精品解析：河南济源市沁园中学等校2025—2026学年下学期期中质量调研 八年级数学

2025—2026学年下学期期中质量调研八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：：A、是三次根式；故本选项错误； B、被开方数-10＜0，不是二次根式；故本选项错误； C、被开方数a2+1≥0，符合二次根式的定义；故本选项正确； D、被开方数a＜0时，不是二次根式；故本选项错误； 故选C． 点睛：式子（a≥0）叫做二次根式，特别注意a≥0，a是一个非负数． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的乘方、乘除、加减运算法则，计算各选项即可判断正确结果． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，，该选项不符合题意． 3. 在由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 6，8，11 D. 1，2.4，2.6 【答案】D 【解析】 【分析】对每组线段，计算两条较短边的平方和，与最长边的平方比较，相等则可构成直角三角形． 【详解】解：A，最长边为4，，，，故不能构成直角三角形，不符合题意． B，最长边为，，，，故不能构成直角三角形，不符合题意． C，最长边为11，，，，故不能构成直角三角形，不符合题意． D，最长边为， ，， ，满足勾股定理的逆定理，故能构成直角三角形，符合题意． 4. 从多边形的一个顶点出发可引出7条对角线，则它是（ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n-3）求出边数即可得解． 【详解】解：设多边形有n条边， 则n-3=7，解得n=10． 故多边形的边数为10，即它是十边形． 故选D． 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，如果一个多边形有n条边，则经过此多边形的一个顶点所有的对角线有（n-3）条，经过此多边形的一个顶点的所有对角线把它分成（n-2）个三角形． 5. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、添加，可以运用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、添加，无法证明四边形是平行四边形，符合题意； C、添加，可运用对角线相互平分的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、添加，可以运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：B ． 6. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：设菱形的对角线交于点，则：， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选D 7. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径画弧交于点M，交于点N，②分别以点M，N为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据尺规作图的步骤可知平分，再根据矩形的性质得，然后说明是等边三角形，可得，以及，进而得出，接下来设，则，并表示出，，最后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：根据尺规作图的步骤可知平分， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 设，则，根据勾股定理，得， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． 8. 如图所示，矩形ABCD中，AE平分交BC于E，，则下面的结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形性质求出OD=OC,根据角求出 ∠DOC = 60°即可得出三角形DOC是等边三角形,求出AC= 2AB, 即可判断②,求出∠BOE= 75°，∠AOB = 60相加即可求出,∠AOE根据等底等高的三角形面积相等得出. 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD ∴OA=OD=OC=OB ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=45°. ∵∠CAE=15°， ∴∠DAC=30°. ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠DAC=30°. ∴∠DOC=60°. ∵OD=OC， ∴△ODC是等边三角形. ∴①正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC=90°. ∴∠DAC=∠ACB=30°. ∴AC=2AB. ∵AC＞BC， ∴2AB＞BC. ∴②错误； ∵AD∥BC， ∴∠DBC=∠ADB=30°. ∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°， ∴∠DAE=∠BAE=45°. ∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∴∠AEB=∠BAE， ∴AB=BE. ∵△DOC是等边三角形， ∴DC=OD. ∴BE=BO. ∴∠BOE=75°， ∵∠AOB=∠DOC=60°， ∴∠AOE=135°. ∴③正确； ∵OA=OC， ∴根据等底等高的三角形面积相等可知， ∴④正确； 故正确答案是C. 【点睛】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用. 9. 如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是的中点，则CP的最小值是（ ） A. 1.2 B. 1.5 C. 2.4 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，再证四边形CEMF是矩形，得，当时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出，即可得出答案． 【详解】解：连接CM，如图所示： ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形CEMF是矩形， ∴， ∵点P是EF的中点， ∴， 当CM⊥AB时，CM最短， 此时EF也最小，则CP最小， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 10. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质，关键是勾股定理的应用；根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵图①中所有正方形的面积和为：； 第一次操作后所有正方形的面积和为：； 第二次操作后所有正方形的面积和为：； …… 第次操作后所有正方形的面积和为：； ∴当时，， 故选：C ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若是二次根式，请写出一个满足条件的x的整数值：_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，先求出的取值范围，再在取值范围内写出一个符合要求的整数值即可. 【详解】解：由题意， 解得， 故满足条件的x的整数值可以为4（答案不唯一）. 12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 13. 若，则__________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出的值，再代入得到的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可得 解得， 将代入，得， 则． 14. 如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． 15. 如图，在中，，将扩充为等腰三角形，使扩充的部分是以为直角边的直角三角形，则的长为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论分别画出图形，即可求解． 【详解】解：分三种情况： ①当时，如图所示：则； ②当时，如图所示： 设，则， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， ； ③当时， 如图所示： 在中，， ， ； 综上所述：的长为或或； 故答案为：或或． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的乘法，化简二次根式，然后合并二次根式即可． （2）按照运算顺序先算乘法、绝对值化简和负整数指数幂计算，再将所有二次根式化为最简二次根式，合并同类项即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． （1）用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； （2）利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 【答案】（1）； （2） 解：由题图可知，两个大正方形的边长都是， ∴两个大正方形的面积相等， ， 化简可得． 【解析】 【分析】（1）根据题干图将正方形中各小图形面积相加即可； （2）根据两个大正方形的面积相等推导即可． 【小问1详解】 解：图1的大正方形的面积； 图2的大正方形的面积； 【小问2详解】 略 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在下图中以格点为顶点画一个面积为17的正方形； （2）在下图中以格点为顶点画一个三角形、使三角形三边长分别为2、、； （3）如图，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 【答案】（1） 如图所示为所求： （2） 如图所示为所求： （3） 【解析】 【分析】（1）先求出正方形的边长为，再利用构造正方形边长即可； （2）根据构造三角形边长即可； （3）连接，先利用勾股定理求出，且，证明是等腰直角三角形，即可解答． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：连接， 则， ∵，即， ∴是直角三角形，且， ∵，即， ∴是等腰直角三角形， ∴． 19. 如图，一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． （1）此时梯子顶端A离地面多少米？ （2）若梯子顶端A下滑米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，米，米，， ∴米， ∴梯子顶端A离地面米； 【小问2详解】 解：在中，米，米，， ∴米， ∴米， ∴梯子底端B将向左滑动米到D． 20. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作，交BC于点F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形；为什么． 【答案】 证明：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴ 又∵， ∴四边形DBFE是平行四边形. （2）当AB=BC时，四边形DBEF是菱形． 理由如下： ∵D是AB的中点， ∴BD=  AB， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC， ∵AB=BC， ∴BD=DE， 又∵四边形DBFE是平行四边形， ∴四边形DBFE是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明. （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键． 21. 【阅读理解】如图①是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以用下面的方法把它剪拼成一个正方形． 图①拼成的正方形的面积是5，边长是． 【应用探究】 （1）模仿图①将图②的十个小正方形剪拼成一个大正方形，请画出示意图； （2）在图②的正方形中，沿着边的方向能否裁出一块面积为8.64的长方形纸片，使它的长宽之比为？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1） 如图所示：正方形即为所求； （2） 不能，理由如下： 设长方形的长为，宽为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∵， ∴， ∴不可能． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与无理数，利用算术平方根的实际应用，实数大小比较： （1）根据勾股定理结合①的方法，画出图形即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据题意，列出方程求出的值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 略． 22. 如图，已知，延长到，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 23. 四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．（提示：过E作于点P，于点Q） （1）如图，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：作于P，于Q，则 ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答的关键． （1）作于P，于Q 证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）先利用勾股定理求得，进而得到，则点F与C重合，根据（1）中正方形的性质可求解； （3）分①当与的夹角为时，点F在边上和②当与的夹角为时，点F在的延长线上两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2， 在中．， ∵， ∴， ∴点F与C重合， ∵四边形是正方形， ∴； 【小问3详解】 解：①当与的夹角为时，点F在边上，，如题干图： 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得：； ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵，， ∴， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期期中质量调研八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 6，8，11 D. 1，2.4，2.6 4. 从多边形的一个顶点出发可引出7条对角线，则它是（ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 5. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 7. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径画弧交于点M，交于点N，②分别以点M，N为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 8. 如图所示，矩形ABCD中，AE平分交BC于E，，则下面的结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是的中点，则CP的最小值是（ ） A. 1.2 B. 1.5 C. 2.4 D. 2.5 10. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若是二次根式，请写出一个满足条件的x的整数值：_______． 12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 13. 若，则__________． 14. 如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，则的长是________． 15. 如图，在中，，将扩充为等腰三角形，使扩充的部分是以为直角边的直角三角形，则的长为________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． （1）用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； （2）利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在下图中以格点为顶点画一个面积为17的正方形； （2）在下图中以格点为顶点画一个三角形、使三角形三边长分别为2、、； （3）如图，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 19. 如图，一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． （1）此时梯子顶端A离地面多少米？ （2）若梯子顶端A下滑米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？ 20. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作，交BC于点F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形；为什么． 21. 【阅读理解】如图①是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以用下面的方法把它剪拼成一个正方形． 图①拼成的正方形的面积是5，边长是． 【应用探究】 （1）模仿图①将图②的十个小正方形剪拼成一个大正方形，请画出示意图； （2）在图②的正方形中，沿着边的方向能否裁出一块面积为8.64的长方形纸片，使它的长宽之比为？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由． 22. 如图，已知，延长到，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 23. 四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．（提示：过E作于点P，于点Q） （1）如图，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $