或”，是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 6．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．在中，，，若，，，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知向量，，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D． 10．使函数为奇函数的的值可以是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，BM交CN于点E，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知向量，，若，则___________． 13．已知锐角中，，则的值是__________． 14．已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 16．（15分）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的值域； (3)已知为锐角，且，求的值． 17．（15分）已知，. (1)求和的值； (2)若，为锐角，求的值； (3)若，为锐角，求角. 18．（17分）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，，分别是与轴、轴同方向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做在仿射坐标系中的斜坐标. (1)若，，，求； (2)若，，，求在上的投影向量的斜坐标； (3)若，，，，求的最大值. 19．（17分）某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第八章 向量数量积与三角恒等变换·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．，，（   ） A． B． C． D． 3．设非零向量，，则“或”，是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 6．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．在中，，，若，，，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知向量，，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D． 10．使函数为奇函数的的值可以是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，BM交CN于点E，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知向量，，若，则___________． 13．已知锐角中，，则的值是__________． 14．已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 16．（15分）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的值域； (3)已知为锐角，且，求的值． 17．（15分）已知，. (1)求和的值； (2)若，为锐角，求的值； (3)若，为锐角，求角. 18．（17分）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，，分别是与轴、轴同方向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做在仿射坐标系中的斜坐标. (1)若，，，求； (2)若，，，求在上的投影向量的斜坐标； (3)若，，，，求的最大值. 19．（17分）某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $