专题二：三角函数、解三角形、数列 导学案-2026届高三数学二轮专题复习

云南师范大学附属丘北中学2025-2026学年秋季学期高三数学复习案 年 级： 高三 班 级： 姓 名： 科 目： 数学 制作人： 编 号： 1 专题二：三角函数与解三角形、数列----考点1：三角函数的运算 一、【导】— 问题导入·明确目标 1. 导入问题（引出课题） 问题引入：= . 2. 学习目标 （1）掌握同角三角函数基本关系与诱导公式，三角恒等变换，两角和与差公式。 （2）能用平方和关系进行正弦与余弦之间的转化，会利用商数关系求解齐次式的值； （3）提升数学运算核心素养。 2、 【学】— 自主演练·独立完成 题号 题目演练区（方框作答） 考点·思路·方法梳理 1 已知0<α<π， ，则 等于( ) A. B. C. D. 2 已知，，则cos(2α+2β)等于(　　) A. B. C. D. 3 已知=，则等于(　　) A. B. C. D. 4 若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 三、【议】— 小组讨论·互助释疑 四、【评】— 展示点评·提炼升华 五、【检】— 当堂检测·达标反馈 1.(多选)已知sin α=，α∈，则(　　) A.sin(π-α)= B.tan(π+α)=- C.sin=- D.cos=- 2.(2025·石家庄模拟)已知x∈，cos-cos(3π+x)=，则tan等于(　　) A.1 B.2 C. D.3 3.若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则 ； ． 六、课后作业（分层） （一）、 基础巩固（必做） 1.(2025·佛山模拟)已知角α的终边经过点A(-3，4)，则下列结论正确的是(　　) A.sin(α-π)= B.sin=- C.sin 2α=- D.cos 2α= 2.已知cos α+sin α=，则sin等于(　　) A. B. C.- D.- 3.(2025·张家口模拟)已知sin=-，则sin等于(　　) A. B.- C. D.- 4.已知，，则 ． （二）、 能力提升（选做） 1.（2020·全国I卷·高考真题）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 4.（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知，，，则（ ） A． B． C． D． 年 级： 高三 班 级： 姓 名： 科 目： 数学 制作人： 编 号： 2 专题二：三角函数与解三角形、数列---- 考点2：三角函数的图象与性质 一、【导】— 问题导入·明确目标 1. 导入问题（引出课题） 问题引入：若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（    ） A． B． C． D． 2. 学习目标 （1）理解三角函数图像的平移、伸缩变换。 （2）会根据图像求解析式，以及会利用三角函数的周期性、单调性、对称性、最值进行综合分析与计算。 （3）提升数学运算核心素养。 二、【学】— 自主演练·独立完成 题号 题目演练区（方框作答） 考点·思路·方法梳理 1 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为π，且过点，若将f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，再向左平移个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)等于(　　) A. sin B.sin C.sin D.sin 2 把函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的单调区间为（   ） A． B． C. D. 3   已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ． 4 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、【议】— 小组讨论·互助释疑 四、【评】— 展示点评·提炼升华 五、【检】— 当堂检测·达标反馈 1.(2025·南京模拟)把函数y=cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则f(x)等于(　　) A.cos B.cos C.cos D.cos 2.函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 3.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B，A＞0，ω＞0，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为________． 六、课后作业（分层） （一）、 基础巩固（必做） 1.下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 2.(多选)(2024·广东汕头金山中学模拟)已知函数f (x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0，x∈R)，且f (x)所有的正零点构成一个公差为的等差数列，把函数f (x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的结论正确的是(　　) A．函数g(x)是偶函数 B．g(x)的图象关于点对称 C．g(x)在上是增函数 D．当x∈时，函数g(x)的值域是[1，2] （二）、 能力提升（选做） 1.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 2.（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增；③当时，的取值范围为；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 3.已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 年 级： 高三 班 级： 姓 名： 科 目： 数学 制作人： 编 号： 专题二：三角函数与解三角形、数列 ---- 考点3：解三角形 一、【导】— 问题导入·明确目标 1. 导入问题（引出课题） 问题引入：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B-bcos A=c，且C=，则B等于(　　) A. B. C. D. 2. 学习目标 （1）掌握正弦、余弦定理； （2）会用正、余弦定理解决三角形中的最值、范围问题等相关问题； （3）提升数学运算，逻辑推理等核心素养。 二、【学】— 自主演练·独立完成 题号 题目演练区（方框作答） 考点·思路·方法梳理 1 在△ABC中，BC=2，AC=1+，AB=，则A等于(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 2 在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，BC=，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD=　　　　.  3 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=cos B，a2+b2-c2=ab.若△ABC的面积为3+，求c = 4 记△ABC的内角，，的对边分别为，，，已知，且．则△ABC周长的取值范围为 ． 三、【议】— 小组讨论·互助释疑 四、【评】— 展示点评·提炼升华 五、【检】— 当堂检测·达标反馈 1.(2023·全国乙卷，T4)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B-bcos A=c，且C=，则B等于(　　) A. B. C. D. 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=3，b=2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的中线AH的长等于(　　) A. B. C. D. 3.（2026·贵州毕节·一模）在△ABC中，内角所对的边分别为.已知. (1)求的值；(2)若的面积为，求△ABC的周长. 六、课后作业（分层） （一）、 基础巩固（必做） 1.(2024·全国甲卷，T11)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=，b2=ac，则sin A+sin C等于(　　) A. B. C. D. 2.（2024·河北·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)已知，求边上的中线的长. 3.在△ABC中，内角的对边分别是，且.若△ABC为锐角三角形，求的取值范围. （二）、 能力提升（选做） 1．（2025·四川成都·二模）在中，角的对边分别是，且，且． (1)求角的大小； (2)D为AC过上的一点，，且_____，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线；②D为线段AC的中点． (3)若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 2.（2026·四川攀枝花·一模）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足． (1)求角B； (2)若，求△ABC周长的取值范围． 年 级： 高三 班 级： 姓 名： 科 目： 数学 制作人： 编 号： 专题二：三角函数与解三角形、数列 ----考点4：等差数列、等比数列 一、【导】— 问题导入·明确目标 1. 导入问题（引出课题） 问题引入：已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 2. 学习目标 （1）理解等差数列、等比数列的相关概念、性质； （2）会由数列的递推关系求通项公式；以及会用等差数列、等比数列的基本运算进行计算； （3）提升数学运算，逻辑推理等核心素养。 二、【学】— 自主演练·独立完成 题号 题目演练区（方框作答） 考点·思路·方法梳理 1 记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25　　B．22　　C．20　　D．15 2 （1）已知等差数列满足，则 （2）设等比数列的前n项和为，若，则（   ） A．2 B． C． D．3 3 （1）设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． （2）在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． 4 已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an(n∈N*). 证明：数列{an+1-an}是等比数列； 三、【议】— 小组讨论·互助释疑 四、【评】— 展示点评·提炼升华 五、【检】— 当堂检测·达标反馈 1.(2025·全国Ⅱ卷，T7)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=6，S5=-5，则S6等于(　　) A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 2.(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________． 3.等差数列中，为其前项的和．若，，则 ． 4.(2024·全国甲卷节选)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3．求{an}的通项公式 . 六、课后作业（分层） （一） 基础巩固（必做） 1.(2025·南京模拟)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-a5=42，则a6等于(　　) A.7 B.6 C.3 D.2 2.（25-26高三上·河北邢台·月考）在等比数列中，，且，则 3.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． （二）、能力提升（选做） 1.(多选)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0，若S3=7，a3=1，则(　　) A.q= B.a5= C.S5=8 D.an+Sn=8 2.(2023·新课标Ⅰ卷，T20)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn=，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和. (1)若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通项公式；(2)若{bn}为等差数列，且S99-T99=99，求d. 年 级： 高三 班 级： 姓 名： 科 目： 数学 制作人： 编 号： 5 专题二：三角函数与解三角形、数列---- 考点5：数列求和 一、【导】— 问题导入·明确目标 1. 导入问题（引出课题） 问题引入：己知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ． 2. 学习目标 （1）理解数列求和的常见方法（分组求和、裂项相消求和、错位相减求和） （2）会用分组求和、裂项相消求和、错位相减求和进行数列求和； （3）提升数学运算，逻辑推理等核心素养。 二、【学】— 自主演练·独立完成 题号 题目演练区（方框作答） 考点·思路·方法梳理 1 记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，是公差为的等差数列. (1)求{an}的通项公式；(2)证明：++…+<2. 2 记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an+4. (1)求{an}的通项公式；(2)设bn=(-1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 三、【议】— 小组讨论·互助释疑 四、【评】— 展示点评·提炼升华 五、【检】— 当堂检测·达标反馈 1.(2025·南通模拟)已知数列{an}满足a1=1，a3=9，且对任意的n≥2，n∈N*，都有an+1+an-1=2(an+1). (1)设bn=an+1-an，求数列{bn}的通项公式； (2)设数列的前n项和为Sn，求证：Sn<. 　2.(2025·沈阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足3Sn+an=1(n∈N*)，数列{bn}满足bn=log2an+10. (1)求出an，bn； (2)求出数列的前n项和Tn. 六、课后作业（分层） （一）、 基础巩固（必做） 1.　已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和. （二）、 能力提升（选做） 数列{an}满足a2=5，an+1=2an-1. (1)证明：数列是等比数列； (2)若bn=，证明：数列{bn}的前n项和Sn<. 3．（2025·全国一卷·高考真题）设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 年 级： 高三 班 级： 姓 名： 科 目： 数学 制作人： 编 号： 专题二：三角函数与解三角形、数列 ----考点6：数列的综合运用 一、【导】— 问题导入·明确目标 1. 导入问题（引出课题） 问题引入：.(2025·南宁模拟)在公差不为0的等差数列{an}中，若a3是ax与ay的等差中项，则+的最小值为　　　　　.  2. 学习目标 （1）掌握等差数列、等比数列的定义及运算； （2）利用数列相关的知识，解决数列与不等式、函数导数、解析几何、概率统计等相关问题. （3）提升数学运算，逻辑推理等核心素养。 二、【学】— 自主演练·独立完成 题号 题目演练区（方框作答） 考点·思路·方法梳理 1 现将一圆形花坛从圆心向外栽种8圈某种花卉，圆心处栽1株(视为第一圈)，第二圈栽3株花卉，从第二圈起，第n圈栽种花卉比第n-1圈多栽种2(n-1)(2≤n≤8，n∈N*)株，则第8圈栽种花卉(　　) A.57株 B.56株 C.55株 D.54株 2 将被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为(　　) A.20 B.25 C. D.40 3 已知数列{an}为等差数列，且公差d≠0，直线l：anx+an+2y+an+5=0(n∈N*)与圆C：(x-1)2+(y+2)2=1交于A，B两点，则∠ACB的最小值为(　　) A. B. C. D. 三、【议】— 小组讨论·互助释疑 四、【评】— 展示点评·提炼升华 五、【检】— 当堂检测·达标反馈 1.(2024·北京，T14)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65 mm，325 mm，325 mm，且斛量器的高为230 mm，则斗量器的高为　　　　mm，升量器的高为　　　　mm.(不计量器的厚度) 2.(2025·上饶模拟)某统计数据共有13个样本xi(i=1，2，3，…，13)，它们依次成公差d=1的等差数列，若这组数据的60%分位数是26，则x13为(　　) A.32 B.31 C.19 D.18 3.(2025·苏州模拟)在平面直角坐标系中，若直线l：3x+4y+n=0与圆C：(x-2)2+y2=(an>0，n∈N*)相切，则数列{an}的前10项和为(　　) A. B. C.23 D.27 六、课后作业（分层） （一） 基础巩固（必做） 1.(2025·昆明模拟)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2025年是乙巳年，请问：在100年后的2125年为(　　) A.癸未年 B.辛丑年 C.乙酉年 D.戊戌年 2.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为(　　) A.44π B.64π C.70π D.80π 3.将函数f(x)=sin(ω>0，x>0)的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列{an}，且a1=，则(　　) A.ω=2 B.f(x)在(1，2)上先单调递增后单调递减 C.a10= D.数列{an}的前n项和为 （二）、 能力提升（选做） 1.在平面直角坐标系中，若直线l：3x+4y+n=0与圆C：(x-2)2+y2=(an>0，n∈N*)相切，则数列{an}的前10项和为(　　) A. B. C.23 D.27 2.(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=x2-nx-1(n∈N*)，xn为函数f(x)的正零点，若an=[xn]([x]表示不超过x的最大整数)，则数列的前10项和S10=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $