三角函数与解三角形专题 第1讲三角函数公式学案-2026届高三数学二轮复习

2026届高三二轮复习 专题二 三角函数 第1讲　 三角函数公式 【基础知识整合】 一． 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：tan α＝. (3)诱导公式：第①大组： , , , , 记忆口诀：函数名不变、符号看象限； 第②大组：， 记忆口诀：函数名改变、符号看象限 二．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin βsin 2α＝2sin αcos α. cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin βcos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan(α±β)＝.tan 2α＝. 三．公式的逆向变换及有关变形：（1）sin αcos α＝sin 2α (2)降幂公式：sin2α＝ ，cos2α＝；（3）1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；sin α±cos α＝sin. 四．辅助角公式：asin＋bcos＝sin(α＋φ)，（其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝.φ的终边所在象限由a、b的符号来确定） 五．在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧 ①α＝(α＋β)－β ②2α＝(α＋β)＋(α－β) ③α＝[(α＋β)＋(α－β)] ④α＋＝(α＋β)－，α＝－. 【典例精析与变式训练】 例1：已知，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（   ） A．: B． C． D． 【答案】AC【详解】选项A：由两角和的正切公式，. 因为锐角，，故，A正确.选项B：由，得. 结合，代入得， 即，解得（为锐角，取正），， B错误. 选项C：由，得. 结合， 得，即，解得，（为锐角，取正）， ，则，C正确. 选项D：由选项BC得，；，. 则，D错误. 故选：AC 【变式训练1】设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD【详解】因为是方程的两根，可得，对于A，由，平方可得，解得，所以，解得，所以A错误；对于B，由， 因为且，所以， 所以，则，所以B正确； 对于C，联立方程组，解得， 所以，所以C错误；对于D，由 ，所以D正确.故选：BD. 例2：、、是锐角三角形的内角，下列结论一定成立的有（   ） A．: B． C． D． 【答案】ABD【详解】因为、、是锐角三角形的内角，则，且， 对于A，因为，所以A正确，对于B，因为，所以B正确，对于C，因为，，则,又在区间上单调递增，所以，故C错误，对于D，因为， 又，，则， 所以，即，故D正确. 【变式训练2】已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD【详解】点的纵坐标为，且． 角的终边落在第三象限，又，（负根舍去）， ，，，，，所以AD正确，BC错误. 例3：已知，则（    ） A．:B． C．D． 【答案】AD【详解】因为，所以，， 又，所以，，故，， 对于A选项，因为，，所以，故A正确； 对于B选项，因为，，所以， 因为，所以，又，所以，，所以，B错误，对于C选项，因为，，故，C错误， 对于D选项，因为，，所以， 又，所以，故D正确， 故选：AD. 【变式训练3】下列各式结果为1的有（    ） A． B．C． D． 【答案】CD【详解】对于A：，所以A错误；对于B：，所以B错误；对于C：，所以C正确； 对于D： ，所以D正确，故选：CD． 【变式训练4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD【详解】因为，所以， 所以，故A正确；因为，所以，又， 所以，，故B正确；因为，， 所以，故C错误； ，故D正确．故选：ABD． 例4：下列对函数的判断中，正确的是（   ） A．的最大值为 B．当，时，的图象可以通过的图象向左平移个单位长度而得到 C．当，时，若，则 D．当，时，若当时，取到最大值，则 【答案】AD【详解】A选项，，其中， 故的最大值为，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，当，时，， 的图象可以通过的图象向右平移个单位长度而得到，B错误； C选项，由B知，，若，则， 即，所以，C 错误；D选项，当，时，， 其中，，若当时，取得最大值，即，，所以，由于，即， 所以，D正确.故选：AD 【变式训练5】函数最大值为 ，设当时，函数取得最大值，则_____. 【答案】/ 【详解】由， 其中，当时，函数取得最大值， 则，即，则，故答案为： 链接高考 真题演练： 1.（2023·全国乙卷·高考真题）若，则________． 【答案】 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______． 【答案】2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 8．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【详解】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 9．（2025·上海·高考真题）已知，则__________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可. 【详解】由可得， 所以， 故答案为： 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三二轮复习 专题二 三角函数 第1讲　 三角函数公式 【基础知识整合】 一． 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝ . (2)商数关系：tan α＝ (3)诱导公式：第①大组： , , , , 记忆口诀： ； 第②大组：， 记忆口诀： 二．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝ sin 2α＝ . cos(α±β)＝ cos 2α＝ ＝ ＝ tan(α±β)＝ .tan 2α＝ 3． 公式的逆向变换及有关变形：（1）sin αcos α＝ (2)降幂公式：sin2α＝ ，cos2α＝ ；（3）1±sin 2α＝ ； 四．辅助角公式：asin＋bcos＝sin(α＋φ)，（其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝.φ的终边所在象限由a、b的符号来确定） 五．在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧 ①α＝(α＋β)－β ②2α＝(α＋β)＋(α－β) ③α＝[(α＋β)＋(α－β)] ④α＋＝(α＋β)－，α＝－. 【典例精析与变式训练】 例1：（多选）已知，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（   ） A．: B． C． D． 【变式训练1】（多选）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 例2：（多选）、、是锐角三角形的内角，下列结论一定成立的有（   ） A．: B． C． D． 【变式训练2】（多选）已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 例3：（多选）已知，则（    ） A．:B． C．D． 【变式训练3】（多选）下列各式结果为1的有（    ） A． B．C． D． 【变式训练4】（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 例4：（多选）下列对函数的判断中，正确的是（   ） A．的最大值为 B．当，时，的图象可以通过的图象向左平移个单位长度而得到 C．当，时，若，则 D．当，时，若当时，取到最大值，则 【变式训练5】函数最大值为 ，设当时，函数取得最大值，则_____. 链接高考 真题演练： 1.（2023·全国乙卷）若，则________． 2．（2024·全国甲卷）函数在上的最大值是______． 3．（2025·全国二卷）已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅰ卷）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·新课标Ⅰ卷）已知，则（    ）． A． B． C． D． 7．（2023·新课标Ⅱ卷）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 8．（2025·北京）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 9．（2025·上海）已知，则__________． 10．（2024·新课标Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 学科网（北京）股份有限公司 $