精品解析：2026年北京市海淀区九年级一模数学试卷

海淀区九年级第二学期期中练习 数学 考生须知： 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题：（共16分，每题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数轴可得，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴， A．，即A选项错误； B．由，则，即B选项错误； C．由 ，则，即C选项正确； D．由，则，即D选项错误． 3. 一个多边形的每一个外角的度数是，则这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和、外角的个数与多边形的边数之间的关系是解题关键． 根据多边形的外角和是和这个多边形的每一个外角都等于，即可求得外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于， ∴这个多边形的外角的个数为， ∴这个多边形的边数是8 故选：D． 4. 不透明的盒子中一共有四个小球，分别写着数字， ，， ，这些小球除数字外无其他差别．小明从盒子中随机摸出一个小球，摸出的小球是写着数字“”的小球的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定所有可能的结果总数，以及符合要求的结果数，再代入概率公式计算即可． 【详解】解：盒子中共有 个小球，其中写着数字“”的小球共个， 则随机摸出一个小球，摸出的小球是写着数字“”的小球的概率是． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出不等式即可求出k的范围． 一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得： ． 【方法指导】一元二次方程根的个数与判别式的关系为： ，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根． 6. 某云存储平台为用户提供云端照片存储服务．该平台某日登录的用户数量约为人，若当日平均每位用户上传350张高清照片，则该平台当日总共收到用户上传高清照片的张数约为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 7. 如图，已知线段 ，分别以点A，B为圆心， 长为半径画弧，两弧在 上方交于点C，在 下方交于点D，连接 交 于点O．以点O为圆心，长为半径画弧，交线段 于点M，连接 ， ，则 的大小为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接 ，由题意可得 ， ，，则 为等边三角形， 为等腰直角三角形，进而可得 ， ，即可得出结果． 【详解】解：如图：连接 ， 由题意可得： ， ，， ∴ 为等边三角形， 为等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴． 8. 如图，在平面直角坐标系 中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点 ，抛物线和在点之间的部分分别记为，．分别是，上的两个动点（均不与重合）．给出下面四个结论： ①当 轴时，长的最大值为； ②若点在 轴上，则在第一象限内存在点 ，使四边形的面积等于的面积； ③ 可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，圆与函数的综合，等边三角形的性质与判定；当与 轴重合时，的长取最大值，计算此时的的长即可判断①；，即可判断②；以 为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得 是等边三角形，即可判断③；设，表示出在上，利用建立方程，求出，最后根据 的取值范围，即可判断④． 【详解】解：①当与 轴重合时，的长取最大值， ∵将代入，得，解得：， ∴， ∴， ∴当与 轴重合时，，， ∴当与 轴重合时，即为最大值， ∴①正确； ②如图1所示，对于 轴上的任意一点， ∵轴， ∴， ∵四边形的名称为， ∴点 在第一象限的抛物线上， 抛物线在第一象限曲线上的任意一点 ，都可以画出 , 显然， ∴②错误； ③如图2所示，以 为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得 是等边三角形， ∴③正确； ④点分别是，上的点，设， ∵、，、在点 、点 之间，均不与重合， ∴， ∵为中点， ∴在上， ∴，即， （负值舍去）或， ∵， ∴， ∵，这与是矛盾的， ∴不存在以为中点的线段， ∴④错误； 综上：①③正确，选A． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即 ，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则 ， 解得 . 故答案为： . 10. 分解因式：=_________________________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：原式==，故答案为． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解后检验得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：, 将系数化为得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 12. 有研究表明，中学生通过肌肉锻炼可有效强健骨骼、促进骨骼健康发育，每周肌肉锻炼时长不少于可达到骨骼健康受益标准．某中学共有3000名学生，为了解该校学生肌肉锻炼时长是否达到骨骼健康受益标准，在该校随机抽取100名学生，获得他们每周肌肉锻炼时长的数据，整理如下： 每周肌肉锻炼时长 人数 2 8 69 21 根据以上信息，估计该校达到骨骼健康受益标准的学生约有______人． 【答案】2700 【解析】 【分析】根据总人数乘以达到骨骼健康受益标准的学生的百分比即可得解． 【详解】解：该校达到骨骼健康受益标准的学生约有人． 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数 ， 的值为______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】掌握举反例判断假命题的方法是解题关键，只需找到满足 ，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当， 时，满足条件 ， 此时，， 可得， 不满足， 可以说明该命题是假命题． 14. 如图， 为 的直径，点A为的中点．若，则的大小为______°． 【答案】25 【解析】 【分析】由圆周角定理可得 ，由点A为的中点结合已知条件可得，再根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵ 为 的直径， ∴ ， ∵，点A为的中点， ∴， ∴． 15. 如图，在矩形 中，， ．点E在 的延长线上，连接，交 于点F．若的面积为15，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质可得 ，， ，，结合的面积为15，得出，求出，再证明，求出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形 为矩形， ∴ ，， ，， ∵的面积为15， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 16. 陈老师计划带父母一起去理发店理发，并提前预约了一位理发师为他们服务．根据三人的不同需求，理发师需按相应流程完成A，B，C，D，R五种工序，其中A，B，C，D为人工工序，R为静置工序．他们一家三口所需的理发工序流程如下表： 顾客 爸爸 妈妈 陈老师 所需工序流程 D C→R→D A→R→B→R→D 各工序完成的要求如下： ①人工工序，必须由理发师操作才能完成，且这位理发师同一时间只能服务一位顾客，各工序所需时间如下表： 工序 A B C D 所需时间/min 10 20 25 20 ②静置工序，不需要理发师操作，顾客只需静置等待，时长不少于即可．在此期间这位理发师可去服务其他顾客， （1）若只有爸爸和妈妈理发，则这位理发师最短需要______min可以完成为他们俩的服务； （2）若他们一家三口都理发，则这位理发师最短需要______min可以完成为他们三人的服务． 【答案】 ①. 75 ②. 【解析】 【分析】（1）（2）工序同一时间只能进行一项，静置工序，不需要理发师操作，合理安排工序顺序，利用静置等待时间完成其他人工工序，计算不同顺序的总时间，选取最短总时间即可． 【详解】解：（1）仅爸爸和妈妈理发，分两种情况讨论： 情况1：先完成妈妈的工序 ，耗时，结束后妈妈开始静置工序 ， 结束最早为； 在妈妈静置期间，理发师完成爸爸的人工工序，耗时，结束时间为； 理发师等待至，完成妈妈的工序，耗时，总时间为． 情况2：先完成爸爸的工序，耗时，再完成妈妈的工序 ，耗时，结束后妈妈开始静置 ， 结束最早为，再完成妈妈的工序，总时间为． 因为，所以最短时间为． （2）一家三口理发，最优工序安排如下（按理发师操作顺序）： ①：完成陈老师的工序 ，耗时，结束后陈老师开始第一次静置 ，第一次 结束最早为． ②：完成妈妈的工序 ，耗时，结束后妈妈开始静置 ，妈妈 结束最早为． ③：完成陈老师的工序 ，耗时，结束后陈老师开始第二次静置 ，第二次 结束最早为． ④：完成爸爸的工序，耗时，爸爸理发完成． 此时，妈妈静置已满足要求，可以进行下一步工序． ⑤：完成妈妈的工序，耗时，妈妈理发完成． 此时，陈老师静置已满足要求，可以进行下一步工序． ⑥：完成陈老师的工序，耗时，陈老师理发完成． 总时间为，该安排为最优安排，故最短时间为． 三、解答题（共68分，第17～19题每题5分，第20～21题每题6分，第22～23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每题7分．）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 5 【解析】 【分析】本题考查含特殊角三角函数的实数混合运算，解题关键是掌握二次根式化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算、绝对值化简的规则，先对每一项分别化简，再合并计算即可. 【详解】解：原式. 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为： ． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先化简分式，再由已知条件恒等变形得到，整体代入化简结果即可． 【详解】解： ， 由可得， 原式． 20. 如图，在 中，， ，分别为 ， 的中点，点 ，在射线上， ． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）若 ，， ，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据 证明即可； （2）过点 作 于 ，利用勾股定理及平行四边形的性质、矩形的性质及判定得出 的值，进而求出 的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ，， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴， 过点 作 于 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ . 21. “骐骥驰骋纹”是将“骐、骥、驰、骋”四个马字旁汉字的笔意，与中国传统云纹、雷纹、回纹融合，勾勒出“四马齐驱、拾级而上”的视觉意象，寓意开拓进取、生生不息． 小明想自己绘制一个“骐骥驰骋纹”图案．为此，他先绘制出一个横距为 ，纵距为 的“小马”图案（如图1），然后将图1中的“小马”图案以相同的方式连续平移三次，得到了一个由 匹“小马”组成的“骐骥驰骋纹”图案（如图2）． 已知小明每次平移图案时，先水平向右平移，再竖直向上平移，并且水平方向平移距离是竖直方向平移距离的倍．若图2中“骐骥驰骋纹”图案的横距是纵距的倍，求小明每次平移图案时竖直方向的平移距离． 【答案】 【解析】 【分析】设竖直平移距离为，则水平平移距离为，再根据平移次后的总横距与总纵距的倍数关系列方程求解． 【详解】解：设小明每次平移图案时，竖直方向的平移距离为，则水平方向的平移距离为， 根据题意，可得， 解得 ， 故小明每次平移图案时，竖直方向的平移距离为． 22. 在平面直角坐标系 中，函数的图象经过点和． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值又小于 ，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得函数，由题意可得当时，，且，分别求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点和， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得函数， 由题意可得：当时，，且， 对，整理得， 当，即时，，需，解得， 当时，不等式恒成立，即； 当，即时，，不满足题意， 综合可得； 对，整理得， 当时，，需，解得， 当时，，不满足题意， 综合可得 ； 综上所述，． 23. 某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： b．学生对课程丙的满意度评分：7，8，6，4，5，9，x，6，10，9 c．三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 7 乙 m 丙 根据以上信息，回答下列问题： （1）课程甲的满意度评分的众数为______； （2）表中m的值为______，信息b中x的值为______； （3）考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数，平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分别相等，则中位数较大者学生更加满意．按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是______，最低的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】（1）8 （2），9 （3）丙，乙 【解析】 【分析】（1）根据出现次数最多的数据是众数即可得解； （2）先把数据从小到大排序，中间两个数据的平均数即为中位数，根据平均数的定义列方程即可求出x； （3）将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，先比较平均数，丙的平均数最大，即可判断满意度最高的课程，再比较甲乙的平均数与方差，即可得解； 【小问1详解】 解：由折线统计图可知：课程甲的满意度评分中8分出现次数最多，众数为8； 【小问2详解】 解：学生对课程乙的满意度评分从小到大排序为：5，5，6，6，7，8，8，9，9，10， 中位数为， 学生对课程丙的满意度评分的平均数为 ， ， 解得： ； 【小问3详解】 解：对于甲课程：，， 甲课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是3， 则甲课程剩余数据从小到大排序为4，6，6，6，8，8，8，8，9， 中位数为8，平均数为； 方差为； 对于乙课程：，， 乙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是10， 则乙课程剩余数据从小到大排序为5，5，6，6，7，8，8，9，9， 中位数为7，平均数为； 方差为； 对于丙课程：，， 丙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是4， 则丙课程剩余数据从小到大排序为5，6，6，7，8，9，9，9，10， 中位数为8，平均数为 ， 方差为， 因为丙的平均数大于甲，乙的平均数，所以这三门课程中满意度最高的是丙； 因为甲、乙的平均数都是7，方差都是，但甲的中位数8高于乙的中位数7，所以这三门课程中满意度最低的是乙． 24. 如图，以线段 为直径作半圆，圆心为点O，C是半圆外一点， ，D为半圆上异于A的一点，且 ． （1）求证： 是半圆O的切线； （2）取 中点H，连接，并延长交于点E，连接，交 于点F．若， ，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴ ， 如图，连接 、， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∵ 为半圆O的半径， ∴ 是半圆O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得 ，连接 、，证明，得出 ，即可得证； （2）连接 ，由（1）可得，则，证明 ，得出，求出，，，再解直角三角形得出， ，从而可得，求出，证明 ，由相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接 ， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，， ∵ 为 的中点，， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∵ 为半圆的直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了证明直线是圆的切线，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 25. 竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 0 1.2 2.4 m 4.8 6.0 7.2 … 0 0.8 2.0 3.8 6.2 9.0 12.0 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系，其中与t的关系可以近似用正比例函数刻画． （1）表中m的值为______（结果保留小数点后一位）； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出与t，与t的函数图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编各编织一个面积为的产品，若它们同时开始编织，则它们完成产品所用的时间相差______； ②该工厂接到一批补购订单，需要平编产品200件，绞编产品100件，且每件产品的面积都为．开始时机器人A编织平编产品，机器人B编织绞编产品，工作一段时间后，机器人B出现故障无法工作．机器人A完成所有平编产品后，调整为绞编程序，接着机器人B的进度完成剩余的绞编产品．当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为．若生产两件产品之间的时间间隔忽略不计，则机器人B出现故障前大约工作了______（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1） （2） 与t，与t的函数图象如图所示： （3）① ；② 【解析】 【分析】（1）先求出与t的关系式为，再求出当时的值，即可得解； （2）描点、连线即可画出函数图象； （3）①先求出与 的关系式为，当时，，解得；当 时，，解得，由此即可得出结果； ②先求出机器人B编织的总面积，再结合表格计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵与t的关系可以近似用正比例函数刻画， ∴设， 将代入解析式可得， 解得：， ∴与t的关系式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①观察图象可得与 满足二次函数关系，设， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴与 的关系式为， 当时，， 解得：； 当 时，， 解得：（负值不符合题意，舍去）或， ∴它们完成产品所用的时间相差； ②由题意可得：平编产品总面积为， 绞编产品总面积为， ∵当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为， ∴机器人B编织的总面积为， ， 即机器人B编织了45件，又编制了， 根据图象可得：机器人B编织需要的时间约为，编制需要，即机器人B编织1件产品需要， 故机器人B出现故障前大约工作了． 26. 在平面直角坐标系 中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，记点M与点N之间的距离为m，当M与N重合时， ． ①若 ，求t的值； ②若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2）①或 ；② 【解析】 【分析】（1）待定系数求解； （2）①联立解析式求解； ②表示出 的表达式，然后分情况讨论，利用二次函数的性质确定最值． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点O， ∴； 将代入得， ， ∴； 【小问2详解】 解：①根据题意得，联立， 整理得 ， 解得或， 即或 ； ②由①可得直线和抛物线的交点横坐标分别为或， ， 当时， 随 的增大而减小， ∴当 时， 取最大值，此时， ∴， ∴； 当时，， ∴当时， 取最大值，此时， ∴， ∴； 又∵， ∴． 27. 在 中，，．D为 的延长线上一点，连接 ，将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段，连接 ． （1）如图1，，点E在直线 上，求证： ； （2）如图2，用等式表示线段 ， 和 的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段，连接 ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，即 ． （2） 解：，证明如下： ∵在 中，，， ∴， 如图2：将绕点A顺时针旋转 得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2：连接，过A作于G， 在 中， ，， 在中， ， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）先说明，由旋转的定义可得，易得，进而得到，即；再说明 ，，利用含30度直角三角形的性质求解即可； （2）利用三角形外角的性质可得，如图2：将绕点A顺时针旋转 得到，则，，进而得到、，再利用勾股定理以及解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系 中，对于图形G、图形R和直线l，给出如下定义：若图形G上存在点T（T在直线l外），使得图形R上至少有个点到直线l的距离与点T到直线l的距离相等，则称图形R为图形G关于直线l的“ 等距”图形． （1）已知点，，，． ①当 时，在线段，，中，线段______为点A关于y轴的“ 等距”图形，其中k的值为______； ②若线段为线段关于y轴的“等距”图形，则t的取值范围是______； （2）已知直线，的圆心为，半径为1．若存在实数s以及的弦，使得任意以点为中心且边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）①，1；② （2） 【解析】 【分析】（1）①先求出点A到y轴的距离为2，再根据“ 等距”图形的定义即可求解；②设线段上的点到y轴的距离为，当时，线段有2个点满足；当或时，线段有1个点满足；再结合线段为线段关于y轴的“等距”图形，即可求出t的取值范围； （2）由边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形，得出这个等边三角形的中心点必然经过直线，即，且，再根据任意的弦，上都存在点 ，到直线l的距离的最大值也要为，可找到的临界状态，求出临界状态的 的值，即可求出 的取值范围． 【小问1详解】 解：①当 时，则点，如图所示： ∴点A到y轴的距离为2， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为1， ∴线段不是点A关于y轴的“ 等距”图形， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为1， ∴线段不是点A关于y轴的“ 等距”图形， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为3， ∴线段是点A关于y轴的“ 等距”图形， 设线段的解析式为， 则，解得， ∴线段的解析式为， 当时，， ∴线段上有1个点到y轴的距离为2， ∴k的值为1． ②∵，， ∴同理①的方法可得，线段的解析式为， 设线段上的点到y轴的距离为，如图所示： 当时，线段有2个点满足， 当或时，线段有1个点满足， 又∵线段为线段关于y轴的“等距”图形， ∴线段存在点T，使得点T到y轴的距离不大于， 又∵在y轴的右侧，且到y轴的距离为3， ∴点在直线上或直线的左侧，如图所示： ∴t的取值范围为． 【小问2详解】 解：∵边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形， ∴等边上存在3个点到直线的距离等于某个具体数值， ∵是以点为中心的任意一个等边三角形，且均存在3个点到直线的距离等于，如图所示： ∴这个等边三角形的中心点必然经过直线，即，且， ∴任意的弦，上都存在点 ，到直线l的距离的最大值也要为， 如图所示，点在直线上，作直线，，且， 作与直线 相切于点， 若上存在一点 到直线的距离达到，则与直线 有交点即可， ∵直线， ∴， ∴、是等腰直角三角形， ∵的半径为1， ∴， ∴，， ∴， 同理，当点 在直线的下方时，，， ∴， ∵点 在第四象限， ∴点，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海淀区九年级第二学期期中练习 数学 考生须知： 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题：（共16分，每题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 一个多边形的每一个外角的度数是，则这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 不透明的盒子中一共有四个小球，分别写着数字， ，，，这些小球除数字外无其他差别．小明从盒子中随机摸出一个小球，摸出的小球是写着数字“”的小球的概率是（ ）． A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某云存储平台为用户提供云端照片存储服务．该平台某日登录的用户数量约为人，若当日平均每位用户上传350张高清照片，则该平台当日总共收到用户上传高清照片的张数约为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，已知线段 ，分别以点A，B为圆心， 长为半径画弧，两弧在 上方交于点C，在 下方交于点D，连接 交 于点O．以点O为圆心，长为半径画弧，交线段 于点M，连接， ，则 的大小为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系 中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点，抛物线和在点之间的部分分别记为，．分别是，上的两个动点（均不与重合）．给出下面四个结论： ①当 轴时，长的最大值为； ②若点在 轴上，则在第一象限内存在点 ，使四边形的面积等于的面积； ③ 可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 10. 分解因式：=_________________________． 11. 方程的解为______． 12. 有研究表明，中学生通过肌肉锻炼可有效强健骨骼、促进骨骼健康发育，每周肌肉锻炼时长不少于可达到骨骼健康受益标准．某中学共有3000名学生，为了解该校学生肌肉锻炼时长是否达到骨骼健康受益标准，在该校随机抽取100名学生，获得他们每周肌肉锻炼时长的数据，整理如下： 每周肌肉锻炼时长 人数 2 8 69 21 根据以上信息，估计该校达到骨骼健康受益标准的学生约有______人． 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数 ， 的值为______，______． 14. 如图， 为 的直径，点A为的中点．若，则的大小为______°． 15. 如图，在矩形 中，， ．点E在的延长线上，连接，交 于点F．若的面积为15，则的面积为______． 16. 陈老师计划带父母一起去理发店理发，并提前预约了一位理发师为他们服务．根据三人的不同需求，理发师需按相应流程完成A，B，C，D，R五种工序，其中A，B，C，D为人工工序，R为静置工序．他们一家三口所需的理发工序流程如下表： 顾客 爸爸 妈妈 陈老师 所需工序流程 D C→R→D A→R→B→R→D 各工序完成的要求如下： ①人工工序，必须由理发师操作才能完成，且这位理发师同一时间只能服务一位顾客，各工序所需时间如下表： 工序 A B C D 所需时间/min 10 20 25 20 ②静置工序，不需要理发师操作，顾客只需静置等待，时长不少于即可．在此期间这位理发师可去服务其他顾客， （1）若只有爸爸和妈妈理发，则这位理发师最短需要______min可以完成为他们俩的服务； （2）若他们一家三口都理发，则这位理发师最短需要______min可以完成为他们三人的服务． 三、解答题（共68分，第17～19题每题5分，第20～21题每题6分，第22～23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每题7分．）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在 中，， ，分别为 ，的中点，点，在射线上， ． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）若 ，， ，求 的长． 21. “骐骥驰骋纹”是将“骐、骥、驰、骋”四个马字旁汉字的笔意，与中国传统云纹、雷纹、回纹融合，勾勒出“四马齐驱、拾级而上”的视觉意象，寓意开拓进取、生生不息． 小明想自己绘制一个“骐骥驰骋纹”图案．为此，他先绘制出一个横距为 ，纵距为 的“小马”图案（如图1），然后将图1中的“小马”图案以相同的方式连续平移三次，得到了一个由 匹“小马”组成的“骐骥驰骋纹”图案（如图2）． 已知小明每次平移图案时，先水平向右平移，再竖直向上平移，并且水平方向平移距离是竖直方向平移距离的倍．若图2中“骐骥驰骋纹”图案的横距是纵距的倍，求小明每次平移图案时竖直方向的平移距离． 22. 在平面直角坐标系 中，函数的图象经过点和． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值又小于 ，直接写出m的取值范围． 23. 某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： b．学生对课程丙的满意度评分：7，8，6，4，5，9，x，6，10，9 c．三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 7 乙 m 丙 根据以上信息，回答下列问题： （1）课程甲的满意度评分的众数为______； （2）表中m的值为______，信息b中x的值为______； （3）考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数，平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分别相等，则中位数较大者学生更加满意．按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是______，最低的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 24. 如图，以线段 为直径作半圆，圆心为点O，C是半圆外一点， ，D为半圆上异于A的一点，且 ． （1）求证： 是半圆O的切线； （2）取 中点H，连接，并延长交于点E，连接，交 于点F．若， ，求 的长． 25. 竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 0 1.2 2.4 m 4.8 6.0 7.2 … 0 0.8 2.0 3.8 6.2 9.0 12.0 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系，其中与t的关系可以近似用正比例函数刻画． （1）表中m的值为______（结果保留小数点后一位）； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出与t，与t的函数图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编各编织一个面积为的产品，若它们同时开始编织，则它们完成产品所用的时间相差______； ②该工厂接到一批补购订单，需要平编产品200件，绞编产品100件，且每件产品的面积都为．开始时机器人A编织平编产品，机器人B编织绞编产品，工作一段时间后，机器人B出现故障无法工作．机器人A完成所有平编产品后，调整为绞编程序，接着机器人B的进度完成剩余的绞编产品．当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为．若生产两件产品之间的时间间隔忽略不计，则机器人B出现故障前大约工作了______（结果保留小数点后一位）． 26. 在平面直角坐标系 中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，记点M与点N之间的距离为m，当M与N重合时， ． ①若 ，求t的值； ②若对于，都有，求a的取值范围． 27. 在 中，，．D为的延长线上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转 得到线段，连接． （1）如图1，，点E在直线上，求证： ； （2）如图2，用等式表示线段 ， 和的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系 中，对于图形G、图形R和直线l，给出如下定义：若图形G上存在点T（T在直线l外），使得图形R上至少有个点到直线l的距离与点T到直线l的距离相等，则称图形R为图形G关于直线l的“ 等距”图形． （1）已知点，，，． ①当 时，在线段，，中，线段______为点A关于y轴的“ 等距”图形，其中k的值为______； ②若线段为线段关于y轴的“等距”图形，则t的取值范围是______； （2）已知直线，的圆心为，半径为1．若存在实数s以及的弦，使得任意以点为中心且边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形，直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $