精品解析：广东中山市2026届高三模拟测试（二）数学试卷

2026届高三模拟测试（二） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据对数函数的定义域求出集合，然后根据交集的定义求出结果. 【详解】要使有意义，则，， 即，则. 故选：D 2. 若复数，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】因为, 所以， 故选：B. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标表示计算可得结果. 【详解】若，则， 因此可得，解得. 故选：D 4. 已知函数且 ，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质计算即得. 【详解】由题意知 ， 所以，即得 解得. 故选：C. 5. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 48个 B. 52个 C. 60个 D. 120个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理，分类讨论，求出结果. 【详解】由题意可知，分为两种情况： 情况一：个位是0，则有不同的结果个； 情况二：个位不是0，则有不同结果个； 所以共有个； 故选：B. 6. 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题中条件，结合椭圆的特征，得到，根据，即可求出结果. 【详解】由椭圆的特征可知，椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为，即． ， ．. 故选D． 【点睛】本题主要考查椭圆的长轴，熟记椭圆的性质即可，属于常考题型. 7. 抽样得一组数据如下表，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，的估计值为（ ） 2 4 5 6 8 20 45 60 75 80 A. 100 B. 106 C. 110 D. 116 【答案】B 【解析】 【分析】线性回归直线方程过样本中心点，求出，即可得回归直线方程，当时，求出即可. 【详解】由题可知，，， 代入回归直线方程，则， 当时，. 8. 设，为异面直线，为平面，已知，，，动点.若到直线，的距离相等，则的轨迹为（ ） A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【详解】如图： 不妨设在平面内投影为，则， 设直线与平面的距离为， 则在平面内，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，设 则到的距离为，到的距离为， 所以到直线的距离为， 所以，即，故轨迹为双曲线． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l与平面相交于点P，则（ ） A. 内不存在直线与l平行 B. 内有无数条直线与l垂直 C. 内所有直线与l是异面直线 D. 至少存在一个过l且与垂直的平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线线，线面的位置关系逐项分析即得. 【详解】已知直线与平面相交于点，若α内存在直线n与l平行，则直线n与l确定一个平面， 由，，且，，则与重合， 有，与矛盾，故选项A正确.  设直线在平面内的射影为PO，根据三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.所以平面内与射影PO垂直的直线，与直线垂直. 又因为在平面内与直线平行的直线都与直线垂直，而在平面内与一条直线平行的直线有无数条，所以平面内有无数条直线与垂直，故选项B正确.  在平面内过点的直线，因为直线与直线都过点，根据相交直线的定义：两条直线有且只有一个公共点，则这两条直线相交，所以直线与直线相交，并非异面直线，故选项C错误.  如图，取直线上除斜足外一点，过该点作平面的垂线. 因为，且平面，平面，根据平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，所以平面垂直于平面，即至少存在一个过且与垂直的平面，故选项D正确.  故选：ABD. 10. 已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】应用对立事件概率求法、全概率及条件概率公式判断A、B、D；由概率的性质判断C. 【详解】由题设，且， ， ， 所以A、C对，B、D错. 故选：AC 11. 已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过条件推导函数的性质，逐个分析选项即可. 【详解】由关于对称，得， 已知​，将第二个式子换元，代入化简得， 因为，则，将用替换，可得， 将用替换，得， 即，故周期为. 又因为，则，即是偶函数. 由和，得， 且，故是偶函数. 选项A，，，由， 得，A正确； 选项B，对任意，，故，B正确； 选项C，推导得，是偶函数不是奇函数，C错误； 选项D，求和分组方式为为一组，为下一组，以此类推，直至，每组和为，共组，总和为，即，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是奇函数，则实数_______________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，即对于定义域内的任意数，都有，根据这个定义列出等式，然后通过化简等式来求解实数的值. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 即，由于分母，化简得， 解得， 故答案为：. 13. 已知角终边经过点，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角函数的定义和正切的二倍角公式求解即可. 【详解】因为的终边经过点，所以， 所以，解得或， 又，所以，， 所以，， 故答案为：2 14. 已知抛物线：，按如下方法依次构造点列：设点，过抛物线上点作斜率为4的直线与抛物线交于另一点，为关于轴的对称点.记的坐标为，数列的前项和为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设：，通过对称性确定，由在直线上，和，在抛物线上，确定数列是等差数列，再结合裂项相消法即可求解. 【详解】 设直线：， 因为与关于轴对称，所以 由在直线上得:， 又点，在抛物线上， 所以 得（常数），所以数列是等差数列. 又， 所以， 所以， 所以， 故 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求的极小值； （2）讨论导函数的单调性． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增． 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值； （2）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再令，求出，再由的正负可求出的单调区间. 【小问1详解】 当时，，的定义域为， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值． 【小问2详解】 的定义域为， ， 令，则， 当时，恒成立，所以即在上单调递增． 当时，由，得，由，得， 所以即在上单调递减，在上单调递增. 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求证：； （2）若，的面积为，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦公式证明即可； （2）利用同角三角函数的基本关系，三角形面积公式等建立方程，求出. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，即； 【小问2详解】 因为，， 所以，，，， 所以， 又，所以， 又，所以， 所以，. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）. （1）证明：平面； （2）求异面直线与的夹角； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，先求坐标，运用向量数量积求解夹角；（3）转换三棱锥的顶点，计算出底面积和高即可求解体积. 【小问1详解】 由底面，底面，得； 又，， 故，，因此平面. 平面，故. 在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得，即. 又，平面，因此平面，得证. 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系， 由题意得各点坐标. 由（1）可知，所以. 因为所以为的中点，得. ， 则，， 所以，解得，即. 得，. ， 故，因此异面直线与的夹角为. 【小问3详解】 由（2）可知，， 设平面的法向量为，则，​ 化简得 令，得，因此平面的一个法向量为. ，点到平面的距离，​ 又，，​， . 故， 三棱锥体积. 18. 已知双曲线：的离心率为，左右焦点分别为，，，为双曲线左支上的两点，直线交轴于点. （1）求双曲线的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设线段的中点为，直线交轴于点，点为关于原点的对称点，以为圆心作与轴相切的圆，过作该圆的两条切线，切点分别为，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）​或. （3） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的离心率和求解方程； （2）根据向量关系得到点的坐标即可求解直线方程； （3）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理整理出，再换元利用二次函数性质得到的范围即可求解. 【小问1详解】 由双曲线，得，即. 已知离心率​​，得. 由双曲线关系，得. 因此双曲线的方程为. 【小问2详解】 由得，设，. 向量，， 由​​得，解得​​， 代入双曲线方程得​​，或， 故直线的斜率， 所以直线PQ方程为​或. 【小问3详解】 设直线，，则，圆与轴相切，故半径. 联立直线与双曲线方程，整理得， 由在左支，得，设，中点， 由韦达定理得， 则，即. 故，，， 设，由切线性质， 令，代入得，由，所以， 设，代入上式得， 可知二次函数在内单调递增，所以， 因此， 由切线性质可知是直角三角形，所以是锐角，即. 则​​，即的取值范围. 19. 袋中共装有个小球，分别标有编号1，2，3，…，.现采用“先试验后锁定”的策略进行次操作：前次（试验期）每次从袋中无放回地随机摸一个球，并记录摸到球的编号；之后的次（锁定期）操作，不再继续摸球，而是每次都记录试验期摸到球的最大编号.记为这次操作中记录的全部编号之和，为的数学期望. （1）当，，时，求在试验期至少摸到一个编号不小于8的球的概率； （2）若，，…，是定义在同一个随机试验样本空间上的任意个离散型随机变量，则.基于此，求解下列问题： ①求试验期所摸小球编号之和的数学期望； ②当时，求的最大值以及此时的值. 【答案】（1）； （2）①；②的最大值为，此时. 【解析】 【分析】（1）根据正难则反的原则和古典概型计算公式即可得到答案； （2）①方法一：求出，再求和即可；方法二：利用组合公式计算即可； ②求出，最后利用基本不等式即可得到答案. 【小问1详解】 设事件＂试验期至少摸到一个编号不小于8的球＂， 则. 【小问2详解】 ①方法1：设试验期第次摸到的球的编号为，记这个编号的和为， 则， 先求第次摸到的球的编号为的数学期望， 的所有可能的取值为：， 根据无放回随机抽样的特点，， 所以， 所以， 方法2：从1，2，中选个数共有种组合， 考虑所有元子集，它们的和的平均值即为试验期所摸小球编号之和的数学期望， 对每个数，它在所有元子集中出现的次数为， 所有元子集的总和为， 所以所求期望为：. ②记前次（试验期）记录的编号之和为，编号最大的数即为，则， 所有可能的取值为：， 则， 所以， 因为， 所以， 所以， 当时， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三模拟测试（二） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 已知函数且 ，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 5. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 48个 B. 52个 C. 60个 D. 120个 6. 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为（　　） A. B. C. 2 D. 7. 抽样得一组数据如下表，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，的估计值为（ ） 2 4 5 6 8 20 45 60 75 80 A. 100 B. 106 C. 110 D. 116 8. 设，为异面直线，为平面，已知，，，动点.若到直线，的距离相等，则的轨迹为（ ） A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l与平面相交于点P，则（ ） A. 内不存在直线与l平行 B. 内有无数条直线与l垂直 C. 内所有直线与l是异面直线 D. 至少存在一个过l且与垂直的平面 10. 已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是奇函数，则实数_______________. 13. 已知角终边经过点，则__________． 14. 已知抛物线：，按如下方法依次构造点列：设点，过抛物线上点作斜率为4的直线与抛物线交于另一点，为关于轴的对称点.记的坐标为，数列的前项和为，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求的极小值； （2）讨论导函数的单调性． 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求证：； （2）若，的面积为，求. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）. （1）证明：平面； （2）求异面直线与的夹角； （3）求三棱锥的体积. 18. 已知双曲线：的离心率为，左右焦点分别为，，，为双曲线左支上的两点，直线交轴于点. （1）求双曲线的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设线段的中点为，直线交轴于点，点为关于原点的对称点，以为圆心作与轴相切的圆，过作该圆的两条切线，切点分别为，，求的取值范围. 19. 袋中共装有个小球，分别标有编号1，2，3，…，.现采用“先试验后锁定”的策略进行次操作：前次（试验期）每次从袋中无放回地随机摸一个球，并记录摸到球的编号；之后的次（锁定期）操作，不再继续摸球，而是每次都记录试验期摸到球的最大编号.记为这次操作中记录的全部编号之和，为的数学期望. （1）当，，时，求在试验期至少摸到一个编号不小于8的球的概率； （2）若，，…，是定义在同一个随机试验样本空间上的任意个离散型随机变量，则.基于此，求解下列问题： ①求试验期所摸小球编号之和的数学期望； ②当时，求的最大值以及此时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $