三角函数与解三角形专题 第2讲 三角函数图象与性质 学案-2026届高三数学二轮复习

2026届高三二轮复习 专题二 三角函数 第2讲 三角函数图象与性质 【基础知识整合】 1. 函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)性质： （1）周期：T＝ （2）最值：最大值为 ，当且仅当 k∈Z 取最大值；最小值为 ，当且仅当 k∈Z 取最大值。 （3）单调性：增区间由 ，k∈Z得；减区间由 ，k∈Z（4）对称性：对称轴由 k∈Z得；对称中心由 k∈Z得 （5）奇偶性：若函数为奇函数则 ；若函数为奇函数则 。 2.y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换：函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象可由函数y＝sin x的图象作如下变换得到： （1）平移变换：y＝sin xy＝sin(x＋φ)，把y＝sin x图象上所有的点向 (φ>0)或向 (φ<0)平行移动 个单位． （2）周期变换：y＝sin (x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标伸长( )或缩短( )到原来的 倍(纵坐标不变)． （3）振幅变换：y＝sin (ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标伸长( )或缩短( )到原来的 倍(横坐标不变)． 3.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤： (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝ ，b＝ . (2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝ . (3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝. 【典例精析与变式训练】 例1：已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．若，则的图象关于点中心对称 B．若曲线的图象向左移动个单位后关于轴对称，则的最小值为2 C．若，则在单调递增 D．若在上恰有三个零点，则 【变式训练1】函数，下列结论正确的有（   ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D．函数的最大值为 例2：已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．将的图象向左平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C．方程在区间有5个不等实根 D．在上单调递增 【变式训练2】函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 C. 的单调递增区间为 D. 若方程在上有且只有6个根，则 例3：已知函数． (1)求的最小正周期及单调区间； (2)当时，求的值域； (3)已知为锐角，且，求的值． 【变式训练3】已知函数． (1)求函数的对称轴方程及对称中心坐标． (2)若，求的最大值和最小值． (3)若是第一象限角，求的值． 【链接高考 真题演练】 1．（2024·上海）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·天津）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·天津）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 5．（2025·全国一卷）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·北京）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 7．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 8．（2024·新课标Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 9．（2025·天津·），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 10．（2023·全国乙卷）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（  ） A． B． C． D． 11．（2023·全国甲卷）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2025·上海）函数在上的值域为_________． 13．（2024·全国甲卷）函数在上的最大值是______． 14．（2023·新课标Ⅱ卷）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．    15．（2025·全国二卷）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 16．（2024·上海）已知， (1)设，求解:的值域; (2)(选做）的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三二轮复习 专题二 三角函数 第2讲 三角函数图象与性质 【基础知识整合】 1. y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换：函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象可由函数y＝sin x的图象作如下变换得到： （1）相位变换：y＝sin xy＝sin(x＋φ)，把y＝sin x图象上所有的点向左(φ>0)或向右(φ<0)平行移动|φ|个单位． （2）周期变换：y＝sin (x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的倍(纵坐标不变)． （3）振幅变换：y＝sin (ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)． 2.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤：(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.(2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝. 3. 函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)性质： （1）周期：T＝ （2）最值：最大值为A，当且仅当ωx＋φ=2kπ＋ k∈Z 取最大值； 最小值为－A，当且仅当ωx＋φ=2kπ＋ k∈Z 取最大值。 （3）单调性：增区间由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得；增区间由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得 （4）对称性：对称轴由ωx＋φ=kπ＋ k∈Z得；对称中心由（ωx＋φ=kπ ，0）k∈Z得 （5）奇偶性：若函数为奇函数则若函数为奇函数则 【典例精析与变式训练】 例1：已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．若，则的图象关于点中心对称 B．若曲线的图象向左移动个单位后关于轴对称，则的最小值为2 C．若，则在单调递增 D．若在上恰有三个零点，则 【详解】对于A,，令， 当，对称中心为,A选项正确． 对于B，将的图象向左移动个单位得到， 若的图像关于轴对称，则． 又因为，则的最小值为B选项正确． 对于C．， 令，， 即的单调递增区间为， 当时，，又因为C选项错误． 对于D．，因为在上恰有三个零点， 所以D选项正确． 【变式训练1】函数，下列结论正确的有（   ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D．函数的最大值为 【答案】AD 【分析】根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，画出函数图象或整体思想分析可判断选项A，B；方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题可判断选项C；利用同角三角函数的关系化简函数解析式可判断选项D． 【详解】， 对于A，由，得，而在上单调递增，故函数在上单调递增，A正确； 对于B，，故函数的图象不关于直线对称，B错误； 对于C，由，可得，由，得， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且当，即时，，当，即时， 当，即时，， 要使方程在上有两个不相等的实数根， ，故，C错误； 对于D，因 ， 因，则当时，取得最大值，故D正确. 例2：已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．将的图象向左平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C．方程在区间有5个不等实根 D．在上单调递增 【详解】由图可知，，所以函数，又， 所以，所以，所以函数， 因为，所以函数的图象不关于直线对称，故A错误；将的图象向左平移个单位长度得到的函数为， 该函数图象不关于原点对称，故B错误； 方程，则或， 即或，所以当时有，所以方程在区间有5个不等实根，故C正确； 令， 所以函数的单调递增区间为， 则函数在上单调递增，所以在上单调递增，故D正确. 故选：CD 【变式训练2】函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 C. 的单调递增区间为 D. 若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据函数图象即得代入两点坐标，求得的值，即得函数解析式，再根据各选项的要求逐一分析，计算，结合正弦函数的图象性质即可判断. 【详解】由图可知，且经过，故可得， 由①，结合，则得，代入②，化简得，即， 由图知，原函数的最小正周期满足，解得，故，即. 对于A，当时，因，故直线是的一条对称轴，故A正确； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，故B错误； 对于C，因， 由，可得， 即的单调递增区间为，故C正确； 对于D，由可得，设，因，则， 依题意函数与在上必有6个交点，作出函数的图象如下： 由图知，需使，解得，故D正确. 故选：ACD. 例3：已知函数． (1)求的最小正周期及单调区间； (2)当时，求的值域； (3)已知为锐角，且，求的值． 【详解】（1），令， 所以的单调递增区间为，； 由得 所以的单调递减区间为； （2）当时，所以， 所以，所以的值域为； （3）因为，设， 则， 由于，故，所以， 所以，， 故. 【变式训练3】已知函数． (1)求函数的对称轴方程及对称中心坐标． (2)若，求的最大值和最小值． (3)若是第一象限角，求的值． 【详解】（1） 由得，的对称轴方程为；再由得，的对称轴中心为 （2），， 当，即时，； 当，即时，． （3）是第一象限角， 即 ， 【链接高考 真题演练】 1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 . 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 2．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式. 【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 3．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 4．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 5．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 6．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 7．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 9．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 10．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 11．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 12．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为_________． 【答案】 【分析】利用余弦函数的单调性可得. 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 13．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______． 【答案】2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 14．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．    【答案】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 15．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 16．（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可. （2）利用三角函数的性质求解参数即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， （2）由题意得，所以，可得， 当时，，，即，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以， 即，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $