精品解析：2025学年北京市海淀区中考数学一模试卷

海淀区九年级第二学期期中练习 数学 考生须知 1．本试卷共8页，共两部分，28道题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义．下列纹样中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，正确理解中心对称图形的定义是解答本题的关键． “ 把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，根据中心对称图形的定义即可得到结果． 【详解】解：A、图形绕着某一个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合，该图是中心对称图形，符合题意； B、图形绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，该图不是中心对称图形，不符合题意； C、图形绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，该图不是中心对称图形，不符合题意； D、图形绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，该图不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 如图，直线、相交于点，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角相等，邻补角的性质，角的和差运算，掌握“对顶角与邻补角的含义”是解本题的关键． 根据对顶角得出，然后结合图形求解即可 再利用角平分线的定义求解 再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的除法，有理数的减法等．先根据点在数轴上的位置得出，，再结合有理数的除法，有理数的减法，绝对值的性质逐项分析即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，， 故，B选项结论错误，不符合题意； 故，A选项结论错误，不符合题意； 故，C选项结论错误，不符合题意； 则， 故，D选项结论正确，符合题意； 故选：D． 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 5. 不透明袋子中装有个红球和个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，恰好摸出个红球和1个黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列树状图或表格求概率，概率公式．先根据题意列出树状图，再分别得出所有可能的情况数和满足摸出个红球和1个黄球的情况数，结合概率公式即可求解． 【详解】解：列树状图，如图： 有图可知，随机摸出两个小球，所有等可能的情况有种，其中满足摸出个红球和1个黄球的情况有种， ∴恰好摸出个红球和1个黄球的概率为． 故选：B． 6. 为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了同底数幂相乘．用乘以，即可求解． 【详解】解：元， 即今年的义务教育财政预算支出约为元． 故选：C 7. 已知：如图，四边形是平行四边形，点为上的一点（不与点、重合），连接． 求作：点，使得点在上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接． 上述三名同学的作法一定正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了基本的尺规作图，平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 结合基本的尺规操作，利用平行四边形的判定定理逐项进行判定即可． 【详解】解： 甲：如图所示，此时， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故甲作法正确，符合题意； 乙：如图所示，此时， 四边形不是平行四边形， ∴与不平行， 故乙作法错误，不符合题意； 丙：如图所示，此时， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故丙作法正确，符合题意； 故选：C． 8. 图1是半径为的圆形硬币，点是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为的矩形、正方形和正六边形，周长均为，对称中心均记为点P．点为轨道上一定点（除轨道①外，均为的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点与重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为，则四个轨道中，最大的是（ ） A. 轨道① B. 轨道② C. 轨道③ D. 轨道④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，圆的周长计算， 先求出圆形硬币的周长为，则硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为；轨道①滚动可得的长为，据此可求出；轨道②滚动可确定，过点P作于H，连接，证明四边形是矩形，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，据此可求出；轨道③滚动，类似于轨道②可求出；轨道④滑动，可得点是的中点，连接，证明都是等边三角形，得到，则，同理可得，则；据此可得答案． 【详解】解：∵圆形硬币的半径为， ∴圆形硬币的周长为， ∴硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为； 当沿着轨道①滚动时，则的长为， ∴； 当沿着轨道②滑动时， ∵四边形是长宽比为的矩形， ∴， ∵四边形的周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴； 如图所示，过点P作于H，连接， ∵点P为矩形的对称中心， ∴， ∴，， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当沿轨道③滑动时， ∵正方形的周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于H，连接， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当沿着轨道④滑动时， ∵正六边形的周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴点是的中点， 如图所示，连接，则， 又∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 综上所述，当沿着轨道②滚动时，最大， 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件分母不能为零是解题关键． 10. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】提公因式后，再利用平方差公式因式分解． 【详解】解：原式＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法相结合进行因式分解． 11. 方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 12. 如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系．熟练掌握垂径定理是解题的关键． 根据圆周角定理得出，根据垂径定理求出，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，， ∴， ∵直径平分弦， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于，两点．若点的坐标是，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，把点分别代入和得的值，再联立方程组，解方程可得B的坐标． 【详解】解：把点代入得， ， ∴； 把点代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 联立方程组得， 解得或，经检验符合题意； ∵， ∴； 故答案为：． 14. 某智能家居公司生产了3000台智能音箱．为了解这3000台智能音箱的响应时间，从中随机抽取60台智能音箱进行检测，获得了它们的响应时间（单位：秒），数据整理如下： 响应时间t（秒） 音箱数量（台） 15 25 10 10 根据以上数据，估计这3000台智能音箱中响应时间小于1秒的音箱数量为______台． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用样本所占比例估计总体数量，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用． 用乘以智能音箱中响应时间小于1秒的音箱所占的比例即可． 【详解】解：估计3000台智能音箱中响应时间小于1秒的音箱数量为台． 故答案为：． 15. 如图，点是正方形对角线上的一点，于点．连接并延长交于点，连接．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，，根据全等三角形的判定和性质得出，根据等腰直角三角形的判定和性质求出，根据勾股定理求出，则，根据平行线的判定定理得出，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是四边形的对角线， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， 即， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16. 某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为______（写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为______分钟． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 200 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，解决本题的关键是根据每辆车的充电需求，合理安排时间． （1）根据其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，进行合理安排即可； （2）优先考虑慢充时间最长的应当安排快充，据此进行求解即可． 【详解】解：（1）要使其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，两个慢充桩可分别提供给充电， 故答案为：（答案不唯一）； （2）要使五辆车完成充电总用时最短，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，共需要（分钟），两个慢充桩可分别提供给充电，其中充电完成需要150分钟，充电完成需要170分钟， 这五辆车完成充电总用时最短为200分钟． 故答案为：200． 三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21题6分，第22-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算零指数幂，化简二次根式，计算特殊角的三角函数值及绝对值，然后计算加减． 此题考查了化简二次根式，特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 分别把两个不等式解出来，然后找共同部分即是不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集是． 19. 已知．求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的值，将原式进行正确的变形是解题的关键．由已知条件易得，将原式变形后整体代入已知数值计算即可． 【详解】解：， ． ， ∴． ∴原式． 20. 如图，在中，，点在上，．过点，分别作，的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形外角定理，锐角三角函数比，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并作辅助线构造直角三角形． （1）根据条件先证明四边形平行四边形，再利用等角对等边证明即可； （2）过点作于点，利用三线合一和锐角三角函数比求得，进而利用勾股定理可求和的长度． 【小问1详解】 证明：，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ，， ∴， ， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ，，且， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ， ， 在中，由勾股定理得． 21. 3月14日为“国际数学日”，某校在这一天开展数学主题活动，活动分为“智趣挑战”和“巧手闯关”两个项目．若学生参加两个项目得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分，则可获得一份校园文创奖品．参加活动时，在正式计分前可先体验一次．小明在体验两个项目时共得90分；在正式计分时，“智趣挑战”项目的得分比体验时增加了，“巧手闯关”项目的得分比体验时增加了，共得104分．请判断小明是否可以获得校园文创奖品，并说明理由． 【答案】小明可以获得校园文创奖品，见解析 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设在体验环节中，小明在“智趣挑战”项目中得到了分，在“巧手闯关”项目中得到了分．根据题意列出二元一次方程组并解方程组即可． 【详解】判断：小明可以获得校园文创奖品． 理由：设在体验环节中，小明在“智趣挑战”项目中得到了分，在“巧手闯关”项目中得到了分． 依题意，得 解得 ∴在体验环节中，小明分别在“智趣挑战”和“巧手闯关”这两个项目中得到了50分和40分． ∴在正式计分时，小明在“智趣挑战”中得到了分． ∴小明的得分满足得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分． 答：小明可以获得校园文创奖品． 22. 某学校生物社团开展丁一项关于“探究不同浓度生长素对绿豆幼苗生长的影响”的实验．社团成员将绿豆种子分别放置在5种不同浓度生长素溶液的培养皿中培养，每种浓度（单位：ppm）设置6个重复组、一段时间后测量绿豆幼苗的高度（单位：cm），得到相关的数据，对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．不同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的平均数与中位数统计图如下： b．生长素浓度为10和15时，各重复组绿豆幼苗高度的数据如下： 生长素浓度 各重复组绿豆幼苗高度 10 9.9 10.0 10.1 10.2 10.7 10.7 15 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 9.2 c．同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的方差如下： 生长素浓度 0 5 10 15 20 方差 0.108 0.083 n 0.067 0.041 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全统计图，并标明数据； （2）从不同生长素浓度下绿豆幼苗高度的平均数的变化趋势来看，生长素浓度为______时对绿豆幼苗生长的促进作用更大； （3）若将每组绿豆幼苗高度平均数与生长素浓度看作两个变量，根据这组数据，尝试建立一个简单的函数模型来描述它们之间的关系，你认为可以选择的是______（填序号）； ①正比例函数 ②一次函数 ③反比例函数 ④二次函数 （4）请判断：______（填“”“”或“”）． 【答案】（1）见解析 （2） （3）④ （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，中位数，平均数方差，从统计图正正确获取数据是解题的关键． （1）求出生长素浓度为10的中位数为，生长素浓度为15时的平均数为，补全统计图即可； （2）由统计图得到生长素浓度为时对绿豆幼苗生长的促进作用更大，即可得到答案； （3）根据统计图得，数据呈现先增厚减的趋势，符合二次函数的特征，即可得到答案； （4）求出生长素浓度为10的方差，再比较大小即可． 【小问1详解】 解：生长素浓度为10的中位数为， 生长素浓度为15时的平均数为， 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：根据统计图得不同生长素浓度下绿豆幼苗高度的平均数分别为， 生长素浓度为时对绿豆幼苗生长的促进作用更大， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据统计图得，数据呈现先增厚减的趋势，符合二次函数的特征， 故答案为： ④； 【小问4详解】 解：生长素浓度为10的方差， ， ， 故答案为：． 23. 如图，在中，，以为直径作交于点D．点在线段上，．连接并延长交于． （1）求证：； （2）连接交于点．若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设，先证明，然后根据垂直平分线的性质定理证明，再逐步求得，即得答案； （2）连接，先证明，接着证明，即得和，从而可得，继续证明是等边三角形，最后利用直角三角形的性质，即可求得答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接，设， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）可得，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 即的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合性问题，垂直平分线的性质定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 科学兴趣小组利用不同材料制作了，两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为（单位：）时，电池板的输出电压（单位：）和电池板的输出电压（单位：）．部分数据如下： 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 55 5.7 5.8 5.6 6.0 通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，回答下列问题： （1）①可以看作是关于的正比例函数，则的值为______； ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”； （2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出，两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当光照强度为时，电池板的输出电压与电池板的输出电压之差约为______V（结果保留小数点后一位）； ②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于，则光照强度应至少达到______（结果保留整数）． 【答案】（1）①；②见解析 （2）见解析 （3）①；②31 【解析】 【分析】本题考查了函数图象和正比例函数的应用，熟练掌握函数图象是解题关键． （1）①设，利用待定系数法求出，再将代入计算即可得； ②根据当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高即可得； （2）根据表格数据，描点画出函数图象即可得； （3）①根据表格和函数图象求出当时，，的值，由此即可得； ②根据表格和函数图象求出当时，，值，再根据都是随的增大而增大即可得． 【小问1详解】 解：①由题意，设， 将点代入得：，解得， 则， 当时，， 故答案为：． ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“”如下： 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.6 1.2 1.8 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 【小问2详解】 解：在给出的平面直角坐标系中画出，两个函数的图象如下： ． 【小问3详解】 解：①当时，， 由表格和函数图象可知，当时，， 则， 即当光照强度为时，电池板的输出电压与电池板的输出电压之差约为， 故答案为：． ②由表格数据可知，当时，， 当时，，， ∴当时，， ∵都是随的增大而增大， ∴如果想使两块电池板的输出电压之和不低于，则光照强度应至少达到， 故答案为：31． 25. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． （1）当，时，求的值； （2）当时，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象和性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． （1）当时，点的坐标为，根据抛物线上点的坐标特征得出，，根据题意求得，根据抛物线的性质即可求出； （2）分为抛物线的对称轴在点的左侧和右侧两种情况进行分析，当抛物线的对称轴在点的左侧时，即时，根据抛物线的对称性求出点关于对称的点为，结合抛物线的性质得出点在的左侧，即，结合题意列出不等式，即可求出的取值范围是；当抛物线的对称轴在点的右侧时，即时，结合抛物线的性质得出点在的左侧，点在的左侧，结合题意列出不等式，即可求出的取值范围是；即可求解． 【小问1详解】 解：当时，点的坐标为， ∵点，在抛物线上， ∴，． 又∵， ∴． 即， ∵抛物线的对称轴为， 故． 【小问2详解】 解：分两种情况： 情况1：当抛物线的对称轴在点的左侧时，即时， 点关于对称的点为， 根据抛物线的对称性可得点也在抛物线上， 则； ∵， ∴抛物线开口向上， 故当时，随的增大而减小． ∵， ∴点在的左侧， 即， ∵时，都有成立， ∴， 解得； 又∵， 故的取值范围是； 情况2：当抛物线的对称轴在点的右侧时，即时， ， ∴抛物线开口向上， 故当时，随的增大而减小， ∵， ∴点在的左侧， 即， ∵时，都有成立， ∴， 解得， 又∵， 故的取值范围是． 综上，的取值范围是． 26. 在平面直角坐标系中，对于点、和图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形．若点在图形上，则称点为图形关于点的“位移点”． 如图，点、． （1）若半径为1， ①在、、中，关于点的“位移点”是______； ②若在线段上存在一点，使得点为关于点的“位移点”，直接写出的长的取值范围； （2）已知点，半径为1，点在上，点为线段关于点的“位移点”．点，半径为，点在上．若存在点D，P，使为以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①、；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①将沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1，根据新定义可知关于点的“位移点”在上，再逐个分析即可判断；②沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1，根据新定义可知点在上，再利用线段的性质得到的最小值为，的最大值为，再对的长分情况讨论即可求解； （2）分①点在的右侧；②点在的左侧2种情况讨论，连接，以为斜边作等腰直角三角形，作轴于，作于，连接，利用相似三角形的性质求出，利用全等三角形的性质求出点的坐标，得出点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆，记为；将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，根据新定义可知在线段上存在一点，使得点在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为，再讨论与的位置关系即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：①，半径为1， 沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1， ，，， 、在上， 关于点的“位移点”是、， 故答案为：、； ②由题意得，沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1， 点为关于点的“位移点”， 点在上， ， ， ， 的最小值为，的最大值为， 点在线段上， 当时，最小；当点与点重合时，最大， 当时， ，， 是等腰直角三角形，， 又， ，此时的最小值为； 当点与点重合时， 则，此时的最大值为， 综上所述，的长的取值范围为． 【小问2详解】 解：①当点在的右侧，连接，以为斜边在右侧作等腰直角三角形，作轴于，作于，连接，如图所示， 和是等腰直角三角形， ，， ，即， ， ， ， ， ， 又， ， 又，， ， ，， 设，， 由点可得，解得， ， 点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，记为； 将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，则有，， 半径为1，点在上， ， 又点为线段关于点“位移点”， 在线段上存在一点，使得点在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为， 当点与点重合，且与相切（在右侧）时，此时，有最大值，如图所示， 此时， ， 当，且与相切（在左侧）时，此时，有最小值，如图所示，连接， 由（1）得，是等腰直角三角形，则有， 由平移的性质得，， ，， 轴， ， 是等腰直角三角形，， ， ； 的取值范围为； ②当点在的左侧，连接，以为斜边在左侧作等腰直角三角形，作轴于，作于，连接，如图所示， 同理①的方法可得，，， 点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，记为； 将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，则有，， 半径为1，点在上， ， 又点为线段关于点的“位移点”， 在线段上存在一点，使得点在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为， 当点与点重合，且与相切（在下方）时，此时，如图所示， ， ， 解得：， 当时，满足题意； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了新定义、平移的性质、圆的轨迹问题、点、直线、圆的位置关系、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定等知识点，理解“位移点”的定义画出对应的示意图是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的知识理解运用和数形结合能力，适合有能力解决难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海淀区九年级第二学期期中练习 数学 考生须知 1．本试卷共8页，共两部分，28道题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义．下列纹样中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线、相交于点，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ） A B. C. 1 D. 4 5. 不透明袋子中装有个红球和个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，恰好摸出个红球和1个黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 7. 已知：如图，四边形是平行四边形，点为上的一点（不与点、重合），连接． 求作：点，使得点在上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接． 上述三名同学的作法一定正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 8. 图1是半径为的圆形硬币，点是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为的矩形、正方形和正六边形，周长均为，对称中心均记为点P．点为轨道上一定点（除轨道①外，均为的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点与重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为，则四个轨道中，最大的是（ ） A. 轨道① B. 轨道② C. 轨道③ D. 轨道④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 10. 分解因式：_______． 11. 方程的解为___________． 12. 如图，直径平分弦（不是直径）．若，则的大小为______． 13. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于，两点．若点的坐标是，则点的坐标为______． 14. 某智能家居公司生产了3000台智能音箱．为了解这3000台智能音箱的响应时间，从中随机抽取60台智能音箱进行检测，获得了它们的响应时间（单位：秒），数据整理如下： 响应时间t（秒） 音箱数量（台） 15 25 10 10 根据以上数据，估计这3000台智能音箱中响应时间小于1秒音箱数量为______台． 15. 如图，点是正方形对角线上的一点，于点．连接并延长交于点，连接．若，，则的长为______． 16. 某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为______（写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为______分钟． 三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21题6分，第22-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知．求代数式的值． 20. 如图，在中，，点在上，．过点，分别作，的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 3月14日为“国际数学日”，某校在这一天开展数学主题活动，活动分为“智趣挑战”和“巧手闯关”两个项目．若学生参加两个项目得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分，则可获得一份校园文创奖品．参加活动时，在正式计分前可先体验一次．小明在体验两个项目时共得90分；在正式计分时，“智趣挑战”项目的得分比体验时增加了，“巧手闯关”项目的得分比体验时增加了，共得104分．请判断小明是否可以获得校园文创奖品，并说明理由． 22. 某学校生物社团开展丁一项关于“探究不同浓度生长素对绿豆幼苗生长的影响”的实验．社团成员将绿豆种子分别放置在5种不同浓度生长素溶液的培养皿中培养，每种浓度（单位：ppm）设置6个重复组、一段时间后测量绿豆幼苗的高度（单位：cm），得到相关的数据，对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．不同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的平均数与中位数统计图如下： b．生长素浓度为10和15时，各重复组绿豆幼苗高度的数据如下： 生长素浓度 各重复组绿豆幼苗高度 10 9.9 10.0 10.1 10.2 10.7 107 15 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 9.2 c．同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的方差如下： 生长素浓度 0 5 10 15 20 方差 0.108 0.083 n 0.067 0.041 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全统计图，并标明数据； （2）从不同生长素浓度下绿豆幼苗高度的平均数的变化趋势来看，生长素浓度为______时对绿豆幼苗生长的促进作用更大； （3）若将每组绿豆幼苗高度平均数与生长素浓度看作两个变量，根据这组数据，尝试建立一个简单的函数模型来描述它们之间的关系，你认为可以选择的是______（填序号）； ①正比例函数 ②一次函数 ③反比例函数 ④二次函数 （4）请判断：______（填“”“”或“”）． 23. 如图，在中，，以为直径作交于点D．点在线段上，．连接并延长交于． （1）求证：； （2）连接交于点．若，，求的半径． 24. 科学兴趣小组利用不同材料制作了，两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为（单位：）时，电池板的输出电压（单位：）和电池板的输出电压（单位：）．部分数据如下： 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 42 4.8 5.4 6.0 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，回答下列问题： （1）①可以看作是关于的正比例函数，则的值为______； ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”； （2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出，两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当光照强度为时，电池板的输出电压与电池板的输出电压之差约为______V（结果保留小数点后一位）； ②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于，则光照强度应至少达到______（结果保留整数）． 25. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． （1）当，时，求的值； （2）当时，若对于，都有，求的取值范围． 26. 在平面直角坐标系中，对于点、和图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形．若点在图形上，则称点为图形关于点的“位移点”． 如图，点、． （1）若半径为1， ①在、、中，关于点的“位移点”是______； ②若在线段上存在一点，使得点为关于点的“位移点”，直接写出的长的取值范围； （2）已知点，半径为1，点在上，点为线段关于点的“位移点”．点，半径为，点在上．若存在点D，P，使为以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $